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560 KiB
Org Mode
12724 lines
560 KiB
Org Mode
# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*-
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#+title: Exercices 2026
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#+author: Sébastien Miquel
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#+date: 22-07-2026
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# Time-stamp: <24-10-26 18:33>
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#+OPTIONS: toc:t
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* Meta :noexport:
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** Statistiques
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#+BEGIN_SRC emacs-lisp
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(my-stats-exo)
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#+END_SRC
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#+RESULTS:
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| ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
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| 0 | 0 | 5 | 5 | 5 |
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** Options
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#+OPTIONS: latex:verbatim
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#+OPTIONS: toc:t
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# #+exclude_types: proof
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*** All
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# #+OPTIONS: toc:t
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# #+export_file_name: Exercices 2026
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# #+exclude_types: proof
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*** XENS
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# #+select_tags: xens
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# #+export_file_name: Exercices XENS 2026
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*** XENS MP
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#+select_tags: xens
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#+exclude_tags: autre
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#+exclude_types: proof
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||
#+export_file_name: Exercices XENS MP 2026
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*** Centrale
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# #+select_tags: cent
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# #+export_file_name: Exercices Centrale 2026
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*** Mines
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# #+select_tags: mines
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# #+export_file_name: Exercices Mines 2026
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*** Mines Centrale
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# #+select_tags: mines cent
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# #+exclude_tags: autre
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# #+options: toc:2
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# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2026
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*** todoes
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# #+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil
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# #+select_tags: todo
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# #+export_file_name: Exercices 2026 todo
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# #+relocate_tags: todo
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*** autre
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# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
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# #+export_file_name: Exercices XENS 2026 autres
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# #+relocate_tags: todo
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*** autres
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# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
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# #+select_tags: autres
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# #+export_file_name: Exercices 2026 Autres MP
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# #+relocate_tags: todo
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* ENS MP/MPI :xens:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 1]
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Soit $F$ un sous-ensemble fini de $R$. On note
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$F+F = \{e+f \mid (e,f)\in F^2\}$. Majorer le cardinal de $F+F$ ; montrer
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qu'il est minoré par $2|F|-1$. Cela reste-t-il vrai dans $R^d$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 2]
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Soit $f : \{-1,1\}^n\to\R$. Montrer l'existence et l'unicité d'une fonction
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$c : \mathcal P(\db{1,n})\to\R$ telle que, pour tout
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$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$,
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$$f(x)=\sum_{S\subset\{1,2,\ldots,n\}} c(S)\prod_{i\in S}x_i.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 3]
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Soient $E$ un ensemble et $n\in\N$. On note $C(E,n)$ l'ensemble des parties
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de $E$ de cardinal $n$. Déterminer toutes les parties
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$\{a_1,\ldots,a_n\}\in C(\Z,n)$, avec $a_1<\cdots<a_n$, telles que
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l'application qui, à une paire $\{i,j\}$, associe $|a_i-a_j|$, réalise une
|
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bijection de $C(\db{1,n},2)$ sur un intervalle d'entiers $\db{1,m}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 4]
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Pour tout réel $x\geq 1$, on note $\pi(x)=\operatorname{card}\{p\in\mathbb{P}\mid
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p\leq x\}$. Trouver une minoration la plus précise possible de $\pi(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 5]
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Pour $K$ un corps et $a\in K$, on note
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$C(K,a)=\{(x,y)\in K^2\mid x^2+y^2=a\}$.
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||
1. Soient $p$ un nombre premier et $a\in\mathbb{F}_p^*$. Dénombrer
|
||
l'ensemble $C(\mathbb{F}_p,a)$. Indication : on pourra décrire $C(\Q,1)$ et
|
||
$C(\C,1)$.
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2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $2$ soit un
|
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carré modulo $p$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 6]
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Pour $n\in\N^*$, on se propose d'établir la propriété $P_n$ : pour toute
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famille de $2n-1$ entiers relatifs, il existe une sous-famille de $n$ entiers
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dont la somme est divisible par $n$.
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1. Traiter les cas $n=1$ et $n=2$.
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2. On suppose que $n\geq 2$. Montrer qu'il existe une famille de $2n-2$
|
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entiers relatifs dont aucune sous-famille de $n$ entiers n'a une somme
|
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divisible par $n$.
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||
3. Soient $m,n\in\N^*$. Montrer que, si $P_m$ et $P_n$ sont vraies, il en est
|
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de même de $P_{mn}$.
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||
4. Soit $p$ un nombre premier. Déterminer la classe modulo $p$ de
|
||
$\binom{2p-1}{p}$ et, si $s\in\db{1,p}$, de
|
||
$\binom{2p-1-s}{p-s}$.
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||
5. Soient $p$ un nombre premier, $I$ un ensemble de cardinal $2p-1$,
|
||
$(a_i)_{i\in I}\in\Z^I$. On suppose que, pour toute partie $J$ de $I$ de
|
||
cardinal $p$, $\sum_{i\in J}a_i$ n'est pas divisible par $p$. Obtenir une
|
||
contradiction en considérant
|
||
$$\sum_{\substack{J\subset I\\|J|=p}}\left(\sum_{i\in J}a_i\right)^{p-1}.$$
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Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 7]
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Soit $G$ un groupe. Une fonction $f:G\to\R$ est un quasi-morphisme quand il
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existe $C\geq0$ tel que, pour tous $a,b\in G$,
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$|f(ab)-f(a)-f(b)|\leq C$. Un quasi-morphisme $f$ est dit homogène quand,
|
||
pour tout $n\in\Z$ et tout $a\in G$, $f(a^n)=nf(a)$.
|
||
1. Soit $f$ un quasi-morphisme. Montrer que, pour tout $a\in G$, la suite
|
||
$\left(f(a^{2^k})/2^k\right)$ converge.
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||
2. On suppose $G$ abélien. Montrer que tout quasi-morphisme $f$ se décompose
|
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de façon unique sous la forme $f=f'+h$, où $f'$ est un quasi-morphisme
|
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homogène et $h$ une fonction bornée.
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||
3. Montrer que, si $f$ est un quasi-morphisme homogène, alors, pour tous
|
||
$a,b\in G$, $f(aba^{-1})=f(b)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 8]
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Soit $\phi$ un morphisme de $\Q$-algèbres de $\Q[X]$ dans $\C$. On suppose
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que le noyau de $\phi$ contient un polynôme de $\Z[X]$ unitaire et
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irréductible sur $\Q$. On note $K$ le sous-$\R$-espace vectoriel de $\C$
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engendré par l'image de $\phi$, et $G$ le sous-groupe de $(\C,+)$ engendré
|
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par la famille $(\phi(X^n))_{n\in\N}$. Donner une condition nécessaire et
|
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suffisante pour que $G$ soit dense dans $K$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 9]
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1. Soit $p\geq2$ un entier. On suppose que le groupe
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$((\Z/p\Z)^\times,\cdot)$ des inversibles de $\Z/p\Z$ est isomorphe à
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$(\Z/(p-1)\Z,+)$. Montrer que $p$ est premier. On admet que, si $p$ est
|
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premier, le groupe multiplicatif $(\Z/p\Z)^\times$ est cyclique.
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||
2. Soit $N\geq2$. Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
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||
a. $N$ est non premier et $\forall x\in\Z,\ x^N\equiv x\pmod N$.
|
||
b. $N$ possède au moins trois facteurs premiers distincts et, pour tout
|
||
premier $p$ divisant $N$, $p^2\nmid N$ et $p-1\mid N-1$.
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||
Dans ce cas, on dit que $N$ vérifie $(C)$.
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||
3. a. Montrer qu'il existe $k\in\N$ tel que $6k+1$, $12k+1$ et $18k+1$
|
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soient premiers.
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||
b. Soit $k$ un tel entier. Montrer que
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||
$(6k+1)(12k+1)(18k+1)$ vérifie $(C)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 10]
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1. Déterminer les morphismes continus de $(\R,+)$ dans $(\mathbb{U},\times)$.
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2. Soit $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Montrer que, pour
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||
$(m,n)\in\Z\times\N^*$ premiers entre eux, il existe $a\in\Z$ et une
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||
famille d'entiers $(b_p)_{p\in\mathbb{P}}$ tels que
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$$\frac mn=a+\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{b_p}{p^{v_p(n)}},\qquad
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0\leq b_p<p^{v_p(n)}.$$
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3. En déduire que tout morphisme de $(\Q,+)$ dans $(\mathbb{U},\times)$ est
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déterminé par ses valeurs sur les $1/p^k$, pour tout premier $p$ et tout
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$k\in\N$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 11]
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Soit $R$ un anneau commutatif. On note
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$$\mathrm{SL}_2(R)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in
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||
\mathcal{M}_2(R)\mid ad-bc=1_R\right\}.$$
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||
Soit $p$ un nombre premier et $k\in\N^*$ ; on admet que
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||
$\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ est un groupe pour le produit matriciel.
|
||
1. Soit $\Pi:\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)\to\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$ la réduction
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modulo $p$. Montrer qu'il s'agit d'un morphisme de groupes surjectif.
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||
2. Soit $X\in\mathcal{M}_2(\Z)$ nilpotente. On suppose à présent $p>3$.
|
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Montrer que si $A\equiv I_2+X\pmod p$, alors
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$A^p\equiv I_2+pX\pmod{p^2}$.
|
||
3. Soit $H$ un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$ tel que
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||
$\Pi(H)=\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$. Montrer que
|
||
$H=\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$.
|
||
4. Montrer le même résultat avec $\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ à la place de
|
||
$\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 12]
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1. Montrer que $\Z[X]$ est un sous-anneau de $\R[X]$.
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2. Soient $A,B\in\Z[X]$ avec $B$ unitaire. Montrer qu'il existe
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||
$Q,R\in\Z[X]$ tels que $A=BQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(B)$.
|
||
3. Soient $n\in\N^*$ et $y\in\Z$. Montrer que l'application
|
||
$\phi:P\in\Z[X]\mapsto P(y)\in\Z/n\Z$ est un morphisme surjectif
|
||
d'anneaux, de noyau
|
||
$$\{(X-y)A+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}.$$
|
||
4. Soient $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré strictement positif et $R$ un
|
||
anneau. On suppose qu'il existe un morphisme d'anneaux de $\Z[X]$ dans
|
||
$R$ de noyau $\{QA+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}$. Montrer que $R$ est fini
|
||
et déterminer son cardinal.
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||
5. On suppose désormais que $Q(X)=X^2+bX+c$. Déterminer une condition
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nécessaire et suffisante sur $n,b,c$ pour que l'anneau $R$ soit intègre.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 13]
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Un idéal $I$ d'un anneau commutatif est dit premier si $A\setminus I$ est
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stable par multiplication ; il est dit maximal si les seuls idéaux qui le
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contiennent sont $I$ et $A$.
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1. Montrer que tout idéal premier non nul de $\Z[\sqrt{5}]$ est maximal.
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2. Montrer que tout idéal maximal de $\Z[\sqrt{5}]$ est premier.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 14]
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Soit $A$ une $\R$-algèbre commutative unitaire de dimension finie. On note
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$\mathrm{Nil}(A)=\{x\in A\mid x\text{ est nilpotent}\}$.
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||
1. Rappeler la définition d'un idéal et montrer que $\mathrm{Nil}(A)$ est un
|
||
idéal.
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||
2. Montrer que si $x\in\mathrm{Nil}(A)$, alors $1-x$ est inversible.
|
||
3. Montrer qu'il existe $M\in\N$ tel que, pour tous
|
||
$x_1,\ldots,x_M\in\mathrm{Nil}(A)$, $x_1\cdots x_M=0$.
|
||
4. Montrer que $M=\dim A$ convient.
|
||
5. Soit $L_x:y\in A\mapsto xy\in A$. Montrer que $x\in\mathrm{Nil}(A)$ si
|
||
et seulement si $\chi_{L_x}=X^{\dim A}$.
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||
6. Montrer que, pour tout $x\in A$, $\chi_{L_x}(x)=0$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 15]
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1. Soit $P\in\R[X]$. Montrer que, pour tout $x\in\R$, $P(x)\geq0$ si et
|
||
seulement s'il existe $A,B\in\R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.
|
||
Indication : montrer que l'ensemble
|
||
$\{A^2+B^2\mid(A,B)\in\R[X]^2\}$ est stable par produit.
|
||
2. Montrer que, pour tout $x\in\R^+$, $P(x)\geq0$ si et seulement s'il
|
||
existe $(A,B)\in\R[X]^2$ tels que $P=A^2+XB^2$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 16]
|
||
Soit $P\in\R[X]$ de degré au moins $2$. Le polynôme $P$ est dit sympathique
|
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s'il est le produit de deux polynômes non constants à coefficients positifs.
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||
On suppose qu'il existe $n\geq2$ tel que $P(X^n)$ soit sympathique. Démontrer
|
||
que $P$ est également sympathique.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 17]
|
||
Soient $K$ un corps de caractéristique nulle et $a\in K$. Soit
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||
$(P,Q)\in K[X]^2$ non tous deux nuls en $a$. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il
|
||
existe $(\lambda,\mu)\in K^2$ tels que $\lambda P+\mu Q$ soit un polynôme
|
||
non nul admettant $a$ comme racine de multiplicité $n$ si et seulement si
|
||
$a$ est racine de $P'Q-PQ'$ de multiplicité $n-1$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 18]
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||
1. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $U_n,V_n\in\Z[X]$ tels que,
|
||
pour tout $z\in\C$, $(1+iz)^n=U_n(z)+iV_n(z)$. Donner le degré de $V_n$,
|
||
puis ses racines.
|
||
2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv3\pmod4$. Montrer que, pour
|
||
tout $k\in\Z$, $p$ divise $V_{p+1}(k)$.
|
||
3. Soient $p$ un nombre premier impair, $m,n\in\N^*$ et $d=m\wedge n$.
|
||
Soit $k\in\Z$. On suppose que $p\mid V_m(k)$ et $p\mid V_n(k)$. Montrer
|
||
que $p\mid V_d(k)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 19]
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||
On pose $P=\sum_{i=0}^N a_iX^i\in\C[X]$, avec $a_0\neq0$ et $a_N=1$, et
|
||
$$H(P)=\sup_{|z|=1}\frac{|P(z)|}{\sqrt{|a_0|}}.$$
|
||
1. Montrer que
|
||
$$\frac{1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2\leq H(P)^2\leq
|
||
\frac{N+1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2$$
|
||
et étudier les cas d'égalité.
|
||
2. On pose $\ln^+(x)=\max(0,\ln x)$. Montrer que
|
||
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
|
||
\ln^+\left(\frac{|P(e^{i\theta})|}{\sqrt{|a_0|}}\right)\,d\theta
|
||
\leq \ln H(P).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 20]
|
||
Soit $(u,v)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On appelle cristal
|
||
engendré par $(u,v)$ l'ensemble $C=\{au+bv\mid(a,b)\in\Z^2\}$.
|
||
1. Trouver les $\Phi\in\mathcal L(\R^2)$ tels que $\Phi(C)=C$, pour $C$ le
|
||
cristal engendré par la base canonique.
|
||
2. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$
|
||
le cristal engendré par la base canonique.
|
||
3. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$
|
||
un cristal quelconque.
|
||
4. Soit $C$ une partie de $\R^2$ stable par $+$ et $-$. Montrer que $C$ est
|
||
un cristal si et seulement si $\operatorname{Vect}(C)=\R^2$ et $C$ est
|
||
discret.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 21]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal M_{m,n}(\R)$. On dit que $A$ est équivalente à $B$
|
||
par rapport aux lignes si, pour tous $k$ et tous
|
||
$1\leq i_1<\cdots<i_k\leq m$, la famille
|
||
$(L_{i_1}(A),\ldots,L_{i_k}(A))$ est libre si et seulement si
|
||
$(L_{i_1}(B),\ldots,L_{i_k}(B))$ est libre, où $L_i(A)$ est la $i$-ème
|
||
ligne de $A$. On définit de même l'équivalence par rapport aux colonnes.
|
||
Montrer que $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement
|
||
s'il existe $C\in\mathcal M_{m,n}(\R)$ équivalente à $A$ par rapport aux
|
||
lignes et équivalente à $B$ par rapport aux colonnes.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 22]
|
||
Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, on note $n_k(\sigma)$ le nombre de $k$-cycles
|
||
de $\sigma$, et $m(\sigma)$ le nombre total de cycles.
|
||
1. Soit $c$ un $k$-cycle de $\mathfrak S_n$ et $i\in\N^*$. Déterminer
|
||
l'ordre de $c^i$.
|
||
2. Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugués si et seulement si, pour
|
||
tout $k\in\db{1,n}$, $n_k(\sigma)=n_k(\tau)$.
|
||
3. Trouver le nombre total de cycles dans $c^i$ pour $c$ un $k$-cycle et
|
||
$i\in\N^*$.
|
||
4. Calculer $\det\big((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n}\big)$.
|
||
5. Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugués si et seulement si, pour
|
||
tout $i\in\N^*$, $m(\sigma^i)=m(\tau^i)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 23]
|
||
Soit $n\in\N^*$. Soient $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal M_n(\C)$ et, pour
|
||
$i\in\db{1,n}$, soit $S_i$ un sous-ensemble de $\C$ de cardinal au moins
|
||
$n+1$. On suppose que, pour tout
|
||
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in S_1\times\cdots\times S_n$, la matrice
|
||
$\lambda_1A_1+\cdots+\lambda_nA_n$ est nilpotente. Montrer que, pour tout
|
||
$i$, $A_i$ est nilpotente.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 24]
|
||
Soient $x_1,\ldots,x_n\in\Z$ et $k_1,\ldots,k_n\in\N^*$. Montrer que
|
||
$\prod_{i=1}^n i!$ divise le déterminant de la matrice
|
||
$$\left(\binom{x_i}{k_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 25]
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Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\in\mathcal M_{m,n}(\R)$.
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Soient $X=(x_1\ \cdots\ x_n)$ une combinaison convexe des lignes de $A$ et
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$Y=(y_1\ \cdots\ y_m)^T$ une combinaison convexe des colonnes de $A$.
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1. Soient $I$ un intervalle de $\R$ contenant tous les $x_j$ et $J$ un
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intervalle de $\R$ contenant tous les $y_i$. Montrer que $I\cap J\neq\varnothing$.
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2. On suppose que $X=(\alpha\ \cdots\ \alpha)$ et
|
||
$Y=(\beta\ \cdots\ \beta)^T$. Montrer que $\alpha=\beta$.
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3. On note
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$$\alpha=\min_{(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)\in\Delta_m}
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\max_{1\leq j\leq n}\sum_{k=1}^m\lambda_k a_{k,j},\qquad
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||
\beta=\max_{(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\Delta_n}
|
||
\min_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n a_{i,j}\mu_j,$$
|
||
où $\Delta_k=\{(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)\in(\R_+)^k\mid
|
||
\lambda_1+\cdots+\lambda_k=1\}$. Montrer que $\alpha\geq\beta$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 26]
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Soient $p$ un nombre premier et $n$ un entier strictement positif.
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1. Dénombrer les bases de l'espace vectoriel $(\mathbb F_p)^n$.
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2. Soit $E$ un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension finie et
|
||
$u\in\mathcal L(E)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(V,W)$ de
|
||
sous-espaces de $E$ tels que $E=V\oplus W$, $V$ et $W$ soient stables par
|
||
$u$, l'endomorphisme induit par $u$ sur $V$ soit inversible, et celui
|
||
induit sur $W$ soit nilpotent.
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||
3. En déduire le nombre de matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(\mathbb F_p)$.
|
||
4. Peut-on mener le même calcul dans $\mathcal M_d(\Z/d\Z)$ pour un entier
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$d$ quelconque ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 27]
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Soient $n\geq2$ et $E_n$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\R^n$.
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Soit $\phi:E_n\to\R$ telle que $\phi(\{0\})=0$ et, pour tous
|
||
$(V,W)\in E_n^2$,
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||
$$\phi(V\cap W)+\phi(V+W)\leq\phi(V)+\phi(W).$$
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||
Montrer qu'il existe un unique sous-espace vectoriel $V_0\in E_n$ de
|
||
dimension maximale tel que
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$$\min_{V\in E_n\setminus\{0\}}\frac{\phi(V)}{\dim V}
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||
=\frac{\phi(V_0)}{\dim V_0}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 28]
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||
Soit $n\in\N^*$. Une matrice $Q\in\mathcal M_n(\R)$ est bistochastique si
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||
ses coefficients sont positifs et de somme égale à $1$ le long de chaque
|
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ligne et de chaque colonne. Montrer que si $Q$ est une matrice
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bistochastique qui n'est pas une matrice de permutation, il existe
|
||
$M\in\mathcal M_n(\R)$ non nulle telle que, pour tout
|
||
$(i,j)\in\db{1,n}^2$ :
|
||
1. si $Q_{i,j}=0$, alors $M_{i,j}=0$ ;
|
||
2. $\sum_{k=1}^n M_{i,k}=\sum_{k=1}^n M_{k,j}=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 29]
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||
1. Montrer que tout endomorphisme de l'anneau $\mathcal M_n(K)$ est injectif.
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||
2. Montrer que les endomorphismes de la $K$-algèbre $\mathcal M_n(K)$ sont
|
||
les applications $M\mapsto PMP^{-1}$ pour $P\in\mathrm{GL}_n(K)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 30]
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||
Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n\in\N^*$. Soient
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||
$A,B\in\mathcal L(V)$ nilpotents et commutants. On note $\C[A,B]$ la
|
||
sous-algèbre de $\mathcal L(V)$ engendrée par $A$ et $B$, et on pose
|
||
$V_1=\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(B)$. Soit $W$ un supplémentaire
|
||
de $V_1$ dans $V$.
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||
1. Montrer que $\dim(\C[A])\leq n$.
|
||
2. Montrer que $V=\sum_{i,j\in\N}A^iB^jW$.
|
||
3. Montrer que l'application de restriction à $W$ définit une injection
|
||
linéaire de $\C[A,B]$ dans $\mathcal L(W,V)$ et en déduire que
|
||
$\dim(\C[A,B])\leq n\dim(W)$.
|
||
4. On note $A_1$ (resp. $B_1$) l'endomorphisme induit par $A$ (resp. $B$)
|
||
sur $V_1$. Montrer que
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||
$\dim(A\C[A,B])\leq\dim(\C[A_1,B_1])$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 31]
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||
Soit $n\in\N^*$. On pose
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$$J_n=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2n}(\Z).$$
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||
1. Montrer que $J_n$ est inversible et donner son inverse.
|
||
2. Soit $G_n=\{M\in\mathcal M_{2n}(\Z)\mid M^TJ_nM=J_n\}$. Montrer que
|
||
$(G_n,\times)$ est un groupe, stable par transposition.
|
||
3. Soit $M\in G_n$ dont la première ligne est $(1,0,\ldots,0)$. On
|
||
suppose $n>1$ et on écrit par blocs
|
||
$$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ *&A&X&B\\ *&*&y&*\\ *&C&Z&D\end{pmatrix},$$
|
||
avec $A,B,C,D\in\mathcal M_{n-1}(\Z)$, $y\in\Z$ et
|
||
$X,Z\in\mathcal M_{n-1,1}(\Z)$. Montrer que $y=1$, $X=Z=0$ et
|
||
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in G_{n-1}$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 32]
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||
On souhaite déterminer les ordres possibles des éléments $A$ de
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||
$\mathrm{GL}_2(\Z)$. Pour cela, on écrit
|
||
$\chi_A=X^2-tX+d$. Préciser les valeurs de $t$ et $d$, puis discuter les
|
||
ordres possibles. Fournir des exemples explicites pour les différents
|
||
ordres possibles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 33]
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Soient $A$ et $B$ des matrices de $\mathcal M_n(\C)$ telles que
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$A^2+B^2=2AB$. Montrer que $\chi_A=\chi_B$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 34]
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||
Soit $G$ un sous-groupe d'ordre $6$ de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Étudier les
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||
propriétés de réduction simultanée des éléments de $G$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 35]
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Soient $K$ un corps et $A\in\mathcal M_2(K)$. On suppose que le polynôme
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||
caractéristique $\chi_A$ est irréductible sur $K$. Soit
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||
$B\in\mathrm{GL}_2(K)$ telle que $B$ ne commute pas avec $A$. Montrer que
|
||
$B^2$ est une matrice scalaire.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 36]
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Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
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1. On suppose que $G$ est fini. Montrer que les éléments de $G$ sont
|
||
diagonalisables. Que peut-on dire de leurs spectres ?
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||
2. On suppose que $G$ est compact. Soit $M\in G$.
|
||
a. Montrer que $\operatorname{Sp}(M)\subset\mathbb U$.
|
||
b. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(M)$. Montrer que
|
||
$\ker(M-\lambda I_n)=\ker((M-\lambda I_n)^2)$ et en déduire que
|
||
$M$ est diagonalisable.
|
||
3. Caractériser les sous-groupes abéliens finis et les sous-groupes abéliens
|
||
compacts de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 37]
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||
Soit $K$ un corps. Une matrice $M\in\mathrm{GL}_2(K)$ est dite
|
||
super-puissante si, pour tout $n\in\N^*$, il existe
|
||
$A_n\in\mathcal M_2(K)$ tel que $M=A_n^n$.
|
||
1. Déterminer les matrices super-puissantes dans le cas où $K=\C$.
|
||
2. On suppose $K=\R$. Montrer que $M\in\mathrm{GL}_2(\R)$ est
|
||
super-puissante si et seulement s'il existe $R\in\mathcal M_2(\R)$ tel
|
||
que $M=R^2$.
|
||
3. Sur $\Q$, montrer que les matrices super-puissantes sont de déterminant $1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 38]
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||
1. Soit $A\in\mathcal M_2(\C)$ tel que $\det A=1$. Exprimer $\chi_A$ en
|
||
fonction d'une forme linéaire usuelle de $A$.
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||
2. Soient $A,B\in\mathcal M_2(\C)$ telles que $\det A=\det B=1$. Montrer
|
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que $\operatorname{Tr}(AB^2)=\operatorname{Tr}(B)\operatorname{Tr}(AB)
|
||
-\operatorname{Tr}(A)$.
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||
3. Soit
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||
$S=\{(x,y,z)\in\Z^3\mid x^2+y^2+z^2=xyz\}$. Soient
|
||
$A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$. Montrer que
|
||
$(\operatorname{Tr}(A),\operatorname{Tr}(B),\operatorname{Tr}(AB))\in S$
|
||
si et seulement si $\operatorname{Tr}(ABA^{-1}B^{-1})=-2$.
|
||
4. Montrer que, pour tout $(x,y,z)\in S\setminus\{(0,0,0)\}$, il existe
|
||
$A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$ tels que
|
||
$x=\operatorname{Tr}(A)$, $y=\operatorname{Tr}(B)$ et
|
||
$z=\operatorname{Tr}(AB)$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 39]
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||
Soit $K$ un sous-corps de $\C$.
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1. Montrer que, si $M\in\mathcal M_n(K)$, alors $M$ est nilpotente si et
|
||
seulement si $\chi_M=X^n$.
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||
2. Pour $M\in\mathcal M_n(K)$, on pose
|
||
$\sin(M)=\frac{1}{2i}(e^{iM}-e^{-iM})$. On note $\mathcal N$ l'ensemble
|
||
des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(K)$. Montrer que $\sin$ induit
|
||
une bijection de $\mathcal N$ sur elle-même.
|
||
3. Soit $G=\{P\in\R_n[X]\mid P(0)=0,\ P'(0)\neq0\}$. Pour $P,Q\in G$,
|
||
on note $P*Q=P(Q(X))\pmod{X^{n+1}}$. Montrer que $(G,*)$ est un groupe.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 40]
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||
Pour $X,Y\in\mathcal M_n(\C)$, on pose $[X,Y]=XY-YX$.
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||
1. On pose $A=\{X\in\mathcal M_2(\C)\mid\operatorname{Tr}X=0\}$. Montrer
|
||
que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_2(\C)$ stable par
|
||
crochet.
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||
2. On pose
|
||
$$X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad
|
||
Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad
|
||
H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$
|
||
Calculer les différents crochets.
|
||
3. Soit $\rho:A\to\mathcal M_n(\C)$ telle que
|
||
$\rho([A,B])=[\rho(A),\rho(B)]$ pour tous $A,B\in\mathcal M_2(\C)$.
|
||
On note $E_\lambda=\ker(\rho(H)-\lambda I_n)$. Soit $\alpha$ une valeur
|
||
propre de $\rho(H)$.
|
||
a. Montrer que $\rho(X)(E_\alpha)\subset E_{\alpha+2}$ et
|
||
$\rho(Y)(E_\alpha)\subset E_{\alpha-2}$.
|
||
b. Soit $V\in E_\alpha$. Montrer que la suite
|
||
$(\rho(X)^kV)_{k\in\N}$ est nulle à partir d'un certain rang.
|
||
4. On dit que $\rho$ est irréductible si, pour tout sous-espace vectoriel
|
||
$V$ de $\C^n$ et tout $A\in A$, la condition $\rho(A)(V)\subset V$
|
||
implique $V=\{0\}$ ou $V=\C^n$. Si $\rho$ est irréductible, montrer que
|
||
$\rho(H)$ est diagonalisable.
|
||
5. Montrer que $\operatorname{Sp}(\rho(H))=\{-m,-m+2,\ldots,m-2,m\}$ avec
|
||
$m\in\N$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 41]
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||
Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $V$. Dans les
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||
deux premières questions, on suppose $V$ de dimension finie.
|
||
1. Montrer que $\lambda\in\R$ est valeur propre de $u$ si et seulement si
|
||
elle est racine du polynôme caractéristique de $u$.
|
||
2. On dit que $\lambda\in\C\setminus\R$ est valeur propre imaginaire de
|
||
$u$ s'il existe $P\in\R[X]$ unitaire de degré $2$ tel que $P(\lambda)=0$
|
||
et $P(u)$ n'est pas injectif. Une valeur propre complexe de $u$ est une
|
||
valeur propre réelle ou imaginaire. Montrer que les racines complexes de
|
||
$\chi_u$ sont exactement les valeurs propres complexes de $u$.
|
||
3. On suppose maintenant que $V$ est de dimension quelconque et muni d'une
|
||
norme, et que $u$ est un homéomorphisme linéaire de $V$ sur lui-même. On
|
||
munit $\mathcal L_c(V)$ des endomorphismes continus de la norme d'opérateur
|
||
associée. Montrer que si la suite $(u^n)_{n\in\Z}$ est bornée, alors,
|
||
pour tout $x\in V\setminus\{0\}$, $0$ n'est pas valeur d'adhérence de la
|
||
suite $G(x)=(u^n(x))_{n\in\Z}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 42]
|
||
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien. Soit
|
||
$(x_1,\ldots,x_n)$ une base orthogonale de $E$. Déterminer, en fonction de
|
||
$\|x_1\|,\ldots,\|x_n\|$, quels sont les entiers $m\in\N$ avec $0<m<n$
|
||
tels qu'il existe un sous-espace vectoriel $F\subset E$ de dimension $m$
|
||
pour lequel les projetés orthogonaux $y_1,\ldots,y_n$ des $x_i$ sur $F$
|
||
ont tous la même norme.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 43]
|
||
Soit $M\in\mathrm O_n(\R)$. Montrer qu'il existe deux symétries
|
||
orthogonales $A,B$ telles que $M=AB$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 44]
|
||
Soient $n\in\N^*$, $1\leq k,\ell\leq n$, et $M\in\mathcal M_n(\R)$ une
|
||
matrice dont les $k$ premières lignes et les $\ell$ premières colonnes
|
||
sont orthonormées. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale ayant les
|
||
mêmes $k$ premières lignes et $\ell$ premières colonnes que $M$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 45]
|
||
1. Pour $a\in\C$, montrer que $|a|<1$ si et seulement si, pour tout $v\in\C$
|
||
non nul, il existe un unique $\rho>0$ tel que $|a+\rho v|=1$.
|
||
2. On identifie $\C$ au $\R$-espace vectoriel $\R^2$ muni de sa structure
|
||
euclidienne canonique. Soient $T$ un automorphisme de $\C$ et $a\in\C$.
|
||
On définit
|
||
$$T_a:z\in\mathbb U\longmapsto
|
||
\frac{a+T(z)}{|a+T(z)|}\in\mathbb U.$$
|
||
Montrer que $T_a$ est bien définie, continue et bijective si et seulement
|
||
si $|T^{-1}(a)|<1$.
|
||
3. On suppose la condition précédente vérifiée. Montrer que $T_a$ est une
|
||
involution si et seulement si $T$ est autoadjoint, $a$ est un vecteur
|
||
propre de $T$ associé à une valeur propre $\lambda<0$, et l'autre valeur
|
||
propre $\mu$ vérifie $\lambda^2=|a|^2+\mu^2$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 46]
|
||
Soit $S\in\mathcal S_n(\R)$ à valeurs propres simples et $V\in\R^n$
|
||
unitaire. Pour $t\in\R$, on pose $G(t)=S+tVV^T$.
|
||
1. À quelle condition $G(t)$ et $S$ n'ont-elles pas de valeurs propres
|
||
communes ?
|
||
2. Étudier les valeurs propres de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 47]
|
||
Soient les matrices de $\mathcal M_2(\C)$ suivantes :
|
||
$$E=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad
|
||
I=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\quad
|
||
J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad K=IJ.$$
|
||
Soit $H$ le $\R$-espace vectoriel engendré par $\{E,I,J,K\}$.
|
||
1. Montrer que $H$ est une $\R$-algèbre de dimension $4$.
|
||
2. On pose $A^*=A^T$ pour $A\in\mathcal M_2(\C)$. Vérifier que
|
||
$A\mapsto A^*$ est un endomorphisme de $H$. Montrer que
|
||
$(AB)^*=B^*A^*$ et $A^{**}=A$, puis donner la matrice de $A\mapsto A^*$
|
||
dans la base $(E,I,J,K)$.
|
||
3. Soit $H_1=\{X\in H\mid XX^*=E\}$. Montrer que $H_1$ est un groupe.
|
||
En identifiant $H_1$ à $\R^4$, donner une description géométrique de
|
||
$H_1$.
|
||
4. Soit $H_2$ le sous-espace de $H$ engendré par $\{I,J,K\}$. Pour
|
||
$X\in H_1$, on définit $\alpha(X):Y\in H_2\mapsto XYX^*\in H_2$.
|
||
En identifiant $\alpha(X)$ à sa matrice dans la base $(I,J,K)$, montrer
|
||
que $\alpha$ définit un morphisme surjectif de $H_1$ dans
|
||
$\mathrm{SO}_3(\R)$ dont le noyau est $\{E,-E\}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 48]
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||
Une matrice $M=(m_{i,j})\in\mathcal M_n(\R)$ est dite centro-symétrique
|
||
lorsque $m_{n+1-i,n+1-j}=m_{i,j}$ pour tous $(i,j)\in\db{1,n}^2$, et elle
|
||
est dite bisymétrique lorsqu'elle est à la fois symétrique et
|
||
centro-symétrique. Un vecteur $X=(x_i)_{i}\in\R^n$ est dit symétrique si
|
||
$x_{n+1-i}=x_i$ pour tout $i$, et antisymétrique si $x_{n+1-i}=-x_i$.
|
||
1. On suppose $n=2k$ pour $k\in\N^*$, et on note
|
||
$J_k=(\delta_{i+j,k+1})_{1\leq i,j\leq k}$. Montrer qu'une matrice
|
||
$M\in\mathcal M_n(\R)$ est centro-symétrique si et seulement s'il
|
||
existe deux matrices symétriques $A,E\in\mathcal M_k(\R)$ telles que
|
||
$$M=\begin{pmatrix}A&EJ_k\\J_kE&J_kAJ_k\end{pmatrix}.$$
|
||
2. Soit $M\in\mathcal M_n(\R)$ bisymétrique. Montrer qu'il existe une
|
||
base orthonormée de $\R^n$ formée de vecteurs propres de $M$, chacun
|
||
symétrique ou antisymétrique.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 49]
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||
Soit $n\geq2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et
|
||
$\mathcal M_n(\R)$ de la norme d'opérateur associée. On rappelle que toute
|
||
matrice $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ a une unique racine carrée dans
|
||
$\mathcal S_n^{++}(\R)$, notée $\sqrt A$. Pour $A,B\in\mathcal S_n(\R)$,
|
||
on note $A\leq B$ si $B-A\in\mathcal S_n^+(\R)$, et $A<B$ si
|
||
$B-A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
|
||
1. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer que
|
||
$\|A\|^2=\max(\operatorname{Sp}(A^TA))$. En déduire que, pour
|
||
$A\in\mathcal S_n^+(\R)$,
|
||
$$\|A\|=\max_{X\in\R^n\setminus\{0\}}
|
||
\frac{\langle AX,X\rangle}{\|X\|^2}=\max(\operatorname{Sp}(A)).$$
|
||
2. Soient $C,D\in\mathcal M_n(\R)$ telles que $CD\in\mathcal S_n^+(\R)$.
|
||
Montrer que $\|CD\|\leq\|DC\|$.
|
||
3. Montrer que $\sqrt{\cdot}$ est croissante sur $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
|
||
4. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe
|
||
$B\in\mathcal M_n(\R)$ tel que $e^B=A$.
|
||
5. Montrer que ce $B$ est unique si on impose $B\in\mathcal S_n(\R)$ ;
|
||
on le note alors $\ln(A)$.
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||
6. Montrer que $\ln$ est croissante sur $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
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Indication : utiliser la question 3.
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7. Est-ce que $A\mapsto A^2$ est croissante sur $\mathcal S_n(\R)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 50]
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Soient $n\in\N^*$ et $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$. Pour
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$k\in\db{1,n}$, on note $s_k(x)$ la somme des $k$ plus grandes composantes
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de $x$. Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, on pose
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$\sigma(x)=(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$.
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1. Montrer que $s_k$ est convexe.
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On pose
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$$K(x)=\left\{\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\lambda_\sigma\sigma(x)
|
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\;\middle|\; (\lambda_\sigma)\in[0,1]^{\mathfrak S_n},\quad
|
||
\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\lambda_\sigma=1\right\}$$
|
||
et
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$$L(x)=\{y\in\R^n\mid \forall k\in\db{1,n-1},
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||
s_k(y)\leq s_k(x)\text{ et }s_n(y)=s_n(x)\}.$$
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||
2. Montrer que $K(x)\subset L(x)$.
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3. On note $D(x)$ l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont les
|
||
coefficients diagonaux d'une matrice $M\in\mathcal S_n(\R)$ dont les
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valeurs propres sont les composantes de $x$. Montrer que $K(x)\subset D(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 51]
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On note $A_+$ l'ensemble des matrices diagonales de la forme
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$\operatorname{Diag}(a_1,\ldots,a_n)$ avec $a_1\geq\cdots\geq a_n>0$.
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1. Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm O_n(\R)$
|
||
et un unique $\sigma(M)\in A_+$ tels que
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||
$M^TM=P\sigma(M)P^T$. Discuter l'unicité de $P$.
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2. On note $\sigma(M)=\operatorname{Diag}(\sigma_1(M),\ldots,\sigma_n(M))$.
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||
On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne canonique et $\mathcal M_n(\R)$
|
||
de la norme d'opérateur associée. Montrer que
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||
$\|M\|_{\mathrm{op}}^2=\sigma_1(M)$.
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||
3. On munit $\mathcal A_n(\R)$ du produit scalaire défini par
|
||
$\langle X,Y\rangle=-\operatorname{Tr}(XY)$. Trouver une base
|
||
orthonormée $B$ de $\mathcal A_n(\R)$.
|
||
4. Soit $\phi_M$ définie par $\phi_M(X)=MXM^T$ pour $X\in\mathcal A_n(\R)$,
|
||
et soit $F_M$ la matrice de $\phi_M$ dans la base $B$. Montrer que
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||
$\sigma_1(F_M)=\sigma_1(M)\sigma_2(M)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 52]
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On munit $\R^n$ et $\mathcal S_n(\R)$ de leur structure euclidienne
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canonique. Pour toute matrice $A\in\mathcal S_n(\R)$, on note
|
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$\lambda_{\max}(A)$ sa plus grande valeur propre.
|
||
1. Montrer que
|
||
$\lambda_{\max}(A)=\max_{x\in\R^n,\,\|x\|=1}x^TAx$.
|
||
2. Montrer que la fonction $\lambda_{\max}:\mathcal S_n(\R)\to\R$ est
|
||
convexe.
|
||
3. Soient $X$ un espace euclidien et $f:X\to\R$ une fonction convexe.
|
||
Pour tout $x\in X$, on pose
|
||
$$\partial f(x)=\{d\in X\mid\forall y\in X,\ f(y)\geq
|
||
f(x)+\langle d,y-x\rangle\}.$$
|
||
Déterminer $\partial f$ pour une fonction convexe $f\in C^1(\R,\R)$ et
|
||
pour $f:x\in\R\mapsto|x|$.
|
||
4. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $\lambda_{\max}(A)$ soit une
|
||
valeur propre simple. Soit $v$ un vecteur propre unitaire associé à
|
||
$\lambda_{\max}(A)$. Montrer que $\partial\lambda_{\max}(A)=\{vv^T\}$.
|
||
Indication : montrer, pour $H\in\mathcal S_n(\R)$ et $t\in\R$,
|
||
$$\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v\leq\lambda_{\max}(A+tH)
|
||
\leq\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v+
|
||
\frac{2t^2\|H\|^2}{\lambda_{\max}(A)-\lambda_2},$$
|
||
où $\lambda_2$ est la deuxième plus grande valeur propre de $A$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 53]
|
||
Soit $E$ un espace euclidien. Pour $f\in\mathcal S(E)$, on pose
|
||
$\operatorname{Sp}_a(f)=\{|\lambda|\mid\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\}$.
|
||
Soit $j\in\mathcal S(E)$ tel que $j^2=\operatorname{id}$. Un vecteur $x$
|
||
est dit $j$-symétrique (resp. $j$-antisymétrique) lorsque $j(x)=x$
|
||
(resp. $j(x)=-x$).
|
||
1. Dans cette question, $E=\R^2$. Déterminer $\operatorname{Sp}_a(j)$ et
|
||
les vecteurs $j$-symétriques et $j$-antisymétriques possibles pour $j$.
|
||
2. Donner un exemple d'un couple $(j,f)\in\mathcal S(E)^2$ tel que
|
||
$j^2=\operatorname{id}$ et que $j\circ f$ ne soit pas diagonalisable.
|
||
3. Soient $f\in\mathcal S(E)$ et $v$ un vecteur propre de $f$ associé à
|
||
une valeur propre $\mu$ telle que
|
||
$|\mu|=\max\operatorname{Sp}_a(f)=\max\operatorname{Sp}_a(j\circ f)$.
|
||
Montrer qu'il existe un unique couple $(e,h)$ de vecteurs propres de
|
||
$f$ tel que $v=e+h$, avec $e$ $j$-symétrique et $h$ $j$-antisymétrique.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 54]
|
||
Soient $S=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$,
|
||
$T=S^{-1}=(t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et
|
||
$\Phi(S)=(s_{i,j}t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\Phi(S)$ est
|
||
dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$ et que sa plus petite valeur propre est $1$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 55]
|
||
Soit $E$ un espace euclidien orienté et soit $b$ une application bilinéaire
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||
de $E\times E$ dans $E$ telle que, pour tout $f\in\mathrm{SO}(E)$,
|
||
$f(b(u,v))=b(f(u),f(v))$. Que dire de $b$ ?
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 56]
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||
On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$, on note $B$ la boule unité
|
||
fermée et l'on pose
|
||
$$\Delta=\sup_{(x,y,z)\in B^3}
|
||
\min(\|x-y\|,\|y-z\|,\|z-x\|).$$
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||
1. Montrer que $\Delta$ est atteint.
|
||
2. Montrer que $\Delta\leq2$.
|
||
3. Calculer $\Delta$ pour la norme euclidienne canonique.
|
||
4. Calculer $\Delta$ pour la norme infinie.
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||
5. Montrer que $\Delta\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 57]
|
||
Soit $D=\{z\in\C\mid |z|\leq1\}$.
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||
1. Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$. Montrer que $f$
|
||
admet un point fixe.
|
||
2. On admet que, pour toute fonction continue $g:D\to\mathbb U$, il existe
|
||
une fonction continue $\theta:D\to\R$ telle que $g=\exp(i\theta)$.
|
||
Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to\mathbb U$ dont
|
||
la restriction à $\mathbb U$ soit l'identité de $\mathbb U$.
|
||
3. Déduire de la question précédente que toute fonction continue de $D$
|
||
dans $D$ admet un point fixe.
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||
4. Soit $C$ un convexe fermé de $\R^2$. Est-il vrai que toute fonction
|
||
continue de $C$ dans $C$ admet un point fixe ?
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 58]
|
||
Soit $A$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]^2\to[0,1]$ telles que
|
||
$$\forall(u,v)\in[0,1]^2,\quad f(0,v)=f(u,0)=0\text{ et }f(u,1)=u,$$
|
||
et, pour tous $0\leq u_1\leq u_2\leq1$ et $0\leq v_1\leq v_2\leq1$,
|
||
$$f(u_1,v_2)-f(u_1,v_1)\leq f(u_2,v_2)-f(u_2,v_1).$$
|
||
Déterminer $h_0,h_1\in A$ tels que, pour tout $f\in A$ et tout
|
||
$(u,v)\in[0,1]^2$, $h_0(u,v)\leq f(u,v)\leq h_1(u,v)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 59]
|
||
On appelle groupe réel tout ensemble $G$ qui est un sous-groupe de
|
||
$\mathrm{GL}_n(\R)$ pour un certain $n\in\N^*$. Un groupe réel $G$ est
|
||
discret si, pour tout $x\in G$, il existe $\varepsilon>0$ tel que
|
||
$B(x,\varepsilon)\cap G=\{x\}$.
|
||
1. Soit $G$ un groupe réel connexe par arcs. Montrer que, si $H$ est un
|
||
sous-groupe de $G$ d'intérieur relatif non vide, alors $H=G$.
|
||
2. Montrer qu'un groupe réel discret est fermé dans $\mathrm{GL}_n(\R)$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 60]
|
||
Soient $d,p\in\N^*$. Soit $f:\R^d\to\R^p$. On munit $\R^d$ et $\R^p$
|
||
de leur structure euclidienne canonique. On suppose que, pour tout
|
||
$x\in\R^d$ et tout $\delta>0$, il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour
|
||
tous $y,z\in B(x,\varepsilon)$,
|
||
$$\left|\|f(y)-f(z)\|-\|y-z\|\right|\leq\delta\|y-z\|.$$
|
||
1. Montrer que $f$ est continue.
|
||
2. Montrer que, pour tous $x,y\in\R^d$,
|
||
$\|f(x)-f(y)\|\leq\|x-y\|$.
|
||
3. On suppose $d=p=1$. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$,
|
||
$|f(x)-f(y)|=|x-y|$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 61]
|
||
Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Une forme linéaire $\phi\in E^*$ est dite positive
|
||
si, pour tout $f\in E$ à valeurs dans $\R_+$, $\phi(f)\in\R_+$.
|
||
1. Montrer que toute forme linéaire positive sur $E$ est continue pour
|
||
$\|\cdot\|_\infty$.
|
||
2. Soit $\phi$ une forme linéaire sur $E$ continue pour $\|\cdot\|_\infty$.
|
||
Montrer que $\phi$ est différence de deux formes linéaires positives
|
||
sur $E$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 62]
|
||
Soient $n\geq2$ et $\|\cdot\|$ une norme sur $\mathcal M_n(\C)$. Pour
|
||
$\varepsilon>0$, on pose
|
||
$S_\varepsilon=\{g\in\mathrm{GL}_n(\C)\mid\|g-I_n\|\leq\varepsilon\}$.
|
||
1. Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que $S_\varepsilon$ soit compact
|
||
et, si l'on note $U$ son intérieur, que le groupe engendré par $U$ soit
|
||
à la fois ouvert et fermé dans $\mathrm{GL}_n(\C)$.
|
||
2. On note $S=S_\varepsilon$ pour le $\varepsilon>0$ trouvé en 1 et
|
||
$\langle S\rangle$ le sous-groupe engendré par $S$. Pour
|
||
$g\in\langle S\rangle$, on note
|
||
$$\ell_S(g)=\min\{k\in\N\mid g=g_1^{s_1}\cdots g_k^{s_k},\quad
|
||
g_i\in S,\ s_i=\pm1\}.$$
|
||
Trouver tous les $g\in\langle S\rangle$ tels que
|
||
$(\ell_S(g^n))_{n\in\N}$ soit bornée.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 63]
|
||
Soit $n\in\N^*$. On munit $\mathcal M_{n,1}(\R)$ d'une norme $N$. Soit
|
||
$A\in\mathcal M_n(\R)$. On dit que $A$ est stable si la suite $(A^k)_{k\in\N}$
|
||
converge vers la matrice nulle, et contractante pour $N$ s'il existe
|
||
$c\in]0,1[$ tel que $N(Ax)\leq cN(x)$ pour tout
|
||
$x\in\mathcal M_{n,1}(\R)$.
|
||
1. Montrer que si $A$ est contractante pour $N$, alors elle est stable.
|
||
2. On suppose $A$ stable. Montrer que la série
|
||
$\sum_{k=0}^{+\infty}(A^k)^TA^k$ converge et que sa somme est dans
|
||
$\mathcal S_n^{++}(\R)$.
|
||
3. Montrer que si $A$ est stable, alors $A$ est contractante pour une norme
|
||
euclidienne bien choisie.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 64]
|
||
Soit $d$ un entier supérieur ou égal à $2$.
|
||
1. Existe-t-il $M\in\mathcal M_d(\R)$ telle que
|
||
$\operatorname{Sp}_{\C}(M)\subset\R$ et que
|
||
$\{\operatorname{tr}(M^n)\mid n\in\N\}$ soit dense dans $\R$ ?
|
||
2. Même question lorsque $M$ a exactement deux valeurs propres non réelles.
|
||
Indication : considérer une énumération des rationnels.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 65]
|
||
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On note $d$ la
|
||
distance associée à la norme. Soit $f:E\to E$ une application s'annulant
|
||
en $0$.
|
||
1. On suppose que $f$ est continue et que, pour tous $(x,y)\in E^2$,
|
||
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$
|
||
Que dire de $f$ ?
|
||
2. On suppose dans la suite que $f$ préserve la distance $d$ et est
|
||
surjective. Montrer que $f$ est linéaire dans les deux cas suivants :
|
||
a. $E=\R^n$ muni de la norme euclidienne canonique ;
|
||
b. $E=\R^2$ muni de la norme infinie.
|
||
3. On revient au cas général. Soient $p,q\in E$ avec $q=-p$. Soit
|
||
$(X_n)_{n\in\N}$ la suite de parties de $E$ définie par
|
||
$$X_0=\{e\in E\mid d(e,p)=d(e,q)=d(p,q)/2\},$$
|
||
$$X_n=\{e\in X_{n-1}\mid\forall x\in X_{n-1},\ d(e,x)
|
||
\leq\operatorname{diam}(X_{n-1})/2\},\quad n\in\N^*.$$
|
||
Montrer que $0\in X_n$ pour tout $n\in\N$, puis caractériser
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||
$\bigcap_{n\in\N}X_n$. Conclure que $f$ est linéaire.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 66]
|
||
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq2$.
|
||
1. Montrer que $B(0,1)\setminus\{0\}$ est connexe par arcs.
|
||
2. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une partie finie de
|
||
$E$. Montrer que $U\setminus V$ est connexe par arcs.
|
||
3. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une union dénombrable
|
||
de sous-espaces affines de $E$ de dimension au plus $n-2$. Montrer que
|
||
$U\setminus V$ est connexe par arcs.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 67]
|
||
On considère l'espace vectoriel normé des suites réelles sommables, noté
|
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$E$, muni de la norme $\|u\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|$.
|
||
1. Rappeler la définition d'une partie compacte de $E$.
|
||
2. Montrer que la boule unité fermée
|
||
$B(0,1)=\{u\in E\mid\|u\|\leq1\}$ n'est pas compacte dans $E$.
|
||
|
||
Une partie $K\subset E$ est dite équisommable si, pour tout
|
||
$\varepsilon>0$, il existe $n_0\in\N$ tel que, pour tout $u\in K$,
|
||
$$\sum_{k=n_0}^{+\infty}|u_k|<\varepsilon.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 68]
|
||
Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\theta)\in(\R_+^*)^2$ tel
|
||
que
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||
$$\sin\left(\frac{\theta}{n^\alpha}\right)
|
||
=\frac{\theta}{(n+1)^\alpha}+O\left(\frac{1}{n^{\alpha+2}}\right)
|
||
\qquad(n\to+\infty).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 69]
|
||
Soient $(c_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels strictement positifs et
|
||
$p\in\N\setminus\{0,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on pose
|
||
$$x_n=\sqrt[p]{c_1+\sqrt[p]{c_2+\sqrt[p]{\cdots+\sqrt[p]{c_n}}}}.$$
|
||
Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$ converge si et seulement si la
|
||
suite $\left(\frac{\ln(c_n)}{p^n}\right)_{n\in\N^*}$ est majorée.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 70]
|
||
Soient $N$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $\alpha$ un réel strictement
|
||
positif. On pose
|
||
$$S_N=\sum_{m\in\N^*}\frac{1}{m^\alpha}
|
||
\sin^2\left(\frac{m\pi}{N}\right).$$
|
||
1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série définissant $S_N$ est-elle
|
||
convergente ?
|
||
2. Déterminer la limite de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$.
|
||
3. Déterminer un équivalent de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$ dans le cas où
|
||
$1<\alpha\leq2$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 71]
|
||
1. Soient $\alpha\geq0$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. On suppose
|
||
que $\sum d_n$ converge. Montrer que
|
||
$\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge.
|
||
2. Soient $\alpha>1$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. Montrer que
|
||
$\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge.
|
||
3. Soit $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive telle que $\sum d_n$ diverge.
|
||
Montrer que $\sum\frac{d_n}{1+d_n}$ diverge.
|
||
4. Soit $\alpha\in]0,1]$. Montrer l'existence de deux suites positives
|
||
$(e_n)_{n\geq0}$ et $(f_n)_{n\geq0}$ telles que :
|
||
a. $\sum e_n$ diverge et $\sum\frac{e_n}{1+n^\alpha e_n}$ diverge ;
|
||
b. $\sum f_n$ diverge et $\sum\frac{f_n}{1+n^\alpha f_n}$ converge.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 72]
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||
Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$.
|
||
1. Montrer que
|
||
$$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^{\sigma(n)}}<+\infty$$
|
||
et expliciter un majorant de la somme.
|
||
2. Soit $\alpha\leq2$. Montrer que
|
||
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sigma(n)}{n^\alpha}=+\infty.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 73]
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||
1. Déterminer le nombre de solutions de $ye^y=x$ selon la valeur de $x$.
|
||
2. Soit $f$ qui à $x\in[-1/e,+\infty[$ renvoie l'unique solution $y\geq-1$
|
||
de $ye^y=x$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]-1/e,+\infty[$.
|
||
3. Montrer que $f'(x)=\frac{1}{x+e^{f(x)}}$ et en déduire que $f$ est
|
||
solution de $x(1+y)y'=y$.
|
||
4. Trouver un développement asymptotique de $f$ en $+\infty$, à deux
|
||
termes, et montrer que le troisième terme est un $o(1)$.
|
||
5. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$,
|
||
et trouver son rayon de convergence.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 74]
|
||
Soit $\beta\geq1$. On considère l'équation
|
||
$y^\beta=\frac13e^y$. Montrer qu'il existe une unique solution sur
|
||
$[1,+\infty[$, que l'on note $y(\beta)$, puis déterminer un développement
|
||
asymptotique de $y(\beta)$ lorsque $\beta$ tend vers $+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 75]
|
||
Soit $f:x\in\R\mapsto x^3$. Soit $T_x$ la fonction polynomiale de degré
|
||
inférieur ou égal à $2$ définie sur $\R$ telle que
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||
$T_x(x)=f(x)$, $T_x'(x)=f'(x)$ et $T_x''(x)=f''(x)$. Que dire de l'ensemble
|
||
$$\{(y,T_x(y))\mid(x,y)\in\R^2\}?$$
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 76]
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1. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il existe une fonction $f$ non nulle,
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de classe $C^k$, à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$.
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2. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$ et
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à support compact.
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3. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$,
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à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 77]
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Soient $a,b\in\R_+^*$. Soit
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$$E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f(1)=0,\quad
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\|f'\|_\infty\leq a,\quad\|f''\|_\infty\leq b\}.$$
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Calculer $\sup_{f\in E}\|f\|_\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 78]
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Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ de $\R$ dans $\R$.
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1. Soit $S$ un segment non trivial de $\R$ sur lequel $f$ n'est pas
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polynomiale. Montrer qu'il existe un sous-segment non trivial $S'$ de
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$S$ sur lequel $f$ n'est pas polynomiale et ne s'annule pas.
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2. On suppose que, pour tout $x\in\R$, il existe $n\in\N$ tel que
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$f^{(n)}(x)=0$. Montrer que $f$ est polynomiale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 79]
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1. Soit $f\in C^0([0,\pi],\R)$. Montrer que
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$$\int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$
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2. Déterminer $(a,b)\in\R^2$ tel que, pour tout $n\in\N^*$,
|
||
$$\int_0^\pi(at^2+bt)\cos(nt)\,dt=\frac{1}{n^2}.$$
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3. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$ et
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$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(2n-1)^2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 80]
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Soient $a,b\in\R_+^*$ et $k\in\Z$. Calculer
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$$\int_0^{+\infty}x^{k+\frac12}e^{-ax-\frac bx}\,dx.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 81]
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Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient de carré intégrable.
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1. Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2$ converge.
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2. Montrer que $f$ et $f'$ tendent vers $0$ en $\pm\infty$.
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3. Montrer que
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$$\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2\leq
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\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}f^2\int_{-\infty}^{+\infty}(f'')^2}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 82]
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Soit $\alpha>0$. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de classe $C^2$
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de $\R_+$ dans $\R$ telles que
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$$J(f)=\int_0^{+\infty}\big((f')^2+\alpha f^2\big)<+\infty.$$
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1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R_+,\R)$.
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||
2. Montrer que, pour tout $v\in\R$, il existe $x\in E$ tel que $x(0)=v$.
|
||
3. On fixe $v\in\R$. Déterminer la borne inférieure de $J$ sur l'ensemble
|
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des $x\in E$ tels que $x(0)=v$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 83]
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||
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f:\R_+\to[0,1]$ continues par morceaux
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et telles que $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\leq1$. Pour $f\in E$, on pose
|
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$$F(f)=-\int_0^{+\infty}f(x)\ln(x)\,dx.$$
|
||
1. Montrer que $F(E)=[-\infty,1]$.
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||
2. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. Caractériser
|
||
$$G_\varepsilon=\sup\left\{\int_1^{+\infty}f(x)\,dx\mid
|
||
f\in E\text{ et }F(f)\geq1-\varepsilon\right\}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 84]
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Trouver une constante $C>0$ telle que, pour toute fonction $f$ continue à
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support compact de $\R$ dans $\R$, on ait, pour tout $x\in\R$,
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$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|f(y)|}{\sqrt{|y-x|}}\,dy
|
||
\leq C\sqrt{\|f\|_\infty\|f\|_1}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 85]
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1. Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions croissantes de $\R$ dans
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$[0,1]$, tendant toutes vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$.
|
||
Montrer que cette suite admet une suite extraite qui converge simplement
|
||
sur $\R$.
|
||
2. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires réelles
|
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discrètes. Montrer qu'il existe une extraction $\phi$ telle que
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$(\E(g(X_{\phi(n)})))_{n\in\N}$ converge pour toute fonction
|
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$g:\R\to\R$ continue et nulle en dehors d'un segment.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 86]
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||
On note $f$ la fonction indicatrice de l'ensemble $\Q$ des rationnels.
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1. La fonction $f$ est-elle limite simple sur $\R$ d'une suite de fonctions
|
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continues ?
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||
2. Existe-t-il une famille $(f_{n,m})_{(n,m)\in\N^2}$ de fonctions
|
||
continues de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x\in\R$,
|
||
$f(x)=\lim_{n\to+\infty}\lim_{m\to+\infty}f_{n,m}(x)$ ?
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 87]
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||
Soient $q,n\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_n\in\R$.
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||
1. Montrer qu'il existe $p\in\{1,\ldots,q^n\}$ tel que, pour tout
|
||
$i\in\{1,\ldots,n\}$, $d(px_i,\Z)\leq\frac1q$.
|
||
2. Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels positifs. On suppose qu'il
|
||
existe $x_0\in\R$ tel que la série $\sum a_n/n^x$ converge si et
|
||
seulement si $x>x_0$. Soit $T>0$. Pour $z\in\C$ vérifiant
|
||
$\operatorname{Re}(z)>x_0$, on pose
|
||
$$f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^z}.$$
|
||
On considère $F=\{z\in\C\mid\operatorname{Re}(z)>x_0,
|
||
\operatorname{Im}(z)\geq T\}$. Montrer que $f$ est bien définie sur
|
||
$F$ et qu'elle n'y est pas bornée.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 88]
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||
Soient $(a_n)_{n\geq0}\in\C^\N$ et
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||
$f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. On pose
|
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$$E_c(f)=\left\{z\in\C\mid |z|=1\text{ et }
|
||
\sum a_nz^n\text{ converge}\right\}.$$
|
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1. Montrer que $E_c(f)$ peut être vide, le cercle unité $\mathbb U$ tout
|
||
entier, ou $\mathbb U\setminus S$ avec $S$ une partie finie. Montrer en
|
||
revanche que $E_c(f)$ ne peut pas être n'importe quel sous-ensemble de
|
||
$\mathbb U$.
|
||
2. On suppose que $a_n\to0$. Montrer qu'il est possible que $E_c(f)=\varnothing$
|
||
ou que $E_c(f)=\{1\}$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 89]
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||
Si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, un élément $\sigma$ de
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||
$\mathfrak S_n$ est dit en zigzags si, pour tout $i\in\{2,\ldots,n-1\}$,
|
||
$\sigma(i)$ n'est pas compris entre $\sigma(i-1)$ et $\sigma(i+1)$. Une
|
||
permutation en zigzags est dite ascendante si $\sigma(2)>\sigma(1)$,
|
||
descendante dans le cas contraire.
|
||
1. Montrer que, si $n\geq2$, il y a autant de permutations en zigzags
|
||
ascendantes que descendantes.
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||
2. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ le nombre de permutations de
|
||
$\{1,\ldots,n\}$ en zigzags et ascendantes. On convient que $A_0=A_1=1$.
|
||
Pour $n\geq1$, vérifier que
|
||
$$2A_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom nk A_kA_{n-k}.$$
|
||
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A_n}{n!}x^n$.
|
||
3. Montrer que le rayon de convergence de $f$ est supérieur ou égal à $1$.
|
||
4. En utilisant une équation différentielle, déterminer une expression de
|
||
$f(x)$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 90]
|
||
Soit $E=C^2([0,1],\R)$. Soit $\phi:E\to E$ l'application qui à $f\in E$
|
||
associe
|
||
$$\phi(f):x\in[0,1]\longmapsto\int_0^x sf(s)\,ds
|
||
+x\int_x^1f(s)\,ds.$$
|
||
1. Déterminer $\ker(\phi)$ et l'ensemble des valeurs propres de $\phi$,
|
||
ainsi que les espaces propres associés.
|
||
2. On pose $P_0=1$ et, pour $n\in\N$, $P_{n+1}=\phi(P_n)$. Déterminer,
|
||
pour tout $x\in[0,1]$, le rayon de convergence de la série entière
|
||
$\sum P_n(x)z^n$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 91]
|
||
1. Déterminer le domaine de définition de
|
||
$f:x\mapsto\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}$.
|
||
2. Déterminer la limite en $+\infty$ et un développement asymptotique à
|
||
deux termes de $f$ en $+\infty$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 92]
|
||
Soient $r>0$ et $G=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. Pour $f:G\to\C$ continue, on
|
||
note
|
||
$$I(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})re^{i\theta}\,d\theta.$$
|
||
1. Calculer $I(z\mapsto z^k)$ et $I\left(z\mapsto\frac1{z-a}\right)$ si
|
||
$k\in\N$ et $a\in\C\setminus G$.
|
||
2. Soit $f:\C\to\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence
|
||
infini. Soit $a\in\C$ avec $|a|<r$. Montrer que
|
||
$$I\left(z\mapsto\frac{f(z)}{z-a}\right)=f(a).$$
|
||
3. Soit $M\in\mathcal M_n(\C)$. Montrer que, si $r$ est assez grand,
|
||
$$e^M=I\left(z\mapsto e^z(zI_n-M)^{-1}\right),$$
|
||
où la fonction $I$ est appliquée coefficient par coefficient.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 93]
|
||
Déterminer un équivalent, quand $\delta\to0$, de
|
||
$$\exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n
|
||
\int_\delta^{+\infty}\frac{e^{-n^2t}}{t}\,dt\right).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 94]
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||
Pour $u:\R\to\R$, on note $(E_u)$ l'équation différentielle
|
||
$y''+u(t)y=0$.
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1. Soient $b>a>0$ réels. Montrer qu'il existe une fonction continue
|
||
$u:\R\to[a,b]$ telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur $\R$.
|
||
2. Montrer qu'il existe une fonction continue $u:\R\to\R$, tendant vers
|
||
$1$ en $+\infty$, telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur
|
||
$\R_+$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 95]
|
||
Soit $f\in C^0([0,1],\R)$. On considère une solution
|
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$y\in C^2([0,1],\R)$ du problème aux limites
|
||
$$y''-y=f,\qquad y(0)=y(1)=0.$$
|
||
1. Montrer que la solution $y$ est unique.
|
||
2. Montrer que
|
||
$$\int_0^1y^2\leq\frac{1}{(1+\pi^2)^2}\int_0^1f^2.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 96]
|
||
Soient $n\in\N^*$ et $S\in\mathcal S_{2n}^{++}(\R)$. On pose
|
||
$$J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\I_n&0\end{pmatrix}.$$
|
||
1. Montrer que les solutions sur $\R$ du système différentiel
|
||
$X'=JSX$ sont bornées.
|
||
2. Montrer qu'il existe des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que
|
||
$JS$ soit semblable sur $\C$ à la matrice diagonale de coefficients
|
||
diagonaux $i\lambda_1,-i\lambda_1,\ldots,i\lambda_n,-i\lambda_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 97]
|
||
Soient $N:\R_+\to\R_+$ continue et strictement croissante, et $a>0$.
|
||
1. Montrer que l'application
|
||
$$L:v\in\R_+^*\longmapsto\int_v^a\frac{dw}{N(w)}$$
|
||
est bien définie, de classe $C^1$, injective et possède une limite
|
||
(finie ou infinie) en $0$. On note cette limite $L(0)$.
|
||
2. Soient $T>0$, $u\in C^1([0,T[,\R_+)$, $A\in\R_+$ et
|
||
$B:[0,T[\to\R_+$ continue et intégrable tels que, pour tout $t\in[0,T[$,
|
||
$$u(t)\leq A+\int_0^tB(s)N(u(s))\,ds.$$
|
||
a. On suppose $A>0$. Montrer que, pour tout $t\in[0,T[$,
|
||
$$-L(u(t))\leq-L(A)+\int_0^tB(s)\,ds.$$
|
||
b. Expliciter l'inégalité précédente quand $B$ est constante et $N$ est
|
||
l'identité.
|
||
c. On suppose $A=0$ et $L(0)=+\infty$. Montrer que $u(t)=0$ pour tout
|
||
$t\in[0,T[$.
|
||
3. Étendre ce qui précède au cas où $u$ est seulement continue.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 98]
|
||
Soient $x,y\in C^1(\R_+,\R)$ telles que
|
||
$$\begin{cases}
|
||
x'(t)=-y(t)(1+x(t)y(t))-x^3(t),\\
|
||
y'(t)=x(t)(1-x(t)y(t))-y^3(t).
|
||
\end{cases}$$
|
||
1. Étudier le comportement asymptotique de $x$ et $y$.
|
||
2. En posant $X(t)=(x(t),y(t))$, décrire le mouvement.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 99]
|
||
Soient $m,n\in\N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne
|
||
canonique. Soient $A\in\mathcal M_{n,m}(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose
|
||
$S=\{X\in\R^m\mid AX=B\}$ et on suppose $S$ non vide.
|
||
1. Montrer que $S$ admet un élément de norme minimale et le caractériser
|
||
géométriquement.
|
||
2. Soient $t>0$, $q>1$ et
|
||
$$f_t:X\in\R^m\longmapsto\frac12\|X\|^2+
|
||
\frac tq\|AX-B\|^q.$$
|
||
a. Montrer que $f_t$ atteint son minimum en un unique point $X_0$.
|
||
b. Soit $(u_k)_{k\geq1}$ une suite d'éléments de $\R^m$ telle que
|
||
$f_t(u_k)\to\min f_t$. Que dire de la suite $(u_k)$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 100]
|
||
On se place dans un $\C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit
|
||
$f\in\mathcal L(E)$. On pose $\rho=\max\{|\lambda|\mid\lambda\in
|
||
\operatorname{Sp}(f)\}$.
|
||
1. Montrer que $f$ est trigonalisable puis que, pour tout $\varepsilon>0$,
|
||
il existe une base $B_\varepsilon$ de $E$ telle que la matrice
|
||
$M=\operatorname{Mat}_{B_\varepsilon}(f)$ vérifie $M_{i,j}=0$ si $j<i$
|
||
et $|M_{i,j}|<\varepsilon$ si $j>i$.
|
||
2. En déduire qu'il existe une norme $N_\varepsilon$ sur $E$ telle que
|
||
$N_\varepsilon(f(x))\leq(\rho+\varepsilon)N_\varepsilon(x)$ pour tout
|
||
$x\in E$.
|
||
3. Montrer que le résultat persiste sur $\R$.
|
||
4. Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien et
|
||
$f\in\mathrm{GL}(E)$. Montrer que
|
||
$\phi:x\in E\setminus\{0\}\mapsto f(x)/\|f(x)\|$ est de classe $C^1$
|
||
et calculer sa différentielle.
|
||
5. Quels sont les points fixes de $\phi$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 101]
|
||
Soient $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ et $(x_0,y_0)\in\R^2$. On définit,
|
||
pour $(x,y)\in\R^2$,
|
||
$$A(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x}
|
||
(x_0+t(x-x_0),y)\,dt,$$
|
||
$$B(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial y}
|
||
(x_0,y_0+t(y-y_0))\,dt.$$
|
||
1. Après avoir rappelé les hypothèses de continuité sous le signe intégral,
|
||
montrer que $A$ et $B$ sont continues.
|
||
2. Montrer que, pour tout $(x,y)\in\R^2$,
|
||
$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+(x-x_0)A(x,y)+(y-y_0)B(x,y).$$
|
||
3. Montrer que si $\phi:\R\to\R$ vérifie les hypothèses suivantes :
|
||
a. $\phi$ est continue ;
|
||
b. $f(x,\phi(x))=0$ pour tout $x\in\R$ ;
|
||
c. $\frac{\partial f}{\partial y}(x,\phi(x))\neq0$ pour tout $x\in\R$ ;
|
||
alors $\phi$ est de classe $C^1$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 102]
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||
Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $\R^n$. On note $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$
|
||
la norme subordonnée sur $\mathcal L(\R^n)$.
|
||
1. Soient $f:\R^n\to\R^n$ de classe $C^1$ et $U$ un ouvert convexe tels
|
||
que $\|df(x)\|_{\mathrm{op}}\leq M$ pour tout $x\in U$. Montrer que,
|
||
pour tous $(x,y)\in U^2$,
|
||
$\|f(x)-f(y)\|\leq M\|x-y\|$.
|
||
2. Dans la suite, $f$ est de classe $C^2$ et $U$ n'est plus supposé convexe.
|
||
On suppose qu'il existe $a\in U$ tel que $f(a)=0$ et $df(a)$ soit
|
||
inversible. Montrer qu'il existe un ouvert $V\subset U$ contenant $a$
|
||
tel que, pour tout $x\in V$, $df(x)$ soit inversible.
|
||
3. On définit $F:V\to\R^n$ par
|
||
$F(x)=x-(df(x))^{-1}(f(x))$. Montrer qu'il existe un ouvert non vide
|
||
$W\subset V$ tel que $F(W)\subset W$ et que, pour toute suite définie
|
||
par $x_0\in W$ et $x_{k+1}=F(x_k)$, la suite $(x_k)$ converge vers $a$.
|
||
4. Soit $P\in\R[X]$. On suppose qu'il existe une matrice $A$ telle que
|
||
$P(A)=0$ et $P'(A)$ soit inversible. On définit au voisinage de $A$
|
||
l'application $F:M\mapsto M-(P'(M))^{-1}P(M)$. Montrer qu'il existe un
|
||
ouvert non vide $W$ tel que, pour toute suite définie par $M_0=M\in W$
|
||
avec $AM=MA$ et $M_{k+1}=F(M_k)$, la suite $(M_k)$ converge vers $A$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 103]
|
||
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne orientée canonique. On note $S$
|
||
la sphère unité, $B$ la boule unité fermée et $r$ la rotation d'angle $\pi/2$.
|
||
Soient $u:\R^2\to\R^2$ de classe $C^1$ et $x:\R_+\to\R^2$ de classe $C^1$
|
||
telles que :
|
||
1. $x'(t)=u(x(t))$ pour tout $t\in\R_+$ ;
|
||
2. $\langle u(y),y\rangle<0$ pour tout $y\in\R^2\setminus B$ ;
|
||
3. $\langle u(y),r(y)\rangle=\|y\|^2$ pour tout $y\in S$ ;
|
||
4. il existe $e\in S$ tel que $\langle u(e),e\rangle<0$.
|
||
|
||
Montrer qu'il existe $T\in\R_+$ tel que, pour tout $t\in[T,+\infty[$,
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$\|x(t)\|<1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 104]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit
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$f\in C^1(\R^n,\R)$ une fonction minorée. On note
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$f^*=\inf_{\R^n}f$, $S=\{x\in\R^n\mid\nabla f(x)=0\}$ et
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$E=\{x\in\R^n\mid f(x)=f^*\}$. On note $(PL)$ la propriété
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$$\exists\mu>0,\ \forall x\in\R^n,\quad
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f(x)-f^*\leq\frac{1}{2\mu}\|\nabla f(x)\|^2.$$
|
||
1. Quel lien y a-t-il entre $S$ et $E$ lorsque $f$ vérifie $(PL)$ ?
|
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2. Soit $E'\subset\R^n$ un sous-espace affine. Existe-t-il une fonction
|
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$f$ vérifiant $(PL)$ pour laquelle $E=E'$ ? Même question lorsque $E'$
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est la sphère unité de $\R^n$.
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3. On suppose que $f$ vérifie $(PL)$. Montrer que $E$ est connexe par arcs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 105]
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Soient $d\in\N^*$, $u:\R^d\to\R^d$ et $\phi:\R\times\R^d\to\R^d$
|
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telles que, pour tout $(t,x)\in\R\times\R^d$,
|
||
$$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,x)=u(\phi(t,x)),\qquad
|
||
\phi(0,x)=x.$$
|
||
Pour $t\in\R$, on note $\phi_t=\phi(t,\cdot)$. On suppose que
|
||
$\operatorname{tr}(du(x))=0$ pour tout $x\in\R^d$. Montrer que, pour tout
|
||
$(t,x)\in\R\times\R^d$, $\det d\phi_t(x)=1$.
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#+end_exercice
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** Géométrie
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 106]
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On appelle similitude directe de $\C$ une application de $\C$ dans $\C$ de
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la forme $z\mapsto az+b$ avec $(a,b)\in\C^*\times\C$.
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1. Montrer que l'ensemble des similitudes directes est un groupe pour la
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composition.
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2. Rappeler l'écriture complexe d'une rotation.
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3. Soient $A_1,A_2,A_3$ des points du plan d'affixes $z_1,z_2,z_3$.
|
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Montrer que $A_1A_2A_3$ est un triangle équilatéral direct si et
|
||
seulement si $z_1+jz_2+j^2z_3=0$.
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4. Peut-on généraliser pour caractériser un polygone régulier à $n$ côtés ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 107]
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On munit $\R^2$ de sa structure affine euclidienne canonique. Pour
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$v\in\R^2$, soit $t_v$ la translation de vecteur $v$.
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||
1. Soit $G$ l'ensemble des bijections de $\R^2$ dans lui-même de la forme
|
||
$t_v\circ u$ où $u\in\mathrm{GL}_2(\R)$ et $v\in\R^2$. Montrer que $G$
|
||
est un sous-groupe du groupe des bijections de $\R^2$ sur lui-même et
|
||
que, si $(a_1,b_1,c_1)$ et $(a_2,b_2,c_2)$ sont deux triplets de points
|
||
non alignés de $\R^2$, il existe un unique $g\in G$ tel que
|
||
$g(a_1)=a_2$, $g(b_1)=b_2$, $g(c_1)=c_2$.
|
||
2. On appelle ellipse toute image d'un cercle de rayon strictement positif
|
||
de $\R^2$ par un élément de $G$. Montrer que, pour tout triangle non
|
||
aplati $T=(a,b,c)$ de $\R^2$, il existe une ellipse tangente aux côtés
|
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de $T$ en leurs milieux.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 108]
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||
Soit $M\subset\R^2$ une partie du plan contenant au moins deux points. On
|
||
dit que $M$ vérifie la propriété $(P)$ si, pour tous $P,Q\in M$ avec
|
||
$P\neq Q$, la droite $(PQ)$ n'intersecte $M$ qu'en $P$ et $Q$. On dit que
|
||
$M$ est maximale si, pour tout $X\notin M$, $M\cup\{X\}$ ne vérifie plus
|
||
$(P)$.
|
||
1. Trouver tous les sous-groupes additifs de $\R^2$ vérifiant $(P)$.
|
||
2. Montrer qu'il existe une partie dense de $\R^2$ vérifiant $(P)$.
|
||
3. Montrer que le cercle unité est maximal.
|
||
4. Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\R^2$ tel que la frontière de $\Omega$
|
||
vérifie $(P)$. Que dire de $\Omega$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 109]
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On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne standard. Une ellipse est
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||
définie comme l'image directe du disque unité fermé par un certain
|
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endomorphisme $f$ de $\R^2$, et l'on définit son aire comme $\pi|\det(f)|$.
|
||
Soit $K$ une partie compacte non vide de $\R^2$.
|
||
1. Montrer que, parmi les disques fermés contenant $K$, il en existe un et
|
||
un seul de rayon minimal (éventuellement nul).
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||
2. Montrer que, parmi les ellipses contenant $K$, il en existe une d'aire
|
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minimale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 110]
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Soit $C\subset\R^2$ une partie convexe compacte dont la frontière est une
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||
courbe de classe $C^1$. On définit un billard commençant par un point $M$ de
|
||
la frontière et un vecteur $\vec v$ comme le chemin obtenu en faisant des
|
||
rebonds chaque fois que la trajectoire touche la frontière, de sorte que
|
||
les rebonds soient symétriques par rapport à la normale au point de
|
||
réflexion. Montrer qu'il existe une trajectoire triangulaire périodique.
|
||
Indication : prendre un triangle dont la somme des longueurs des côtés est
|
||
maximale.
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||
#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 111]
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||
1. On considère trois dés équilibrés dont les faces sont numérotées
|
||
respectivement par les ensembles $\{18,9,8,7,6,5\}$,
|
||
$\{17,16,15,4,3,2\}$ et $\{14,13,12,11,10,1\}$, et l'on note $A,B,C$
|
||
les résultats de chaque lancer. Calculer $\mathbb P(A>B)$,
|
||
$\mathbb P(B>C)$ et $\mathbb P(C>A)$. Commenter le résultat.
|
||
2. On numérote les faces de trois dés à $n$ faces avec les entiers de $1$
|
||
à $3n$ et l'on note $A,B,C$ les résultats de chaque lancer. Montrer que
|
||
l'une des trois probabilités $\mathbb P(A>B)$, $\mathbb P(B>C)$ ou
|
||
$\mathbb P(C>A)$ est inférieure ou égale à $2/3$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 112]
|
||
On considère un tableau de taille $n\times n$, dont on révèle les cases
|
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une par une aléatoirement.
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||
1. Soient $m\in\N^*$ et $i\in\db{1,n}$. Calculer la probabilité qu'après
|
||
$m$ étapes, la ligne $i$ n'ait aucune case révélée. La majorer par
|
||
$(1-1/n)^m$.
|
||
2. On note $H_n$ le nombre d'étapes nécessaires pour que toute ligne et
|
||
toute colonne contienne au moins une case révélée. Soit $\varepsilon>0$.
|
||
Montrer que
|
||
$\mathbb P(H_n>\lfloor(1+\varepsilon)n\ln n\rfloor)\to0$ lorsque
|
||
$n\to+\infty$. Déterminer la vitesse de convergence.
|
||
3. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. On note $X_n$ le nombre de lignes ne
|
||
contenant pas de case révélée à l'instant
|
||
$\tau=\lfloor(1-\varepsilon)n\ln n\rfloor$. Montrer que
|
||
$\mathbb E(X_n)\to+\infty$ lorsque $n\to+\infty$.
|
||
4. Montrer que $\mathbb P(X_n=0)\to0$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 113]
|
||
Que dire de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X$
|
||
et $Y$ telles que $X+Y$ et $Y$ soient indépendantes ?
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 114]
|
||
Soit, pour $n\in\N^*$, $M_n$ une matrice aléatoire dont les coefficients
|
||
sont des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de
|
||
paramètre $1/2$. Montrer qu'il existe une constante absolue $c>0$ telle que,
|
||
pour tout $n\in\N^*$,
|
||
$$\mathbb P(M_n\in\mathrm{GL}_n(\R))\geq c.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 115]
|
||
Soit $R>0$. On choisit aléatoirement un polynôme $P_n\in\C_n[X]$ unitaire
|
||
de degré $n$, à coefficients indépendants suivant la loi uniforme sur
|
||
$B(0,R)\cap\Z[i]$. Où se situent les racines de $P_n$ quand $n$ tend vers
|
||
$+\infty$ ?
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 116]
|
||
On définit, pour une suite de réels $u=(u_i)_{i\geq0}$, la suite de
|
||
matrices $H(u)$ telle que
|
||
$H_n(u)=(u_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.
|
||
1. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n=\E(X^n)$, avec $X$ une variable
|
||
aléatoire réelle discrète admettant un moment de tout ordre. Montrer que
|
||
toutes les matrices $H_n(u)$ sont symétriques positives. Quel est leur
|
||
rang ?
|
||
2. On suppose que $u_0,\ldots,u_{2M-2}$ vérifient
|
||
$H_M(u)\in\mathcal S_M^{++}(\R)$. Montrer que la suite $u$ peut être
|
||
prolongée à partir du rang $2M-1$ en une suite infinie telle que, pour
|
||
tout $n\geq M$, $\operatorname{rg}(H_n(u))=M$.
|
||
3. On suppose que $H_n(u)\in\mathcal S_n^+(\R)$ pour tout $n\in\N$. Montrer
|
||
que les seules natures possibles pour la suite
|
||
$(\operatorname{rg}(H_n(u)))_{n\geq0}$ sont : soit
|
||
$\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour tout $n\in\N$ ; soit il existe $M$
|
||
tel que $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour $n\leq M$, puis cette suite
|
||
est stationnaire égale à $M$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 117]
|
||
Soit $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
|
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$\mathfrak S_m$. Quelle est la loi de la longueur du cycle de $\sigma$
|
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contenant $1$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2026 # 118]
|
||
Soit $p\geq5$ un nombre premier. On admet que le polynôme $X^3-1$ a pour
|
||
unique racine $1$ dans $\mathbb F_p$ si et seulement si $p\equiv2\pmod3$.
|
||
On tire une matrice $M$ dans $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_p)$ avec la
|
||
probabilité uniforme. Calculer $\mathbb P(M^3=I_3)$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 119]
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||
Soit $n\in\N^*$. On dit que la matrice $A\in\mathcal M_2(\Z)$ est
|
||
inversible modulo $n$ s'il existe $B\in\mathcal M_2(\Z)$ telle que, pour
|
||
tous $(i,j)\in\db{1,2}^2$, $(AB)_{i,j}\equiv\delta_{i,j}\pmod n$.
|
||
1. Montrer que $A$ est inversible modulo $n$ si et seulement si
|
||
$\det(A)\wedge n=1$.
|
||
2. Soient $a,b,c,d$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme
|
||
sur $\db{0,n-1}$, et
|
||
$M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Calculer la probabilité que
|
||
$M$ soit inversible modulo $n$ pour $n=p^k$, avec $p$ premier et
|
||
$k\in\N^*$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 120]
|
||
Soient $n\in\N^*$ et $(a_1,b_1),\ldots,(a_k,b_k),\ldots$ une suite i.i.d.
|
||
de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Pour
|
||
$m\in\N^*$, soit $\sigma_m$ la permutation aléatoire
|
||
$\sigma_m=(a_1\ b_1)\circ\cdots\circ(a_m\ b_m)$, et soit $\mu_m$ la loi
|
||
de $\sigma_m$.
|
||
1. Pour $m\in\N^*$, exprimer $\mu_{m+1}$ en fonction de $\mu_m$.
|
||
2. À quelle condition sur $m$ a-t-on $\mu_m(\{\sigma\})>0$ pour tout
|
||
$\sigma\in\mathfrak S_n$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 121]
|
||
Soient $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la
|
||
loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour $N\in\N^*$, on pose
|
||
$$S_N=\sum_{i=1}^N\frac{X_i}{i^\alpha},\qquad
|
||
F_N:x\in\R\longmapsto\mathbb P(S_N\leq x).$$
|
||
Montrer que la suite $(F_N)$ converge ; on note $F$ sa limite. Pour quelles
|
||
valeurs de $\alpha>0$, $\lambda>0$ et $x\geq0$ a-t-on $F(x)>0$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 122]
|
||
1. Soient $a\in]0,1[$ et $b\in\R_+^*$. Montrer qu'il existe
|
||
$c_{a,b}>0$ tel que, pour toute variable aléatoire $Z$ à valeurs dans
|
||
$\R_+$ vérifiant $\E(Z)=1$ et $\E(Z^2)\leq b$, on ait
|
||
$\mathbb P(Z\geq a)\geq c_{a,b}$.
|
||
2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant
|
||
la loi de Rademacher et, pour $n\in\N^*$,
|
||
$S_n=X_1+\cdots+X_n$.
|
||
a. Montrer que, pour tout $a>0$, il existe $\phi(a)>0$ tel que, pour
|
||
tout $n$ assez grand,
|
||
$\mathbb P(S_n/\sqrt n\geq a)\geq\phi(a)$.
|
||
b. Montrer que
|
||
$$\mathbb P\left(\left(\frac{S_n}{\sqrt n}\right)_{n\geq1}
|
||
\text{ est bornée}\right)=0.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 123]
|
||
1. Montrer que la fonction $\tau$ qui associe à un entier naturel non nul
|
||
son nombre de diviseurs positifs vérifie
|
||
$\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$ pour tous $m,n\in\N^*$ premiers entre eux.
|
||
2. Trouver un équivalent de $\E(\tau(T_N))$ quand $N\to+\infty$, où
|
||
$T_N\sim\mathcal U(\db{1,N})$.
|
||
3. Montrer que
|
||
$\mathbb P(\tau(T_N)>\ln^3(N))=O(1/\ln^3(N))$ quand $N\to+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 124]
|
||
Soient $p\in\N^*$, $N\in\N$ avec $N\geq2$, et $X_0,X_1,\ldots,X_N$ des
|
||
variables aléatoires complexes telles que, pour tous $i,j\in\{0,\ldots,N\}$,
|
||
$$\E(|X_i-X_j|^p)\leq\left(\frac{|i-j|}{N}\right)^2.$$
|
||
1. Soit $\eta>0$. Donner une majoration de
|
||
$\mathbb P\left(\max_{1\leq i\leq N}|X_i-X_0|\geq\eta\right)$.
|
||
2. À partir de quel $p$ cette majoration est-elle pertinente ?
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 125]
|
||
Soit $(p_n)_{n\in\N}\in[0,1]^\N$. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de
|
||
variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N$,
|
||
$X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Montrer l'équivalence entre :
|
||
1. pour toute distribution de probabilités $(q_i)_{i\geq0}$ sur $\N$,
|
||
il existe une suite $(g_n)$ de fonctions de $\{0,1\}^{n+1}$ dans $\N$
|
||
telle que $(g_n(X_0,\ldots,X_n))$ converge presque sûrement vers une
|
||
variable aléatoire suivant la loi associée à $(q_i)$ ;
|
||
2. $\sum_{n=1}^{+\infty}p_n(1-p_n)=+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 126]
|
||
1. Soit $p\in]0,1[$. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables
|
||
aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Pour
|
||
$n\in\N^*$, on note $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Donner un équivalent
|
||
simple de $\E(M_n)$ quand $n\to+\infty$.
|
||
2. Soit $(Y_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant
|
||
la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Pour $n\in\N^*$, on note
|
||
$P_n=\max(Y_1,\ldots,Y_n)$. Montrer que $\E(P_n)=o(\E(M_n))$, puis
|
||
trouver un équivalent de $\E(P_n)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 127]
|
||
Soient $\beta\in]2,+\infty[$ et $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de
|
||
variables aléatoires telles que, pour tout $m\in\N^*$,
|
||
$$\mathbb P(X_1=m)=\frac{1}{\zeta(\beta)}\frac{1}{m^\beta}.$$
|
||
Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Déterminer un
|
||
équivalent simple de $\E(M_n)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 128]
|
||
Soient $(p_k)_{k\geq0}\in]0,1[^{\N}$ et $(X_k)_{k\geq0}$ une suite de
|
||
variables de Bernoulli indépendantes telle que $p_k=\mathbb P(X_k=1)$ pour
|
||
tout $k\in\N$. Soit $(a_k)_{k\geq0}$ une suite de réels positifs.
|
||
1. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k<+\infty$. Montrer que, pour tout
|
||
$A\in\R_+^*$,
|
||
$$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)>0.$$
|
||
2. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k=+\infty$ et que $(a_k)$ est
|
||
bornée. Montrer que, pour tout $A\in\R_+^*$,
|
||
$$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)=0.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 129]
|
||
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discrètes réelles
|
||
indépendantes. On suppose que, pour tout $k\in\db{1,n}$,
|
||
$\E(|X_k|)<+\infty$ et $\E(X_k)\geq0$. On note
|
||
$S_k=\sum_{i=1}^kX_i$.
|
||
1. Montrer que, pour tout $C>0$,
|
||
$$\mathbb P\left(\max(S_1,\ldots,S_n)\geq C\right)
|
||
\leq\frac{\E(\max(S_n,0))}{C}.$$
|
||
2. On suppose de plus que, pour tout $k\in\db{1,n}$,
|
||
$\E(X_k)=0$ et $\E(X_k^2)<+\infty$. Montrer que, pour tout $C>0$,
|
||
$$\mathbb P\left(\max(|S_1|,\ldots,|S_n|)\geq C\right)
|
||
\leq\frac{\E(S_n^2)}{C^2}.$$
|
||
#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 130]
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||
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$. On note
|
||
$X\leq_{\mathrm{st}}Y$ la condition
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||
$\forall m\in\N,\ \mathbb P(X\geq m)\leq\mathbb P(Y\geq m)$. Soient
|
||
$0<p<q<1$ et $n\in\N^*$.
|
||
1. On suppose que $X\sim\mathcal B(n,p)$ et $Y\sim\mathcal B(n,q)$.
|
||
Montrer que $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
|
||
2. Montrer que si $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\N$ et que
|
||
$k\mapsto\frac{\mathbb P(X=k)}{\mathbb P(Y=k)}$ est décroissante, alors
|
||
$X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
|
||
3. Soient $X',Y'$ deux variables aléatoires telles que
|
||
$X'\sim\mathcal B(n,p)$ et $Y'\sim\mathcal B(n,q)$. Soient $X,Y$ des
|
||
variables aléatoires telles que, pour $k\in\db{1,n}$,
|
||
$$\mathbb P(X=k)=\frac{\mathbb P(X'=k)}{1-\mathbb P(X'=0)},\qquad
|
||
\mathbb P(Y=k)=\frac{\mathbb P(Y'=k)}{1-\mathbb P(Y'=0)}.$$
|
||
Justifier que de telles variables aléatoires existent. Montrer que
|
||
$X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 131]
|
||
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, et $(X_k)_{k\geq1}$
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||
une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de $X$. Pour
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||
$n\in\N$ et $x\in\R_+$, soient
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$$S_n=\sum_{k=1}^nX_k,\qquad u_n(x)=\mathbb P(S_n\leq nx).$$
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||
1. On admet que, si $(a_n)_{n\geq1}$ est une suite réelle sous-additive,
|
||
alors $(a_n/n)_{n\geq1}$ converge dans $\R\cup\{-\infty\}$. Montrer
|
||
que, pour tout $x\in\R_+$, la suite $(\sqrt[n]{u_n(x)})_{n\geq1}$
|
||
converge vers un élément $v(x)$ de $[0,1]$.
|
||
2. À quelle condition sur $X$ la fonction $v$ est-elle constante égale à $1$ ?
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||
3. On suppose qu'il existe $t\in\R_+^*$ tel que $\E(e^{tX})<+\infty$.
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Résoudre l'équation $v(x)=1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 132]
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1. Soit $h:u\in\R_+\mapsto(1+u)\ln(1+u)-u$. Montrer que $h$ est
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positive, convexe et en donner un équivalent en $0$.
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2. Soit $X$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Montrer que,
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pour tout $u>0$,
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$$\mathbb P(X\geq\lambda(1+u))\leq e^{-\lambda h(u)}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 133]
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Soit $d\in\N^*$. Pour $x=(x_1,\ldots,x_d)$, $y=(y_1,\ldots,y_d)\in\Z^d$,
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on note $x\preceq y$ si $x_i\leq y_i$ pour tout $1\leq i\leq d$. On dit que
|
||
$f:\Z^d\to\R$ est croissante si $x\preceq y$ implique $f(x)\leq f(y)$.
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||
Soient $f,g$ deux fonctions croissantes et bornées de $\Z^d$ dans $\R$.
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Montrer que
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$$\E(f(X_1,\ldots,X_d)g(X_1,\ldots,X_d))
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\geq\E(f(X_1,\ldots,X_d))\E(g(X_1,\ldots,X_d))$$
|
||
dans chacun des cas suivants :
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1. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Bernoulli indépendantes ;
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||
2. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Poisson indépendantes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 134]
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||
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note
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$F_X:t\in\R\mapsto\mathbb P(X\leq t)$. Pour $q\in]0,1[$, on pose
|
||
$$C_X(q)=\inf\{t\in\R\mid F_X(t)\geq q\}.$$
|
||
1. Soit $q\in]0,1[$. Montrer que $C_X(q)$ est bien défini. Calculer
|
||
$C_X(q)$ pour $X\sim\mathcal B(p)$ avec $p\in]0,1[$.
|
||
2. Soient $x\in\R$ et $q\in]0,1[$. Montrer que
|
||
$C_X(q)\leq x$ si et seulement si $q\leq F_X(x)$. En déduire que
|
||
$$\int_0^1\mathbf 1_{C_X(q)\leq x}\,dq=\mathbb P(X\leq x).$$
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||
En déduire une expression de $\E(X)$ lorsque $X$ est à valeurs dans $\N$.
|
||
3. Soit $\widetilde C_X(q)=\sup\{t\in\R\mid\mathbb P(X<t)\leq q\}$.
|
||
Montrer que $C_{-X}(q)=-\widetilde C_X(1-q)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 135]
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On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\Z$ est symétrique si
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||
$X\sim-X$. Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires
|
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symétriques i.i.d. à valeurs dans $\Z$. Pour $n\geq1$, on pose
|
||
$S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ et, pour $x\in\Z$, $p_n(x)=\mathbb P(S_n=x)$.
|
||
1. Pour $n,k\geq1$, montrer que
|
||
$$p_{n+k}(x)=\sum_{y\in\Z}p_n(y)p_k(x-y).$$
|
||
2. Montrer que l'application $x\mapsto p_{2n}(x)$ atteint un maximum
|
||
sur $\Z$ en un unique point.
|
||
3. On suppose maintenant que $X_1\sim\mathcal U(\{-1,1\})$. Montrer que,
|
||
pour tout $n\geq1$ et tout $x\in\Z$,
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||
$$p_n(x)\leq\frac{2}{\sqrt{\pi n}}.$$
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 136]
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||
Soient $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ des suites telles que, pour
|
||
tout $n\in\N$, $a_n,b_n\in\db{0,n}$ et $a_n+b_n=n-c$, avec $c\in\N$
|
||
fixé. Pour $n\in\N$, soit $V_n$ (resp. $W_n$) un sous-espace vectoriel
|
||
aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des sous-espaces de
|
||
$(\Z/p\Z)^n$ de dimension $a_n$ (resp. $b_n$). On suppose que $V_n$ et
|
||
$W_n$ sont indépendants. Donner une condition nécessaire et suffisante pour
|
||
que la suite
|
||
$$\left(\mathbb P(\dim(V_n+W_n)=a_n+b_n)\right)_{n\in\N}$$
|
||
converge et déterminer sa limite le cas échéant.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 137]
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||
Soient $m,n\in\N^*$, $x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n\in\R$ avec
|
||
$x_1<\cdots<x_m$ et $y_1<\cdots<y_n$. Soient
|
||
$a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_n\in\R_+^*$ tels que
|
||
$\sum_{i=1}^m a_i=\sum_{j=1}^n b_j=1$. Soient $X,Y$ deux variables
|
||
aléatoires de lois données par $\mathbb P(X=x_i)=a_i$ et
|
||
$\mathbb P(Y=y_j)=b_j$. Une matrice de couplage de $X,Y$ est une matrice
|
||
$P=(p_{i,j})\in\mathcal M_{m,n}(\R)$ telle que
|
||
$p_{i,j}=\mathbb P(X=x_i,Y=y_j)$ ; on pose
|
||
$C(P)=\E((X-Y)^2)$ et le couplage est optimal si $P$ minimise $C(P)$.
|
||
1. Justifier que $C(P)$ ne dépend que de la matrice $P$ et montrer
|
||
l'existence d'un couplage optimal.
|
||
2. Justifier que minimiser $\E((X-Y)^2)$ revient à maximiser $\E(XY)$.
|
||
3. Posons $A_0=B_0=0$, $A_i=a_1+\cdots+a_i$ et $B_j=b_1+\cdots+b_j$.
|
||
Définissons $I_i=]A_{i-1},A_i]$ et $J_j=]B_{j-1},B_j]$, puis
|
||
$p^*_{i,j}=|I_i\cap J_j|$. Montrer que la matrice $(p^*_{i,j})$ est
|
||
l'unique matrice de couplage optimal.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2026 # 138]
|
||
Soient $n\geq2$ et $N\geq2$ deux entiers, et $X_1,\ldots,X_n$ des
|
||
variables aléatoires réelles indépendantes telles que
|
||
$X_1+\cdots+X_n$ suive la loi uniforme sur $\db{0,N-1}$. Est-il vrai que
|
||
les $X_i$ suivent des lois uniformes ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS U 2026 # 139]
|
||
Soit $p\in[0,1]$, $(X_n)_{n\geq0}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires
|
||
de Bernoulli de paramètre $p$, et $(Y_n)_{n\geq0}$ la suite définie par
|
||
$Y_0=1$ et, pour $n\in\N$,
|
||
$$Y_{n+1}=\frac15(Y_n^2+4X_n+2).$$
|
||
Pour $n\in\N$, on pose
|
||
$$F_n:x\in\R\mapsto\mathbb P(\min(Y_1,\ldots,Y_n)\leq x),\qquad
|
||
G_n:x\in\R\mapsto\mathbb P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)\leq x).$$
|
||
Montrer que les suites de fonctions $(F_n)$ et $(G_n)$ convergent
|
||
simplement vers des fonctions de $\R$ dans $\R$ que l'on déterminera.
|
||
#+end_exercice
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* ENS PSI :autre:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 140]
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1. Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N$ et $\alpha>0$. Quel est le
|
||
nombre de multiples de $p^\alpha$ entre $1$ et $n$ ?
|
||
2. Montrer que la plus grande puissance de $p$ qui divise $n!$ est
|
||
$$\sum_{\alpha=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^\alpha}\right\rfloor.$$
|
||
3. Montrer que, lorsque $x\to+\infty$,
|
||
$$\sum_{\substack{p\leq x\\p\text{ premier}}}\frac{\ln(p)}p
|
||
\geq\ln(x)+O(1).$$
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 141]
|
||
Soient $a_1<a_2<\cdots<a_n$ des réels. On pose par convention
|
||
$a_{n+1}=+\infty$. Soit $(n_k)_{1\leq k\leq n}\in(\N^*)^n$. Soit
|
||
$$f:x\in\R\setminus\{a_1,\ldots,a_n\}\longmapsto
|
||
\sum_{k=1}^n\frac{n_k}{x-a_k},\qquad d=\sum_{k=1}^n n_k.$$
|
||
Soit $t>0$, et posons $R_t:x\in\R\mapsto\frac1{t-f(x)}$.
|
||
1. Donner un développement asymptotique à deux termes en $+\infty$ de $f$
|
||
puis de $R_t$.
|
||
2. Soit $i\in\db{1,n}$. Justifier que $f$ réalise une bijection de
|
||
$]a_i,a_{i+1}[$ sur un intervalle $I_i$ que l'on précisera. On note
|
||
$g_i$ sa réciproque.
|
||
3. Montrer que, pour tout $t>0$,
|
||
$$g_i(t)-a_i=\int_t^{+\infty}\frac{ds}{|f'(g_i(s))|}.$$
|
||
4. Soient $x\in\R$ et $t>0$. Montrer que
|
||
$$R_t(x)=\frac1t\frac{\prod_{i=1}^n(x-a_i)}
|
||
{\prod_{i=1}^n(x-g_i(t))}
|
||
=\frac1t+\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-g_i(t)}
|
||
\frac{1}{|f'(g_i(t))|}.$$
|
||
5. Montrer que, pour tout $t>0$,
|
||
$$\sum_{i=1}^n\frac{1}{|f'(g_i(t))|}=\frac{d}{t^2}.$$
|
||
6. Soit $P$ un polynôme réel scindé. Soit $t>0$, et posons
|
||
$$E_t=\left\{x\in\R\mid\frac{P'}P(x)>t\right\}.$$
|
||
Montrer que $E_t$ est une réunion finie d'intervalles ouverts et que la
|
||
somme de leurs longueurs vaut $d/t$, où $d$ est le degré de $P$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 142]
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1. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ n'ayant pas de valeur propre réelle.
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Montrer que $\det A>0$.
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Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$ et
|
||
$$M=\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}.$$
|
||
2. On suppose que $\operatorname{Sp}_{\R}(M)=\varnothing$. Montrer que
|
||
$\det M>0$.
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||
3. On suppose que $M$ est diagonalisable. Montrer que $\det M\geq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 143]
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||
Soit $K=\R$ ou $\C$ et soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension
|
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$n\geq1$. Soit $f\in\mathcal L(E)$.
|
||
1. Montrer que $\ker f=\ker(f^2)$ si et seulement si
|
||
$E=\ker f\oplus\operatorname{Im}f$.
|
||
2. Trouver un exemple d'espace $E$ et d'application $f\in\mathcal L(E)$
|
||
telle que $\operatorname{Im}f=\ker f$.
|
||
3. Si $K=\C$, montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si, pour
|
||
tout $\lambda\in\operatorname{Sp}(f)$,
|
||
$\ker(f-\lambda\operatorname{id})=\ker((f-\lambda\operatorname{id})^2)$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 144]
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||
Soit $n\geq2$.
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||
1. Résoudre l'équation $AA^TA=I_n$ d'inconnue $A\in\mathcal M_n(\R)$.
|
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2. a. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai si
|
||
$A\in\mathcal M_n(\C)$ ?
|
||
b. Trouver une solution non diagonale dans $\mathcal M_n(\C)$. Plus
|
||
généralement, donner une infinité de solutions non diagonales dans
|
||
$\mathcal M_n(\C)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 145]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
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1. Montrer qu'il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\R)$ et une matrice diagonale
|
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$D\in\mathcal M_n(\R)$ telles que $A=QQ^T$ et $B=QDQ^T$. Montrer que
|
||
les coefficients diagonaux de $D$ sont strictement positifs.
|
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2. Montrer que $\det(A+B)\geq\det A+\det B$.
|
||
3. Montrer que $\mathcal S_n^{++}(\R)$ est dense dans $\mathcal S_n^+(\R)$.
|
||
En déduire une inégalité générale valable sur $\mathcal S_n^+(\R)$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 146]
|
||
Soit $n\in\N^*$. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ à coefficients dans
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||
$\{0,1\}$ et de trace nulle. Soient $J\in\mathcal M_n(\R)$ et
|
||
$U\in\R^n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$. On note
|
||
$A^2=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. On suppose qu'il existe
|
||
$d\in\N^*$ tel que
|
||
$$A^2+A-(d-1)I_n=J.$$
|
||
1. a. Déterminer $\operatorname{Sp}(J)$ et les dimensions des sous-espaces
|
||
propres de $J$.
|
||
b. Montrer que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $b_{i,i}$ est égal au nombre
|
||
de coefficients égaux à $1$ dans la colonne (ou la ligne) numéro $i$ de
|
||
$A$.
|
||
c. Montrer que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $a_{i,i}=0$, puis que
|
||
$b_{i,i}-(d-1)=1$.
|
||
2. Posons $P(X)=X^2+X-(d-1)$.
|
||
a. Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre associée à $A$, alors
|
||
$P(\lambda)$ est une valeur propre associée à $J$.
|
||
b. Montrer que $n=d^2+1$.
|
||
c. Montrer que $E_J(n)=E_A(d)$.
|
||
3. Soient $a>b$ les racines de $P$, $\Delta$ le discriminant de $P$,
|
||
$F_a=\{X\in\R^n\mid AX=aX\}$, $F_b=\{X\in\R^n\mid AX=bX\}$,
|
||
$\alpha=\dim(F_a)$ et $\beta=\dim(F_b)$.
|
||
a. Expliciter $a$ et $b$. Peut-on avoir $\alpha\beta=0$ ?
|
||
b. Montrer que $1+\alpha+\beta=n$, $d+\alpha a+\beta b=0$ et
|
||
$\sqrt\Delta(\alpha-\beta)=d^2-2d$.
|
||
c. Montrer que $d$ appartient à un ensemble fini que l'on déterminera.
|
||
On pourra raisonner sur la condition $\sqrt\Delta\in\N$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 147]
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||
1. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer que, pour tout
|
||
$k\in\db{1,n}$,
|
||
$\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})>0$.
|
||
2. On cherche désormais à démontrer la réciproque. Soit
|
||
$M\in\mathcal S_n(\R)$, que l'on écrit par blocs
|
||
$$M=\begin{pmatrix}M_{n-1}&V\\V^T&\alpha\end{pmatrix},$$
|
||
avec $M_{n-1}\in\mathcal S_{n-1}(\R)$. On suppose que tous les mineurs
|
||
principaux dominants vérifient
|
||
$\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})>0$.
|
||
a. Montrer qu'il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telle que
|
||
$$Q^TMQ=\begin{pmatrix}M_{n-1}&0\\0&\beta\end{pmatrix}$$
|
||
avec $\beta>0$.
|
||
b. Conclure.
|
||
3. Pour quelles valeurs de $n\in\N^*$ la matrice tridiagonale
|
||
$$A_n=\begin{pmatrix}
|
||
2&1&0&\cdots&0\\1&2&1&\ddots&\vdots\\0&1&2&\ddots&0\\
|
||
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\0&\cdots&0&1&2
|
||
\end{pmatrix}$$
|
||
appartient-elle à $\mathcal S_n^{++}(\R)$ ?
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 148]
|
||
Soient $A\in\mathcal S_n(\R)$ et $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
|
||
1. Montrer qu'il existe $C\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=B$.
|
||
2. En déduire que $AB$ est diagonalisable.
|
||
3. On suppose de plus que $A$ est positive. Montrer que
|
||
$\operatorname{Sp}(AB)\subset\R_+$.
|
||
4. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(AB)$. Montrer que
|
||
$$\min_{\substack{\alpha\in\operatorname{Sp}(A)\\
|
||
\beta\in\operatorname{Sp}(B)}}\alpha\beta\leq\lambda\leq
|
||
\max_{\substack{\alpha\in\operatorname{Sp}(A)\\
|
||
\beta\in\operatorname{Sp}(B)}}\alpha\beta.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 149]
|
||
Soit $n\geq2$. Pour $A,B\in\mathcal M_n(\R)$, on pose
|
||
$\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$.
|
||
1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
|
||
2. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer que $AA^T$ a $n$ valeurs propres
|
||
positives notées $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$. Déterminer
|
||
$$\sup_{\substack{x\in\R^n\\\|x\|_2=1}}\|A^Tx\|_2.$$
|
||
3. On note $E_r$ l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\R)$ de rang au
|
||
plus $r$. Montrer que tout élément de $E_1$ peut s'écrire sous la forme
|
||
$xy^T$, où $x,y\in\R^n$.
|
||
4. Montrer que, pour tout $A\in\mathcal M_n(\R)$ et tout $M\in E_1$,
|
||
$$\|A-M\|_2\geq\left(\sum_{i=2}^n\lambda_i\right)^{1/2}.$$
|
||
Cette minoration est-elle optimale ?
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 150]
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||
1. Montrer que $(A,B)\mapsto\operatorname{Tr}(A^TB)$ définit un produit
|
||
scalaire sur $\mathcal M_n(\R)$.
|
||
2. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ telle que
|
||
$\operatorname{Tr}(A^TA)=\operatorname{Tr}(A^2)$. Montrer que
|
||
$A\in\mathcal S_n(\R)$.
|
||
3. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer que $A$ est inversible et
|
||
que $A^{-1}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Justifier les inégalités
|
||
$$\operatorname{Tr}(A)\operatorname{Tr}(A^{-1})\geq n^2,\qquad
|
||
\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(A^{-1})\geq2n.$$
|
||
Discuter les cas d'égalité.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 151]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et on note
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$S=\{x\in\R^n\mid\|x\|=1\}$. Soient $u,v\in\mathcal S(\R^n)$ tels que
|
||
$$\forall x\in\R^n,\quad\langle u(x),x\rangle\leq\langle v(x),x\rangle.$$
|
||
1. Soit $f:S\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $x_0\in S$ en lequel
|
||
la borne inférieure de $f$ est atteinte.
|
||
2. Justifier que $u$ et $v$ possèdent $n$ valeurs propres
|
||
$\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$ et
|
||
$\mu_1\geq\cdots\geq\mu_n$. On note $G_k$ l'ensemble des sous-espaces
|
||
vectoriels de dimension $k$. Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une base
|
||
orthonormée de vecteurs propres de $u$, avec $u(f_k)=\lambda_kf_k$.
|
||
On veut montrer que
|
||
$$\lambda_k=\sup_{V\in G_k}\min_{\substack{x\in V\\\|x\|=1}}
|
||
\langle u(x),x\rangle.$$
|
||
a. Soient $k\in\db{1,n}$ et $V\in G_k$. Montrer que
|
||
$V\cap\operatorname{Vect}(f_k,\ldots,f_n)\neq\{0\}$.
|
||
b. Montrer que le supremum précédent est inférieur ou égal à $\lambda_k$.
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||
c. En déduire l'égalité.
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||
3. Montrer que $\lambda_i\leq\mu_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 152]
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1. Montrer que $\mathrm{GL}_n(\R)$ est un ouvert dense dans
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||
$\mathcal M_n(\R)$.
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||
2. Soit $r\in\{1,\ldots,n\}$. Montrer que l'ensemble $A_r$ des matrices
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||
de rang supérieur ou égal à $r$ est un ouvert de $\mathcal M_n(\R)$.
|
||
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A_r$ soit dense
|
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dans $\mathcal M_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 153]
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Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $f\in\mathcal L(E)$.
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Lorsque cette définition a un sens, on pose
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$$\|f\|_L=\sup_{\substack{x\in E\\\|x\|=1}}\|f(x)\|.$$
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||
1. Si $E$ est de dimension finie, montrer que, pour tout $f\in\mathcal L(E)$,
|
||
$f$ est continue et $\|f\|_L$ existe.
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||
2. Si $E$ est de dimension infinie, montrer que la continuité de $f$
|
||
équivaut à l'existence de $\|f\|_L$.
|
||
3. Montrer que, pour $f,g\in\mathcal L(E)$ continues,
|
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$$\|f+g\|_L\leq\|f\|_L+\|g\|_L,\qquad
|
||
\|fg\|_L\leq\|f\|_L\|g\|_L.$$
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||
4. Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ continues telles que $fg-gf=\operatorname{id}$.
|
||
Donner, pour $n\in\N^*$, une expression de $fg^n-g^nf$. Montrer qu'un
|
||
tel couple n'existe pas.
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5. On prend $E=\R[X]$. Donner une condition nécessaire pour que
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$D:P\mapsto P'$ soit continue.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 154]
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||
1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum z^n/n!$.
|
||
2. a. Soit $D\in\mathcal M_n(\R)$ diagonale. Montrer que la suite
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||
$$\left(\sum_{k=0}^n\frac{D^k}{k!}\right)_{n\in\N}$$
|
||
converge. On note sa limite $\exp(D)$.
|
||
b. Même question pour $A\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisable.
|
||
3. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisables. Montrer que $A$ et
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||
$B$ commutent si et seulement si $\exp(A)$ et $\exp(B)$ commutent.
|
||
4. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisables. Montrer que
|
||
$\exp(A)=\exp(B)$ si et seulement si $A=B$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 155]
|
||
1. Soit $z\in\C$. Étudier la convergence de $(z^n)_{n\in\N}$ si
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$|z|\neq1$.
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||
2. Soit $\theta\in2\pi\Q$. Étudier la convergence de $(z^n)_{n\in\N}$
|
||
où $z=e^{i\theta}$.
|
||
3. Soient $N\in\N$ et $x_0,\ldots,x_N\in[0,1]$. Montrer qu'il existe
|
||
$i,j\in\db{0,N}$ tels que $i\neq j$ et $|x_i-x_j|\leq1/N$.
|
||
4. Soient $\alpha\in\R\setminus\Q$ et $\beta\in\R$. On pose
|
||
$\delta(\alpha)=\min_{n\in\Z}|\alpha-n|$. Justifier l'existence de
|
||
$\delta$. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe
|
||
$k\in\N^*$ tel que $\delta(k\alpha-\beta)<\varepsilon$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 156]
|
||
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite de réels positifs.
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||
1. Déterminer un équivalent simple de
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||
$\frac1{\ln(n+1)}-\frac1{\ln n}$.
|
||
2. A-t-on
|
||
$(u_n+u_{n+1})\sim_{n\to+\infty}2/n\Rightarrow
|
||
u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ?
|
||
3. A-t-on
|
||
$(u_n+u_{n+2})\sim_{n\to+\infty}2/n\Rightarrow
|
||
u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ?
|
||
4. A-t-on
|
||
$(u_n+u_{2n})\sim_{n\to+\infty}3/(2n)\Rightarrow
|
||
u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ?
|
||
5. Reprendre les questions précédentes en supposant $(u_n)$ décroissante.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 157]
|
||
Soient $(a,b)\in(\R_+^*)^2$. On considère les suites
|
||
$(u_n)_{n\geq0}\in\R^\N$ vérifiant
|
||
$$\forall n\in\N,\qquad\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}.$$
|
||
1. a. Démontrer qu'il existe une constante $K>0$ telle que
|
||
$u_n\sim K/n^{b-a}$.
|
||
b. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que
|
||
$\sum u_n$ converge.
|
||
|
||
On suppose désormais cette condition vérifiée.
|
||
2. a. Montrer que $(nu_n)$ converge et déterminer sa limite.
|
||
b. En déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 158]
|
||
1. Montrer qu'une série numérique complexe absolument convergente est
|
||
convergente.
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||
2. On définit la suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ par $u_1=1$ et, pour tout
|
||
$n\in\N^*$,
|
||
$$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n^\alpha u_n}.$$
|
||
a. On suppose $\alpha>1$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$,
|
||
$0\leq u_{n+1}-u_n\leq1/n^\alpha$. En déduire que $(u_n)$ converge.
|
||
b. On suppose $\alpha\leq1$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$,
|
||
$$\frac{2}{n^\alpha}\leq u_{n+1}^2-u_n^2
|
||
\leq\frac{2}{n^\alpha}+\frac{1}{n^{2\alpha}}.$$
|
||
En déduire que $(u_n)$ diverge et en donner un équivalent.
|
||
3. On suppose $\alpha>1$. On note $f$ la fonction qui à $\alpha$
|
||
associe la limite de la suite $(u_n)$ correspondante. Montrer que $f$
|
||
est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$ et ne se prolonge pas par
|
||
continuité en $1$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 159]
|
||
1. Soit $\alpha\in\Q$. La fonction
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||
$F_1:x\mapsto\cos(x)+\cos(\alpha x)$ est-elle périodique ?
|
||
2. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. La fonction
|
||
$F_1:x\mapsto\cos(x)+\cos(\alpha x)$ est-elle périodique ?
|
||
3. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. La fonction
|
||
$F_2:x\mapsto\sin(x)+\sin(\alpha x)$ est-elle périodique ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 160]
|
||
1. Soit $\psi:\R\to\R$ une fonction de classe $C^1$ et convexe.
|
||
a. Soit $t_0\in\R$. Montrer qu'il existe une fonction affine $a$ telle
|
||
que $\psi\geq a$ et $\psi(t_0)=a(t_0)$.
|
||
b. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ positive et telle que
|
||
$\int_0^1f(t)\,dt=1$. Montrer que
|
||
$$\psi\left(\int_0^1tf(t)\,dt\right)
|
||
\leq\int_0^1f(t)\psi(t)\,dt.$$
|
||
2. Soient $I$ un intervalle contenant $0$ et $g\in C^2(I,\R)$ telle que
|
||
$g''$ soit convexe. On pose
|
||
$$G:x\longmapsto2\int_0^1(1-t)g''(tx)\,dt.$$
|
||
a. Montrer que, pour tout $x\in I$,
|
||
$\frac{x^2}{2}G(x)=g(x)-g(0)-xg'(0)$.
|
||
b. Montrer que, pour tout $x\in I$, $G(x)\geq g''(x/3)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 161]
|
||
Soit $g:x\in\R_+^*\longmapsto\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$.
|
||
1. Montrer que $g$ est bien définie et étudier sa continuité.
|
||
2. Soit $x>0$. On pose
|
||
$$\phi_x:t\in[1,+\infty[\longmapsto
|
||
\frac1{(2t-1)^x}-\frac1{(2t)^x},\qquad
|
||
u:t\in[1,+\infty[\longmapsto\lfloor t\rfloor+1-t.$$
|
||
Montrer que
|
||
$$g(x)=\int_1^{+\infty}\phi_x(t)\,dt-
|
||
\int_1^{+\infty}u(t)\phi_x'(t)\,dt.$$
|
||
3. La fonction $g$ admet-elle une limite en $0^+$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 162]
|
||
Soit
|
||
$$J:\lambda\longmapsto\int_0^1\frac{t^\lambda}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.$$
|
||
1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $J$.
|
||
2. Montrer que $J$ est dérivable en $0$.
|
||
3. Calculer $J'(0)$, puis en déduire un développement limité à l'ordre $1$
|
||
en $0$ de la fonction $J$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 163]
|
||
1. Soit $f\in C^1(\R_+,\R)$ vérifiant $f(0)=1$ et
|
||
$f'(x)\leq e^{-x}f(x)$ pour tout $x\geq0$. Montrer que $f(x)\leq e$
|
||
pour tout $x\geq0$. Indication : considérer
|
||
$g(x)=f'(x)-e^{-x}f(x)$.
|
||
2. Justifier l'existence et l'unicité de la solution du problème
|
||
$$y''(x)=(1+e^{-x})y(x),\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=1.$$
|
||
Montrer que, pour tout $x\geq0$,
|
||
$$y(x)=e^x+\frac{e^x}{2}\int_0^xe^{-2t}y(t)\,dt
|
||
-\frac{e^{-x}}2\int_0^xy(t)\,dt.$$
|
||
3. On pose $z(x)=e^{-x}|y(x)|$. Montrer que
|
||
$$z(x)\leq1+\int_0^xz(t)e^{-t}\,dt\quad(x\geq0).$$
|
||
En déduire que $y(x)=O(e^x)$ lorsque $x\to+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 164]
|
||
Soient $N,\alpha,\beta\in\R_+^*$ et $\varepsilon>0$ petit devant $N$.
|
||
Soit $(x,y,z)\in C^1(\R_+,(\R_+^*)^3)$ solution de
|
||
$$x'=-\alpha\frac{xy}{N},\qquad
|
||
y'=\alpha\frac{xy}{N}-\beta y,\qquad z'=\beta y,$$
|
||
avec $(x,y,z)(0)=(N-\varepsilon,\varepsilon,0)$.
|
||
1. Montrer que $(x,y,z)$ possède une limite en $+\infty$, notée
|
||
$(x^*,y^*,z^*)$.
|
||
2. Trouver une relation entre $x^*$ et $y^*$.
|
||
3. Montrer que
|
||
$$x^*=(N-\varepsilon)\exp\left(\frac{\alpha(x^*-N)}{N\beta}\right).$$
|
||
On pose $\rho=\alpha/\beta$.
|
||
4. Que dire de $x^*$ quand $\rho<1$ ?
|
||
5. Lorsque $\rho>1$, montrer que l'équation
|
||
$$x=N\exp\left(\frac{\rho(x-N)}N\right)$$
|
||
possède une unique solution $x(\rho)$ dans $]0,N[$ et que celle-ci est
|
||
décroissante en $\rho$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 165]
|
||
Soit $f:\R^2\to\R^2$ de classe $C^2$ telle que, pour tous $x,y,t\in\R$,
|
||
$f(tx,ty)=t^kf(x,y)$, où $k$ est un entier positif. On suppose également
|
||
que
|
||
$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)+
|
||
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=0.$$
|
||
1. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$,
|
||
$$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+
|
||
y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=kf(x,y),$$
|
||
puis que
|
||
$$x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)+
|
||
y^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)+
|
||
2xy\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=k(k-1)f(x,y).$$
|
||
2. Soit $h:\theta\in\R\mapsto f(\cos\theta,\sin\theta)$. Montrer que
|
||
$h''(\theta)+k^2h(\theta)=0$.
|
||
3. Montrer que $f$ est un polynôme à coefficients réels, c'est-à-dire
|
||
qu'il existe $p,q\in\N$ et des réels $a_{i,j}$ tels que
|
||
$$f(x,y)=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^qa_{i,j}x^iy^j.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
** Probabilités
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 166]
|
||
On dit qu'une famille $(A_i)_{1\leq i\leq p}$ de parties d'un ensemble est
|
||
une $p$-antichaîne lorsque, pour tous $i\neq j$, $A_i\not\subset A_j$.
|
||
1. a. Donner les variations de $k\in\{1,\ldots,n\}\mapsto\binom nk$.
|
||
b. Soit $k\in\{1,\ldots,n\}$, et soit $E_k$ l'ensemble des parties de
|
||
$\{1,\ldots,n\}$ à $k$ éléments. Montrer que $E_k$ est une
|
||
$p$-antichaîne, pour un entier $p$ à préciser.
|
||
c. Déterminer $\max_{1\leq k\leq n}\operatorname{Card}(E_k)$.
|
||
|
||
On note $\mathfrak S_n$ l'ensemble des permutations de
|
||
$\{1,\ldots,n\}$, muni de la loi uniforme. On considère une
|
||
$p$-antichaîne $(A_i)_{1\leq i\leq p}$ formée de parties de
|
||
$\{1,\ldots,n\}$. Pour tout $i$, on note $a_i=\operatorname{Card}(A_i)$ et
|
||
$E_i=\{\sigma\in\mathfrak S_n\mid
|
||
\sigma(\{1,\ldots,a_i\})=A_i\}$.
|
||
2. a. Montrer que les événements $E_i$ sont incompatibles et déterminer
|
||
leur probabilité.
|
||
b. Donner une majoration de $p$.
|
||
3. On note $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille de réels supérieurs ou égaux à
|
||
$1$. On munit $\Omega_n=\{-1,1\}^n$ de la loi uniforme. On note $X$ la
|
||
variable aléatoire définie par
|
||
$X((\omega_i)_{1\leq i\leq n})=\sum_{k=1}^n\omega_kx_k$.
|
||
Trouver une majoration de $\mathbb P(0<X<2)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 167]
|
||
Soient $\alpha,\beta\in]0,1[$. Soit
|
||
$f:x\mapsto(1-\alpha)e^{-\beta x}+\alpha e^{(1-\beta)x}$.
|
||
1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $\R$ et donner la valeur de ce
|
||
minimum.
|
||
2. Soit $X\sim\mathcal B(n,p)$ avec $p\in]0,1[$. Montrer que, pour tout
|
||
$t>0$,
|
||
$$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq
|
||
\left(\frac{1-p+pe^t}{e^{t(p+\varepsilon)}}\right)^n.$$
|
||
3. On suppose $0<\varepsilon<1-p$. En utilisant $f$, montrer que
|
||
$$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq
|
||
\left[\left(\frac{p+\varepsilon}{p}\right)^{p+\varepsilon}
|
||
\left(\frac{1-p-\varepsilon}{1-p}\right)^{1-p-\varepsilon}\right]^{-n}.$$
|
||
4. Soit
|
||
$$H:\theta\in[0,1-p[\longmapsto(p+\theta)\ln\left(\frac{p+\theta}{p}\right)
|
||
+(1-p-\theta)\ln\left(\frac{1-p-\theta}{1-p}\right).$$
|
||
Montrer que $H(\theta)\geq2\theta^2$. En déduire que
|
||
$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq e^{-2n\varepsilon^2}$.
|
||
Donner une majoration de cette probabilité par l'inégalité de
|
||
Bienaymé-Tchebychev et comparer les deux majorations.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 168]
|
||
1. Soient $n\in\N^*$, $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$ et
|
||
$(b_1,\ldots,b_n)\in(\R_+^*)^n$. Montrer que
|
||
$$\frac{a_1^2}{b_1}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n}
|
||
\geq\frac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{b_1+\cdots+b_n}.$$
|
||
2. Soit $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$ muni d'une probabilité
|
||
$\mathbb P$. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires défini sur
|
||
$\Omega$ avec $Y>0$. Montrer que
|
||
$$\E\left(\frac{X^2}{Y}\right)
|
||
\geq\frac{\E(|X|)^2}{\E(Y)}\geq\frac{\E(X)^2}{\E(Y)}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 169]
|
||
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, de série génératrice
|
||
$G$. On suppose que le rayon de convergence $R$ de $G$ est supérieur à $1$.
|
||
On suppose qu'il existe $H\in C^1(\R_+,\R)$ telle que
|
||
$$G(x)G(y)=H(x^2+y^2)$$
|
||
pour tous $x,y\in\R$ tels que $\max(|x|,|y|)<R$.
|
||
1. Montrer que, pour tout $k\in\N$, $\mathbb P(X=2k+1)=0$.
|
||
2. Trouver une équation différentielle vérifiée par $G$, dont on exprimera
|
||
les coefficients en fonction de $\alpha=\E(X)$.
|
||
3. En déduire une expression de $G$ et de la variance de $X$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
* ENS PC :autre:
|
||
|
||
** Algèbre
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 170]
|
||
Pour $N\in\N^*$, on pose
|
||
$$P_N=\sum_{k=0}^N\frac{X^k}{k!}.$$
|
||
1. Montrer que $P_N$ admet $N$ racines complexes distinctes.
|
||
2. Montrer que, si $N$ est pair, $P_N$ n'a pas de racine réelle. Montrer
|
||
que, si $N$ est impair et supérieur ou égal à $3$, $P_N$ admet une
|
||
unique racine réelle $\alpha_N$ et que $-N<\alpha_N<-1$.
|
||
3. Tracer le graphe de $P_N$ selon la parité de $N$. Donner la monotonie
|
||
de la suite $(\alpha_{2n+1})_{n\in\N}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 171]
|
||
Soit $P=\sum_{i=0}^na_iX^i$ un polynôme de degré $n\geq1$, avec
|
||
$a_i\in\db{0,9}$ pour tout $i\in\db{0,n}$. On suppose que $P$ a une racine
|
||
$\lambda$ vérifiant $\operatorname{Re}(\lambda)>1$.
|
||
1. Montrer que
|
||
$$|\lambda|^n\leq|\lambda^na_n+\lambda^{n-1}a_{n-1}|
|
||
\leq9\frac{|\lambda|^{n-1}-1}{|\lambda|-1}.$$
|
||
2. Montrer que $\operatorname{Re}(\lambda)<4$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 172]
|
||
On dit qu'un nombre $\alpha\in\C$ est algébrique lorsqu'il existe
|
||
$P\in\Z[X]\setminus\{0\}$ tel que $P(\alpha)=0$.
|
||
1. Si $k\in\N^*$, montrer que $\sqrt{k}$ est algébrique.
|
||
2. Soit $(u_n)$ une suite d'entiers positifs. On définit $(v_n)$ par
|
||
$v_0=u_0$ et, pour tout $n\in\N^*$,
|
||
$$v_{n+1}=u_{n+1}+\sqrt{v_n}.$$
|
||
Montrer que les termes de la suite $(v_n)$ sont tous algébriques.
|
||
3. Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dense dans $\C$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 173]
|
||
Soient $x_0<\cdots<x_n$ des réels et, pour $k\in\db{0,n}$, posons
|
||
$$L_k(X)=\prod_{\substack{0\leq j\leq n\\j\neq k}}
|
||
\frac{X-x_j}{x_k-x_j}.$$
|
||
1. Montrer que, pour tout $P\in\R_n[X]$,
|
||
$$P(X)=\sum_{k=0}^nP(x_k)L_k(X).$$
|
||
2. Soit $n\in\N$. Expliciter une constante $C_n$ telle que, pour tout
|
||
$[a,b]\subset]0,1[$ et tout $P\in\R_n[X]$,
|
||
$$\sup_{x\in[0,1]}|P(x)|\leq\frac{C_n}{(b-a)^n}
|
||
\sup_{x\in[a,b]}|P(x)|.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 174]
|
||
On considère $\phi:M\in\mathcal M_n(\R)\mapsto AMB$, avec
|
||
$A,B\in\mathcal M_n(\R)$. Déterminer $\det\phi$ et $\operatorname{Tr}\phi$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 175]
|
||
Soient $A\in\mathcal M_{n,p}(\R)$ et $B\in\mathcal M_{p,n}(\R)$. Montrer
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que $I_n+AB$ est inversible si et seulement si $I_p+BA$ l'est.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 176]
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Pour $A\in\mathcal M_{n,m}(\R_+)$, on note $\operatorname{rg}_+(A)$ le
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plus petit entier $p\in\N$ pour lequel il existe
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$B\in\mathcal M_{n,p}(\R_+)$ et $C\in\mathcal M_{p,m}(\R_+)$ tels que
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$A=BC$.
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1. Montrer que $\operatorname{rg}_+(A)$ existe et que
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$\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{rg}_+(A)\leq\min(n,m)$.
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2. On suppose $\operatorname{rg}(A)=1$. Montrer que
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$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}_+(A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 177]
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1. Donner un exemple de sous-espace vectoriel non nul de $\mathcal M_n(\C)$
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ne contenant que des matrices non inversibles.
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On souhaite montrer par récurrence que $n(n-1)$ est la dimension
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maximale d'un tel sous-espace vectoriel $F$.
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2. Démontrer le résultat pour $n=1$ et $n=2$.
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||
3. On suppose $\dim F>n(n-1)$. Montrer qu'il existe
|
||
$A\in F\setminus\{0\}$ dont les colonnes numérotées de $2$ à $n$ sont
|
||
nulles, puis qu'il existe $(P,Q)\in\mathrm{GL}_n(\C)^2$ tel que
|
||
$PAQ=E_{1,1}$.
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||
4. Montrer que $F'=\{PMQ\mid M\in F\}$ ne contient pas de matrice
|
||
inversible.
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5. On pose
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$$g:F'\to\mathcal M_{n-1}(\C),\quad
|
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M=(m_{i,j})\mapsto(m_{i+1,j+1})_{1\leq i,j\leq n-1}.$$
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||
Montrer que $g(F')$ ne contient pas de matrice inversible. Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 178]
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||
Soient $n,p\in\N^*$. Déterminer la dimension de l'espace vectoriel
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$$\left\{M=(m_{i,j})\in\mathcal M_{n,p}(\R)\ \middle|\
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||
\exists a\in\R,\ \forall k\in\db{1,n},\quad
|
||
\sum_{j=1}^pm_{k,j}=a=\sum_{i=1}^nm_{i,k}\right\}.$$
|
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#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 179]
|
||
Soient $A=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$ et
|
||
$B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ où $b_{1,n}=1$, $b_{i,i-1}=1$ pour
|
||
$2\leq i\leq n$, les autres coefficients étant nuls. Montrer que
|
||
$$\operatorname{Vect}\{B^kA^\ell\mid k,\ell\in\N\}=\mathcal M_n(\R).$$
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||
Indication : commencer par déterminer $\operatorname{Vect}(A^k\mid k\in\N)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 180]
|
||
Caractériser les matrices $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que $M$ et
|
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$M^{-1}$ soient à coefficients positifs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 181]
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On pose $E=C^\infty(\R,\R)$,
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$X:f\in E\mapsto(t\mapsto tf(t))$ et $P:f\in E\mapsto f'$.
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1. Montrer que $X$ et $P$ sont des endomorphismes de $E$. Déterminer leur
|
||
noyau et leur image.
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||
2. On pose $a=\frac1{\sqrt2}(X+P)$ et
|
||
$a^*=\frac1{\sqrt2}(X-P)$. Déterminer leur noyau et leur image.
|
||
3. Pour $n\in\N^*$, soit
|
||
$$F_n=\{t\mapsto Q(t)e^{-t^2/2}\mid Q\in\R_n[X]\}.$$
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||
Montrer que $a$ et $N=aa^*$ induisent des endomorphismes de $F_n$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 182]
|
||
Soit $N\in\mathcal M_n(\C)$ une matrice nilpotente d'indice de nilpotence
|
||
$d\in\N^*$.
|
||
1. Déterminer $\dim\C[N]$, où $\C[N]=\{P(N)\mid P\in\C[X]\}$.
|
||
2. Soit $Q\in\C[X]$ tel que $Q(0)\neq0$. Montrer qu'il existe
|
||
$P\in\C[X]$ tel que $P(NQ(N))=N$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 183]
|
||
Soit
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$$A=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\&\ddots&0\\&&\ddots\\1&\cdots&1\end{pmatrix}.$$
|
||
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$.
|
||
#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 184]
|
||
1. Montrer qu'une matrice de rang $1$ de $\mathcal M_n(\C)$ s'écrit sous
|
||
la forme $XY^T$, avec $X,Y\in\C^n\setminus\{0\}$.
|
||
2. Déterminer $\operatorname{Sp}(XY^T)$ pour
|
||
$(X,Y)\in(\C^n\setminus\{0\})^2$. Donner une condition nécessaire et
|
||
suffisante pour que $XY^T$ soit diagonalisable.
|
||
3. Calculer $\det(I_n+XY^T)$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 185]
|
||
1. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$. On suppose que $A$ et $B$ sont
|
||
diagonalisables et commutent. Montrer que $A+\lambda B$ est
|
||
diagonalisable pour tout $\lambda\in\C$.
|
||
2. On suppose $n=2$. Montrer que si, pour tous $\lambda,\mu\in\C$,
|
||
$\lambda A+\mu B$ est diagonalisable, alors $A$ et $B$ sont
|
||
codiagonalisables.
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 186]
|
||
Déterminer la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de
|
||
$\mathcal M_n(\R)$ ne contenant que des matrices diagonalisables sur $\R$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 187]
|
||
Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ telle que $A^3-A-I_n=0$. Montrer que
|
||
$\det(A)>0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 188]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$.
|
||
1. Étudier les implications entre les deux propositions : (i) $A$ est
|
||
semblable à $B$ ; (ii) $A$ et $B$ ont même spectre.
|
||
2. On suppose qu'il existe $M\in\mathcal M_n(\C)$ non nulle telle que
|
||
$MA=BM$. Montrer que, pour tout $P\in\C[X]$, $MP(A)=P(B)M$. En déduire
|
||
que $A$ et $B$ ont une valeur propre commune.
|
||
3. Étudier la réciproque de la question 2.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 189]
|
||
1. Soit $n\in\N^*$, $P\in\R[X]$ scindé à racines simples et de degré $n$,
|
||
et $Q\in\R_{n-1}[X]$. Montrer que, pour tout $\varepsilon$ assez
|
||
petit, $P+\varepsilon Q$ est scindé à racines simples.
|
||
2. Soit $D\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisable, à valeurs propres toutes
|
||
distinctes. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer qu'il existe
|
||
$\varepsilon_0>0$ tel que, pour tout réel $\varepsilon$ avec
|
||
$|\varepsilon|<\varepsilon_0$, $D+\varepsilon A$ est diagonalisable.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 190]
|
||
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$.
|
||
Un drapeau de $E$ est une famille $(E_0,\ldots,E_k)$ de sous-espaces
|
||
vectoriels telle que $\{0\}=E_0\subsetneq E_1\subsetneq\cdots\subsetneq E_k$.
|
||
Le drapeau est total si $k=n$.
|
||
1. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. Exhiber un drapeau total de
|
||
$E$. Réciproque ?
|
||
2. Soit $(E_0,\ldots,E_n)$ un drapeau total de $E$. Montrer qu'il existe
|
||
une base orthonormée $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ de $E$ telle
|
||
que $E_i=\operatorname{Vect}(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_i)$ pour
|
||
tout $i\in\db{0,n}$.
|
||
3. Soit $u\in\mathcal L(E)$. On dit que le drapeau $(E_0,\ldots,E_k)$ est
|
||
stable par $u$ si $u(E_i)\subset E_i$ pour tout $i\in\db{1,k}$. Montrer
|
||
que si $u$ est diagonalisable, il existe un drapeau total stable par $u$.
|
||
A-t-on unicité d'un tel drapeau ?
|
||
4. Montrer que $u$ est trigonalisable si et seulement s'il existe un
|
||
drapeau total stable par $u$.
|
||
5. On suppose $u$ nilpotent d'indice $n$. Exhiber un drapeau total stable
|
||
par $u$. A-t-on unicité d'un tel drapeau ?
|
||
#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 191]
|
||
Caractériser les matrices qui s'écrivent comme somme de projecteurs
|
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orthogonaux.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 192]
|
||
Déterminer les matrices $M\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant
|
||
$M^T=M^2-I_n$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 193]
|
||
Déterminer les matrices $A\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant chacune des
|
||
équations suivantes :
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||
1. $A^TAA^TA^2=I_n$ ;
|
||
2. $A^TAA^TA=I_n$ ;
|
||
3. $A^TA^TAA=I_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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** Analyse
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||
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||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 194]
|
||
On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique.
|
||
1. Soient $C$ une partie convexe, fermée et non vide de $\R^n$, et
|
||
$x\in\R^n$. Montrer qu'il existe un unique $y\in C$ tel que
|
||
$d(x,C)=\|x-y\|$.
|
||
2. Déterminer les parties convexes fermées de $\R^n$ dont le complémentaire
|
||
est également convexe.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 195]
|
||
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$,
|
||
$u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Montrer que $u_n\to0$. Déterminer un équivalent
|
||
de $u_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS L 2026 # 196]
|
||
Soit $a\in]0,1[$. Soit $(x_n)_{n\in\N}$ telle que $x_0=1$ et, pour tout
|
||
$n\in\N$,
|
||
$$x_{n+1}=\frac23\left(x_n+\frac{a}{2x_n^2}\right).$$
|
||
Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell\in[0,1]$, puis déterminer
|
||
un équivalent de $x_n-\ell$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 197]
|
||
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$, $f'(0)\neq0$ et $f''(0)\neq0$.
|
||
On définit la suite $(a_n)_{n\geq0}$ par $a_0,a_1\in\R$ et, pour tout
|
||
$n\geq1$,
|
||
$$a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{\Delta_n},\qquad
|
||
\Delta_n=\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}}.$$
|
||
Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que, si
|
||
$a_0,a_1\in]0,\varepsilon[$, alors $a_n\to0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 198]
|
||
Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ telle que $a_n>0$ pour tout $n\in\N^*$. Pour
|
||
$n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^na_k$. Donner une condition
|
||
nécessaire et suffisante sur $(a_n)$ pour que, pour toute suite réelle
|
||
$(u_n)_{n\geq1}$ convergeant vers $\ell$, on ait
|
||
$$\lim_{n\to+\infty}\frac1{S_n}\sum_{k=1}^na_ku_k=\ell.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 199]
|
||
1. Montrer que $e$ est irrationnel.
|
||
2. Pour tout $x\in[0,1]$, montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq2}$
|
||
telle que
|
||
$$x=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x_n}{n!},\qquad
|
||
x_n\in\db{0,n-1}\text{ pour tout }n\geq2.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 200]
|
||
Soit $(u_n)$ une suite à valeurs strictement positives telle que
|
||
$\sum u_n$ diverge. Montrer qu'il existe une suite $(w_n)$ à valeurs
|
||
strictement positives telle que $w_n=o(u_n)$ et $\sum w_n$ diverge.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 201]
|
||
Déterminer un équivalent de
|
||
$$\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha},\qquad\alpha>1.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 202]
|
||
Soit $f\in C^\infty(\R_+,\R)$ telle que
|
||
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=f(0)=0$. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il
|
||
existe $y\in\R_+$ tel que $f^{(k)}(y)=0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 203]
|
||
Déterminer les fonctions dérivables $f:\R\to\R$ telles que
|
||
$$\forall x\in\R,\ \forall n\in\N^*,\qquad
|
||
f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 204]
|
||
Soit $f:\R\to\R$ dérivable. Pour $a<b$, on pose
|
||
$$T_{[a,b]}(f)=\{c\in[a,b]\mid
|
||
f(b)=f(a)+(b-a)f'(c)\}.$$
|
||
1. Montrer que $T_{[a,b]}(f)$ n'est pas vide.
|
||
2. Caractériser les fonctions telles que $T_{[a,b]}(f)$ soit un singleton
|
||
pour tous $a<b$.
|
||
|
||
On suppose désormais que $f$ est de classe $C^2$ et vérifie la
|
||
propriété de la question 2. Soit $x\in\R$ tel que $f''(x)\neq0$.
|
||
Pour $h>0$, on note $\theta_h$ l'unique réel de $[0,h]$ tel que
|
||
$$f(x+h)=f(x)+hf'(x+\theta_h).$$
|
||
3. Trouver un équivalent de $\theta_h$ lorsque $h\to0^+$.
|
||
4. Proposer un contre-exemple si $f''(x)=0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 205]
|
||
Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ et d'intégrale nulle. Montrer que,
|
||
pour tout $x\in[0,1]$,
|
||
$$\left|\int_0^xf(s)\,ds\right|
|
||
\leq\frac18\sup_{t\in[0,1]}|f'(t)|.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 206]
|
||
Soient $f\in C^0([a,b],\R)$ et $n\in\N^*$. On suppose que, pour tout
|
||
$k\in\db{0,n-1}$,
|
||
$$\int_a^b t^kf(t)\,dt=0.$$
|
||
Montrer que $f$ s'annule au moins $n$ fois sur $]a,b[$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 207]
|
||
Soient $(a_1,\ldots,a_N)\in\R^N$ et
|
||
$$f(x)=\int_0^x\frac{\prod_{k=1}^N\cos(a_kr)}{1+r}\,dr.$$
|
||
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ possède une
|
||
limite finie en $+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 208]
|
||
1. Soient $r>0$ et $N\in\N^*$. Montrer que
|
||
$$r^N-1=\prod_{k=0}^{N-1}(r-e^{2ik\pi/N}).$$
|
||
2. Soit $\alpha\in\C\setminus\mathbb{U}$. Montrer que
|
||
$$\int_0^1\ln|e^{2\pi it}-\alpha|\,dt=\ln(\max(1,|\alpha|)).$$
|
||
3. Soit $P(X)=\lambda\prod_{k=0}^{N-1}(X-z_k)=\sum_{k=0}^{N-1}a_kX^k$
|
||
avec $\lambda\in\C^*$ et $|z_k|\neq1$. Exprimer
|
||
$$m(P)=\int_0^1\ln|P(e^{2\pi it})|\,dt$$
|
||
en fonction des $z_k$ et de $\lambda$.
|
||
4. On pose $M(P)=\exp(m(P))$ et $L(P)=\sum_{k=0}^{N-1}|a_k|$.
|
||
Montrer qu'il existe des constantes $C_1,C_2>0$, indépendantes de $P$
|
||
mais éventuellement dépendantes de $N$, telles que, pour tout polynôme
|
||
$P\in\C[X]$ de degré $N$,
|
||
$$C_2M(P)\leq L(P)\leq C_1M(P).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 209]
|
||
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des points distincts du plan euclidien. Pour $t>0$,
|
||
on considère
|
||
$$L_X(t)=\sup_{A\in\R^2}\operatorname{Card}
|
||
(\{X_1,\ldots,X_n\}\cap B_f(A,t)).$$
|
||
1. Montrer que $L_X(t)$ est définie et que la borne supérieure est atteinte.
|
||
2. Montrer que $L_X$ est croissante et déterminer ses limites en $0$ et en
|
||
$+\infty$.
|
||
3. La fonction $L_X$ prend-elle nécessairement toutes les valeurs de
|
||
$\{1,\ldots,n\}$ ?
|
||
4. Pour d'autres points distincts $Y_1,\ldots,Y_n\in\R^2$, montrer que
|
||
$$\int_0^{+\infty}|L_X(t)-L_Y(t)|\,dt<+\infty.$$
|
||
5. On suppose qu'il existe $\delta\geq0$ tel que
|
||
$\|X_k-Y_k\|\leq\delta$ pour tout $k$. Montrer qu'il existe $K$,
|
||
dépendant de $n$ mais pas du choix des points, tel que, pour $\delta$
|
||
assez petit,
|
||
$$\int_0^{+\infty}|L_X(t)-L_Y(t)|\,dt\leq K\delta.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 210]
|
||
Soient $T>0$, $K\in\N^*$ et $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions
|
||
continues de $\R$ dans $\R$ convergeant uniformément vers $f$.
|
||
1. On suppose les $f_n$ périodiques de période $T$. Montrer que $f$ est
|
||
$T$-périodique.
|
||
2. On suppose que, pour tout $n$, $f_n$ est périodique de période $k(n)T$,
|
||
où $k(n)\in\{1,\ldots,K\}$. Montrer que $f$ est périodique.
|
||
3. Donner un exemple où les $f_n$ sont périodiques et $f$ ne l'est pas.
|
||
Indication : considérer
|
||
$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}2^{-n}\cos\left(\frac{2\pi x}{2^n}\right).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 211]
|
||
On pose
|
||
$$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{4^n}\cos(32^n\pi x).$$
|
||
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $f$ n'est dérivable en aucun point.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 212]
|
||
Soient $\varepsilon>0$, $\alpha\in[0,1[$ et $\beta>0$. Déterminer un
|
||
équivalent, lorsque $\varepsilon\to0^+$, de
|
||
$$\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha(x+\varepsilon)^\beta}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 213]
|
||
Soit
|
||
$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{1+t^2}\,dt.$$
|
||
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
|
||
3. L'application $f$ est-elle dérivable en $0$ ?
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 214]
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Soient $r\in\R_+$ et $f:\C_r\to\C$, où
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$\C_r=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. On pose
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$$\int_{\C_r}f(z)\,dz=\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})ire^{i\theta}\,d\theta.$$
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1. Calculer $\displaystyle\int_{\C_r}\frac{dz}{z-a}$ pour
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$a\in\C\setminus\C_r$.
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2. On suppose $f$ développable en série entière de rayon de convergence
|
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infini. Montrer que, pour tout $r>|a|$,
|
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$$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_{\C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$
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3. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$. Justifier que
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$\exp(M)=\sum_{k=0}^{+\infty}M^k/k!$ a un sens, puis montrer que, pour
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||
$r$ assez grand,
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$$\exp(M)=\frac1{2\pi i}\int_{\C_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\,dz.$$
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 215]
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Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive et $k\in\N^*$. A-t-on
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équivalence entre $\E(X^k)<+\infty$ et
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$$\P(X\geq n)=o(n^{-k})?$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 216]
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Soit $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice aléatoire dont les
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coefficients sont i.i.d. et suivent la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.
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1. Déterminer $\E(\operatorname{tr}(M^2))$.
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2. Soit $t\in\R$. Déterminer $\E(\chi_M(t))$.
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3. Quelle est la loi de $\operatorname{tr}(M^2)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 217]
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Soient $L>0$, $f:[-L,L]\to\R$ une fonction convexe, et $X$ une variable
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aléatoire à valeurs dans $[-L,L]$ telle que $\E(X)=0$. Montrer que
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$$\E(f(X))\leq\frac{f(L)+f(-L)}2.$$
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#+end_exercice
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* X MP/MPI :xens:
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** Probabilités
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#+begin_exercice [X 2026 # 218]
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Soit $(A_n)_{n\geq1}$ une suite d'événements indépendants telle que
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$\sum_{n=1}^{+\infty}\P(A_n)=+\infty$. Montrer que, pour tout
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$\varepsilon>0$,
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||
$$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\left|
|
||
\frac{\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{A_i}}{\sum_{j=1}^n\P(A_j)}-1
|
||
\right|>\varepsilon\right)=0.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 219]
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1. Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$. Exprimer
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$\E((X-a)^2)$ en fonction de $\V(X)$, $\E(X)$ et de $a$.
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2. Soit $Y$ une variable aléatoire réelle telle que $\E(Y)=1$ et qui admet
|
||
un moment d'ordre $2$. Pour $\theta\in[0,1]$, montrer que
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$$\P(Y>\theta)\geq\frac{(1-\theta)^2}{\V(Y)+(1-\theta)^2}.$$
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3. Caractériser le cas d'égalité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 220]
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||
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. Pour $k\in\N$, on
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pose $p_k=\P(X=k)$. On définit, pour $\beta\in\R_+$,
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$$z(\beta)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_ke^{-\beta k},\qquad
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||
u_k=\frac{p_ke^{-\beta k}}{z(\beta)}.$$
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1. Calculer les $u_k$ lorsque $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$.
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||
2. Montrer que $\beta\mapsto\ln(z(\beta))$ est convexe.
|
||
3. Soit $X_\beta$ une variable aléatoire de loi $(u_k)$. Montrer que
|
||
$\beta\mapsto\E(X_\beta)$ est décroissante.
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||
4. Pour $\beta\in\R$, on note $m_\beta$ la médiane définie par
|
||
$$m_\beta=\min\{k\in\N\mid\P(X_\beta>k)\leq1/2\}.$$
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Montrer que $\beta\mapsto m_\beta$ est décroissante sur $\R_+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 221]
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Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=((M_n)_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice
|
||
symétrique aléatoire dont les coefficients $(M_n)_{i,j}$, pour $i\leq j$,
|
||
sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. On note
|
||
$\lambda_1(M_n)$ sa plus grande valeur propre.
|
||
1. Montrer que, pour tout $u\in\R^n$,
|
||
$$\langle u,M_nu\rangle\leq\lambda_1(M_n)\|u\|^2.$$
|
||
2. Déterminer le spectre et les vecteurs propres de la matrice
|
||
$(\E((M_n)_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n}$.
|
||
3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$,
|
||
$$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\lambda_1(M_n)\geq
|
||
(\tfrac12-\varepsilon)n\right)=1.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 222]
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1. Caractériser les projecteurs orthogonaux de rang $1$.
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2. Soient $p_1,\ldots,p_k$ des projecteurs orthogonaux de $\R^n$.
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||
Soit $(N_r)_{r\geq0}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la
|
||
loi uniforme sur $\db{1,k}$. Soit $X_0\in\R^n$ et, pour tout $r\in\N$,
|
||
$$X_{r+1}=p_{N_r}(X_r).$$
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Étudier la limite éventuelle de $(\E(\|X_n\|))_{n\geq1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 223]
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Soient $N\geq2$ et $k\in\N^*$. On considère une grille $N\times N$
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formée de petits carrés $1\times1$. Chaque carré est blanc ou noir,
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indépendamment, avec probabilité $1/2$.
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1. Soit $A_N$ l'événement « il existe au moins un carré blanc de taille
|
||
$k\times k$ ». Montrer que
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$$\P(A_N)\leq 2^{-k^2}N^2.$$
|
||
2. Déterminer $\E(Y_{k,N})$, où $Y_{k,N}$ est le nombre de carrés blancs
|
||
de taille $k\times k$.
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||
3. Montrer que
|
||
$$\lim_{N\to+\infty}\frac{\V(Y_{k,N})}{\E(Y_{k,N})^2}=0.$$
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||
On pourra traiter séparément les cas $k=1$ et $k=2$.
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#+end_exercice
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** Algèbre
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#+begin_exercice [X 2026 # 224]
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Soit $n\geq3$. Montrer que
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$$\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom ni(n-i)^{n-2}=n^{n-2}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 225]
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1. Pour $n\geq1$, on note $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers
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inférieurs ou égaux à $n$. Montrer que si $n\geq8$, alors $\pi(n)\leq n/2$.
|
||
2. Soient $p$ premier et $n,k,\alpha\in\N^*$ tels que $k\leq n$ et
|
||
$p^\alpha$ divise $\binom nk$. Montrer que $p^\alpha\leq n$.
|
||
3. Montrer que, pour tout entier $n\geq8$, il existe un nombre premier
|
||
entre $\lfloor\sqrt n\rfloor+1$ et $n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 226]
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||
Résoudre l'équation $x^2+x-2=0$ dans $\Z/7\Z$, puis déterminer les entiers
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$n\geq2$ tels que cette équation admette exactement une solution dans
|
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$\Z/n\Z$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 227]
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Soit $n\geq2$.
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1. Soit $\sigma$ une permutation de $\Z/n\Z$. On suppose que
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||
$\sigma-\operatorname{id}$ est une bijection. Montrer que $n$ est
|
||
impair. Que peut-on dire si $\sigma+\operatorname{id}$ est aussi une
|
||
bijection ?
|
||
2. On suppose $n$ impair et on note $D_n$ le groupe des isométries linéaires
|
||
du plan $\C$ qui laissent invariant $\mathbb{U}_n$. Montrer qu'il
|
||
n'existe pas de permutation $f$ de $D_n$ telle que $g\mapsto gf(g)$ soit
|
||
aussi une permutation de $D_n$.
|
||
3. Montrer que $g\mapsto\det g$ est l'unique morphisme non trivial de
|
||
$D_n$ dans $\{\pm1\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 228]
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||
Déterminer le cardinal de l'ensemble
|
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$$\left\{(x_k)_{k\geq0}\in\db{0,9}^{\N}\ \middle|\
|
||
\forall n\geq0,\ a_n^2\equiv a_n\pmod{10^n},\quad
|
||
a_n=\sum_{k=0}^{n-1}x_k10^k\right\}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 229]
|
||
Soient $A$ un anneau fini et $a,b\in A$ tels que $ab^2=b$. Montrer que
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$bab=b$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 230]
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||
Soit $A$ un anneau tel que, pour tout $x\in A$, il existe $n\in\N^*$ tel
|
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que
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$$x=\sum_{k=2}^{n}x^k.$$
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||
1. Déterminer la caractéristique de $A$.
|
||
2. Montrer que, pour tout $x\in A$, $x^2=x$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 231]
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||
Soit $G$ un groupe fini. On suppose que, pour tout automorphisme $f$ de
|
||
$G$, il existe $m\in\N^*$ tel que $f(x)=x^m$ pour tout $x\in G$.
|
||
1. Soient $a,b\in G$ tels que l'ordre de $a$ divise celui de $b$. Montrer
|
||
que $ab=ba$.
|
||
2. Écrire $|G|=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ et poser
|
||
$$G_i=\{x\in G\mid x^{p_i^{\alpha_i}}=e\}.$$
|
||
Montrer que $G_i$ est un sous-groupe commutatif de $G$.
|
||
3. Pour $i\neq j$, montrer que $xy=yx$ pour tout $(x,y)\in G_i\times G_j$.
|
||
4. Montrer que $G$ est commutatif.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 232]
|
||
Soit $G$ un groupe fini.
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||
1. Soient $g,h$ deux éléments d'ordres finis $a,b$ qui commutent, avec
|
||
$a$ et $b$ premiers entre eux. Montrer que $gh$ est d'ordre fini et
|
||
déterminer cet ordre.
|
||
2. Montrer que, dans un groupe quelconque, le produit de deux éléments
|
||
d'ordre fini n'est pas nécessairement d'ordre fini.
|
||
3. Soit $g\in G$ d'ordre fini $n$, et soit $n=ab$ avec $a,b$ premiers
|
||
entre eux. Montrer que $g=hh'$ où $h,h'$ commutent et sont d'ordres
|
||
respectifs $a,b$.
|
||
4. Y a-t-il unicité du couple $(h,h')$ ?
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 233]
|
||
Soit $p$ un nombre premier et $G$ un sous-groupe de $S_p$ transitif sur
|
||
$\db{1,p}$. On admet que tout groupe fini dont l'ordre est divisible par
|
||
$p$ contient un élément d'ordre $p$. On note $\operatorname{Aff}(\F_p)$ le
|
||
groupe des permutations de $\F_p$ de la forme $x\mapsto ax+b$, avec
|
||
$a\in\F_p^*$ et $b\in\F_p$. Montrer l'équivalence des conditions :
|
||
1. Il existe deux éléments distincts $x,y\in\db{1,p}$ tels que le seul
|
||
élément de $G$ fixant $x$ et $y$ soit l'identité.
|
||
2. $|G|<p^2$.
|
||
3. $G$ possède un unique sous-groupe d'ordre $p$.
|
||
4. Il existe une bijection $\theta:\db{1,p}\to\F_p$ et un sous-groupe
|
||
$H$ de $\operatorname{Aff}(\F_p)$ tels que
|
||
$\{\theta\circ g\circ\theta^{-1}\mid g\in G\}=H$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 234]
|
||
Soit $G$ un groupe fini. On suppose qu'il existe $a\in G\setminus\{e\}$
|
||
et un nombre premier $p$ tels que, pour tout $x\in G$,
|
||
$$a^{-1}xa=x^{p+1}.$$
|
||
1. Montrer que $(xy)^p=y^px^p$ pour tous $x,y\in G$, puis en déduire
|
||
que $ay^p=y^pa$ pour tout $y\in G$.
|
||
2. On admet que si un nombre premier $q$ divise $|G|$, alors $G$ possède
|
||
un élément d'ordre $q$. Montrer que $|G|$ est une puissance de $p$.
|
||
3. Soient $f:x\mapsto x^p$ et $H=\{x\in G\mid x^p=e\}$. Montrer que
|
||
$|f(G)|=|G|/|H|$.
|
||
4. Montrer que $|G|<|H|^2$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 235]
|
||
Soit $P\in\C[X]$. On écrit $P=A+iB$, avec $A,B\in\R[X]$. On suppose
|
||
que les racines de $P$ sont dans le demi-plan $\operatorname{Im}(z)>0$.
|
||
Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$.
|
||
#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [X 2026 # 236]
|
||
Soit $n\in\N^*$.
|
||
1. Montrer qu'il existe un polynôme $P\in\R[X]$ de degré $2n-1$ tel que,
|
||
pour tout $\theta\in]0,\pi[$,
|
||
$$\frac{\sin(4n\theta)}{\cos\theta\sin\theta}=P(\cos^2\theta).$$
|
||
2. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{4n}\right)$.
|
||
3. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 237]
|
||
Pour $\sigma\in S_n$, on note
|
||
$$\operatorname{Inv}(\sigma)=\operatorname{Card}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\mid
|
||
i<j\text{ et }\sigma(i)>\sigma(j)\}.$$
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||
Pour $k\in\N$, on pose $P_k=\sum_{i=0}^kX^i$.
|
||
1. Montrer que
|
||
$$\sum_{\sigma\in S_n}X^{\operatorname{Inv}(\sigma)}
|
||
=\prod_{k=1}^{n-1}P_k.$$
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||
2. Soient $p$ premier et $k\in\db{1,p-1}$. Simplifier
|
||
$P_{p-1}(e^{2ik\pi/p})$.
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||
3. Exprimer le cardinal de $\{\sigma\in S_n\mid (n+1)\mid
|
||
\operatorname{Inv}(\sigma)\}$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X 2026 # 238]
|
||
Soit $L\geq3$ et $f\in\Z[X]$ de degré $d>0$, de coefficient constant
|
||
$-1$ et de coefficient dominant $a_d>0$. Montrer que l'ensemble
|
||
$$\{p\in\mathbb{P}\mid p\not\equiv1\ [L],\ \exists m\in\Z,\ f(m)\equiv0\ [p]\}$$
|
||
est infini.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 239]
|
||
Soient $a\geq3$ et $P=X^2+X+a$. On suppose que, pour tout
|
||
$n\in\db{0,a-2}$, $P(n)$ est premier. Soit $k\in\db{0,a-2}$.
|
||
1. Montrer que si $k+1$ est un carré, alors $P(a+k)$ n'est pas premier.
|
||
2. Réciproquement, on suppose que $P(a+k)$ n'est pas premier.
|
||
a. Montrer que son plus petit facteur premier $p$ vérifie $p\geq a$.
|
||
b. Montrer que $P(a+k-p)=p$.
|
||
c. Conclure.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [X 2026 # 240]
|
||
Soit $(x_n)_{n\in\N}\in\R^\N$ telle que $x_0,x_1>0$ et
|
||
$$x_{n+1}x_{n-1}=1+x_n^2\qquad(n\geq1).$$
|
||
1. Montrer que $(x_n)$ ne peut pas être périodique.
|
||
2. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ et $\beta>1$ tels que
|
||
$x_n\sim\alpha\beta^n$.
|
||
3. On pose $Q_0=i$, $Q_1=iX$ et, pour tout $n\geq1$,
|
||
$Q_{n+1}Q_{n-1}=1+Q_n^2$. Montrer que, pour tout $n$, $Q_n\in i\Z[X]$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [X 2026 # 241]
|
||
1. Montrer l'existence et l'unicité d'une famille de polynômes de $\Q[q]$,
|
||
notés $\binom nk_q$, vérifiant
|
||
$$\binom n0_q=\binom nn_q=1,\qquad
|
||
\binom nk_q=\binom{n-1}k_q+q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q
|
||
=q^k\binom{n-1}k_q+\binom{n-1}{k-1}_q.$$
|
||
On pourra les exprimer en fonction des $\binom n1_q$, notés $[n]_q$.
|
||
2. Montrer que
|
||
$$(X+Y)(X+qY)\cdots(X+q^{n-1}Y)
|
||
=\sum_{k=0}^n q^{k(k-1)/2}\binom nk_qX^{n-k}Y^k.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [X 2026 # 242] [MPI]
|
||
Soit $P\in\Z[X]$ unitaire de degré $d\geq1$, de racines complexes
|
||
$\lambda_1,\ldots,\lambda_d$, toutes de module au plus $1$. On pose
|
||
$f_n=\lambda_1^n+\cdots+\lambda_d^n$ pour $n\in\N$.
|
||
1. Montrer que $f_n\in\Z$ pour tout $n$, puis qu'il existe $p\geq1$ et
|
||
$n_0\in\N$ tels que $f_{n+p}=f_n$ pour tout $n\geq n_0$.
|
||
2. En déduire que, pour tout $k\in\db{1,d}$, $\lambda_k=0$ ou
|
||
$|\lambda_k|=1$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X 2026 # 243]
|
||
Soit $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telle que
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||
$$\det(M^{2024}-I_2)=\det(M^{2024}+I_2),\qquad
|
||
\det(M^{2026}-I_2)=\det(M^{2026}+I_2).$$
|
||
Montrer que, pour tout $n\geq1$,
|
||
$$\det(M^n-I_2)=\det(M^n+I_2).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [X 2026 # 244]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\R)$ tels que $(A-B)^2=0$.
|
||
1. Montrer que $\det(A^2-B^2)=(\det A-\det B)^2$.
|
||
2. Montrer que $\det(AB-BA)=0$ si et seulement si $\det A=\det B$.
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||
#+end_exercice
|
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 245]
|
||
Soit $A\in\operatorname{GL}_2(\R)$ telle que
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||
$$\det(A+A^{-1})+\det(A-A^{-1})=4.$$
|
||
Montrer que $\det(A+A^{-1})=(\operatorname{Tr}A)^2$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [X 2026 # 246]
|
||
Soient $A\in\operatorname{GL}_4(\R)$ et $B\in\mathcal{M}_4(\R)$ tels
|
||
que $AB=BA$ et $\det(A^2-AB+B^2)=0$. Montrer que
|
||
$$\det(A+B)+3\det(A-B)=6(\det A+\det B).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [X 2026 # 247]
|
||
Soient $n\geq2$, $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$ et $p$ un nombre premier.
|
||
Montrer que
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||
$$\operatorname{Tr}((A+B)^p)\equiv\operatorname{Tr}(A^p)+
|
||
\operatorname{Tr}(B^p)\pmod p.$$
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [X 2026 # 248]
|
||
Pour $A\in\mathcal{M}_n(\Z)$, on note $\varphi(A)$ le pgcd de ses
|
||
coefficients.
|
||
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$. Trouver une relation entre
|
||
$\varphi(AB)$ et $\varphi(A)\varphi(B)$.
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||
2. Montrer que $\varphi(AB)$ divise $\det(A)\varphi(B)$.
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3. Soit $\alpha\in\Z$ et $A^2-\alpha A+I_n=0$. Donner une condition
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nécessaire et suffisante pour que $\varphi(A^k-I_n)\to_{k\to+\infty}+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 249]
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1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ ne peut pas être engendré par un
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nombre fini d'éléments.
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2. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ est dense dans
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$\operatorname{SL}_n(\R)$.
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3. Montrer que $(S,T)$ engendre $\operatorname{SL}_2(\Z)$, où
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$$S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad
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T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 250]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$.
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1. Montrer que $AB-BA$ n'est pas inversible.
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2. On suppose $\operatorname{rg}(A-B)=1$. Montrer que $AB=BA$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 251]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
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$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement s'il existe
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$P,Q,R\in\operatorname{GL}_n(\R)$ tels que $AP+QB=ARB$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 252]
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1. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que
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$\operatorname{rg}(M^2)\neq\operatorname{rg}(M)$. Montrer qu'il existe
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$A\in\mathcal{M}_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que
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$AM=MA=A^2=0$ :
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a. dans le cas $n=2$ ;
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b. dans le cas où $M$ est nilpotente ;
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c. dans le cas général.
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2. Le résultat subsiste-t-il pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
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$\operatorname{rg}(M)\neq\operatorname{rg}(M^2)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 253]
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Pour $A,B\in\mathcal{M}_2(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$.
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1. Soient $X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)$. Montrer que
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$[X,[Y,Z]^2]=0$.
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2. A-t-on nécessairement $[X,[Y,Z]]=0$ ?
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3. Expliciter le sous-espace vectoriel engendré par
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$\{[X,[Y,Z]]\mid X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 254]
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Soient $n,p\in\N\setminus\{0,1\}$ et
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$E=\{A_1,\ldots,A_p\}\subset\mathcal{M}_{2n}(\C)$ tel que $AB\in E$
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pour tous $A,B\in E$. Montrer qu'il existe
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$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p)\in\{0,1,-1\}^p\setminus\{0\}$
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tel que $\operatorname{rg}(\sum_{i=1}^p\varepsilon_iA_i)\leq n$.
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On suppose le contraire.
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1. Pour $A\in E$, montrer que $M\mapsto AM$ est injective sur $E$.
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2. Pour $A\in E$, montrer que $\operatorname{rg}(A-I_{2n})\leq n$.
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Indication : considérer $S=\sum_{i=1}^pA_i$.
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3. Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 255]
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Soit $n\geq1$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et
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on pose
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$$J=\begin{pmatrix}I_n&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad
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G=\{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\R)\mid M^TJM=J\}.$$
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1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de $\operatorname{GL}_{n+1}(\R)$,
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stable par transposition.
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2. Posons $H=\{(X,z)\in\R^n\times\R\mid z^2-\|X\|^2=1\}$ et
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$a_0=(0_{\R^n},1)$. Montrer que, pour tout $a\in H$, il existe
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$g\in G$ tel que $ga_0=a$.
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3. Soit $g\in G$, écrit par blocs
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$g=\begin{pmatrix}M&X\\Y^T&z\end{pmatrix}$. Montrer que $z\geq1$.
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On note $L(g)$ l'unique réel positif tel que $\cosh(L(g))=z$.
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Caractériser les $g$ tels que $L(g)=0$.
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4. Montrer que, pour tous $g,h\in G$, $L(g)=L(g^{-1})$ et
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$L(gh)\leq L(g)+L(h)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 256] [MPI]
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Soit $p$ un nombre premier impair.
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1. Soient $n\in\N$, $P\in\C[X]$ dont les racines sont de module $1$ et
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$Q\in\Z[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que si
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$$P(X)=p^nQ\left(\frac{X-1}{p}\right),$$
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alors $P(X)=(X-1)^n$.
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2. Montrer que $\operatorname{GL}_n(\Z)$ est un groupe et que
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$$\operatorname{GL}_n(\Z)=\{M\in\mathcal{M}_n(\Z)\mid\det M=\pm1\}.$$
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3. Soient $A,B\in\operatorname{GL}_n(\Z)$ congruentes coefficient par
|
||
coefficient modulo $p$. Montrer qu'il existe $M\in\mathcal{M}_n(\Z)$
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telle que $AB^{-1}=I_n+pM$.
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4. Montrer que si $A$ et $B$ appartiennent à un même sous-groupe fini de
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$\operatorname{GL}_n(\Z)$, alors $A=B$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 257]
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Soit $M\in\operatorname{GL}_n(\C)$. Montrer qu'il existe
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$A\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $M=A^2$. Est-ce encore vrai dans
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$\operatorname{GL}_n(\R)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 258]
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Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $d$ et
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$u\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que si la suite
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$(\operatorname{Tr}(u^n))_{n\in\N}$ est bornée, alors elle est bornée par $d$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 259]
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Soient $n\geq2$, $a,b\in\C$ avec $a\neq0$ et $b^k\neq1$ pour tout
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$k\in\db{1,n}$.
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=aI_n+bBA$.
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1. Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles.
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2. Que peut-on dire du spectre de $AB$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 260]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose
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$$\sin(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$
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1. Quelles sont les matrices réelles diagonalisables qui s'écrivent
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$\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ ?
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2. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui s'écrivent
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$\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 261]
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||
Soient $n\geq3$ et $(a,b)\in\C^2$ avec $b\neq0$. Pour
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$k\in\db{1,n-1}$, on pose
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$$A_k=\operatorname{diag}(I_{k-1},H,I_{n-k-1}),\qquad
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||
H=\begin{pmatrix}a&b\\(1-a^2)/b&-a\end{pmatrix}.$$
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||
1. Pour $|k-k'|\neq1$, déterminer le cardinal du sous-groupe de
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||
$\operatorname{GL}_n(\C)$ engendré par $A_k,A_{k'}$.
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||
2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$.
|
||
3. Montrer que ce vecteur n'est inclus dans aucun plan de $\C^n$ stable
|
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par tous les $A_k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 262]
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Soit $n\geq2$.
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1. Déterminer les couples $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\C)^2$ tels que
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$AB=BA^2$, $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$, et $A^2,B$ n'ont pas de
|
||
vecteur propre commun.
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2. Que se passe-t-il si l'on enlève la condition $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$ ?
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3. Déterminer les couples $(A,B)$ tels que $AB=BA^2$, $B$ inversible et
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$A$ nilpotente.
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4. Soit $A$ telle que $\operatorname{Sp}(A)=\{1\}$. Existe-t-il $B$
|
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inversible telle que $AB=BA^2$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 263]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. On pose
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$$C(A)=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid AM=MA\},$$
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et
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$$C(C(A))=\{N\in\mathcal{M}_n(\C)\mid MN=NM\text{ pour tout }M\in C(A)\}.$$
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1. Montrer que $C(C(A))=\C[A]$.
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2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $C(C(A))=C(A)$.
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3. Montrer que
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$$2n-\dim C(A)\leq\dim C(C(A))\leq n\leq\dim C(A).$$
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4. On ne suppose plus $A$ diagonalisable, mais nilpotente non nulle avec
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$n=2$. Montrer que $C(A)=\C[A]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 264]
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Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
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$n\geq2$. Déterminer les fonctions continues $f:E\to\R$ telles que
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$$\langle x,y\rangle=0\Longrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y).$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 265]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $a,b>0$ et
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$x,y\in\R^n$.
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1. On suppose $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$. Montrer que
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$$\|x\|\|y\|\leq\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}|\langle x,y\rangle|.$$
|
||
2. On suppose qu'il existe $m_1,m_2,M_1,M_2>0$ tels que
|
||
$x_i\in[m_1,M_1]$ et $y_i\in[m_2,M_2]$ pour tout $i$. Montrer que
|
||
$$\langle x,y\rangle\geq
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||
\frac{2\sqrt{m_1m_2M_1M_2}}{\sqrt{M_1M_2} + \sqrt{m_1m_2}}\|x\|\|y\|.$$
|
||
3. Montrer que $\langle by-x,ay-x\rangle\leq0$ si et seulement si
|
||
$$\left\|x-\frac{a+b}{2}y\right\|
|
||
\leq\frac{|b-a|}{2}\|y\|.$$
|
||
4. Montrer que si $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$, alors
|
||
$$\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,y\rangle^2
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\leq\frac{(b-a)^2}{4}\|y\|^4.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 266]
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On se place dans $\R^d$ muni de sa structure euclidienne canonique.
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Soient $E,F$ deux sous-espaces vectoriels de $\R^d$, et $A,B$ les matrices
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des projections orthogonales sur $E,F$. Montrer qu'il existe
|
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$Q\in\mathcal{M}_d(\R)$ et $\alpha\in]0,1[$ tels que, pour tout
|
||
$v\in\R^d$ vérifiant $\|v\|\leq1$ et tout $n\in\N$,
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||
$$\|(AB)^nv-Qv\|\leq\alpha^n.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 267] [MPI]
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1. Soient $E$ un espace vectoriel réel, $n\geq1$ et
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||
$f_1,\ldots,f_n\in\mathcal{L}(E,\R)$. Pour $f\in\mathcal{L}(E,\R)$,
|
||
montrer que $f\in\operatorname{Vect}(f_1,\ldots,f_n)$ si et seulement
|
||
si $\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_n\subset\ker f$.
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||
2. Pour $n\geq1$, on note $L_n(X)$ la dérivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$.
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Montrer que, pour tout $Q\in\R_{n-1}[X]$,
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$$\int_{-1}^1L_n(x)Q(x)\,dx=0,$$
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puis que $L_n$ est simplement scindé à racines dans $]-1,1[$.
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3. Notons $-1<x_1<\cdots<x_n<1$ les racines de $L_n$. Montrer qu'il
|
||
existe $a_1,\ldots,a_n\in\R$ tels que, pour tout $Q\in\R_{2n-1}[X]$,
|
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$$\int_{-1}^1Q(x)\,dx=\sum_{i=1}^na_iQ(x_i).$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 268]
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1. Soient $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et
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$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}$. Existe-t-il
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||
$P\in\operatorname{GL}_2(\Q)$ telle que $B=P^TAP$ ?
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||
2. Même question avec $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}$.
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||
3. Même question avec $A=\begin{pmatrix}5&0\\0&11\end{pmatrix}$ et
|
||
$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&55\end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 269]
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Soit $P=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\R)$,
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où $A\in\mathcal{M}_r(\R)$, $D\in\mathcal{M}_{n-r}(\R)$, et supposons
|
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$P=P^2=P^T$.
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1. Montrer que $A$ est symétrique positive.
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||
2. Montrer que $\operatorname{Im}B\subset\operatorname{Im}A$.
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3. Montrer qu'il existe une unique matrice $A^+$ telle que $A,A^+$
|
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commutent, $A^+A$ soit la matrice du projecteur orthogonal sur
|
||
$\operatorname{Im}A$, et $A^+AA^+=A^+$.
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4. Montrer que $Q=I_{n-r}-D+B^TA^+B$ est la matrice du projecteur
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orthogonal sur $\operatorname{Im}(I_{n-r}-D)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 270] [MPI]
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Soit $n\in\N$. Déterminer les formes linéaires $\ell$ sur
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$\mathcal{M}_n(\R)$ telles que, pour tout $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et
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$P\in O_n(\R)$, $\ell(PMP^{-1})=\ell(M)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 271]
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1. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ trigonalisable sur $\R$. Montrer que
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$\operatorname{Sp}(A)\subset\R_{-}^{*}$ si et seulement s'il existe
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un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ sur $\R^n$ et $c<0$
|
||
tels que $\langle Ax,x\rangle\leq c\langle x,x\rangle$ pour tout $x$.
|
||
2. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
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||
$\operatorname{Re}(\lambda)<0$ pour tout $\lambda\in\operatorname{Sp}_{\C}(A)$
|
||
si et seulement s'il existe un produit scalaire et $c<0$ tels que la
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||
même inégalité soit vérifiée pour tout $x\in\R^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 272]
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||
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que $AA^T=A^TA$ si et seulement si
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$A^2A^T=AA^TA$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [X 2026 # 273]
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||
Soit $B\subset\R_+$ non majorée. Montrer que
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$$\left\{\frac{n}{x}\mid n\geq1,\ x\in B\right\}$$
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est dense dans $\R_+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 274]
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||
Soient $X$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé et $f:X\to X$
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||
continue. Pour $x\in X$, on pose
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$$\omega(f,x)=\bigcap_{n\in\N}\{f^k(x)\mid k\geq n\}.$$
|
||
1. On suppose qu'il existe $x$ tel que $\omega(f,x)=X$. Montrer que $f$
|
||
est transitive : pour tous ouverts non vides $U,V$ de $X$, il existe
|
||
$n\in\N$ tel que $f^n(U)\cap V\neq\varnothing$.
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||
2. On suppose que $\omega(f,x)$ est fini et non vide. Montrer que $f$
|
||
induit sur $\omega(f,x)$ une permutation cyclique.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 275]
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||
Soit $A\in\mathcal{M}_2(\R)$ et
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||
$S(A)=\{PAP^{-1}\mid P\in\operatorname{GL}_2(\R)\}$.
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||
1. Si $A$ est diagonalisable, montrer que $S(A)$ est connexe par arcs.
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||
2. Si $\operatorname{Sp}_{\C}(A)\subset\R$ et $A$ n'est pas
|
||
diagonalisable, montrer que $S(A)$ n'est pas connexe par arcs.
|
||
3. Si $\operatorname{Sp}_{\C}(A)\subset\C\setminus\R$, montrer que
|
||
$S(A)$ n'est pas connexe par arcs.
|
||
4. Qu'en est-il dans $\mathcal{M}_3(\R)$ ?
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X 2026 # 276]
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||
Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose
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||
$d(A)=\dim(\C[A])$.
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||
1. Quelles valeurs peut prendre $d(A)$ ?
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||
2. Soit $P\in\C[X]$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour
|
||
que $d(P(A))=d(A)$.
|
||
3. Étudier les propriétés topologiques de l'ensemble $E_k=d^{-1}(k)$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X 2026 # 277]
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||
Soit $(u_n)\in(\R_+^*)^\N$ telle que $u_{n+1}=|u_n-n|$ pour tout
|
||
$n\in\N^*$. Trouver un équivalent de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 278]
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||
Soit $(x_n)_{n\geq1}$ une suite réelle telle que $x_1,x_2\in]0,1[$ et
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||
$$x_{n+2}=\frac{x_n^2}{x_{n+1}-x_n^2+1}.$$
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||
1. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
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||
2. Montrer que $(x_1\cdots x_n)$ converge et déterminer sa limite.
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||
3. Montrer que $(\sqrt n\,x_1\cdots x_n)$ converge et déterminer sa limite.
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||
4. Si $1-x_n\sim\alpha/n$, la suite $(\sqrt n\,x_1\cdots x_n)$
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||
converge-t-elle nécessairement ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 279] [MPI]
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Soit $f\in C^0([0,1],[0,1])$. On définit $u_0\in[0,1]$ et
|
||
$u_{n+1}=f(u_n)$. On suppose que $u_{n+1}-u_n\to0$. Montrer que $(u_n)$
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converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 280] [MPI]
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Soit $f:[-1,1]\to[-1,1]$, $f(x)=2x^2-1$.
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1. Montrer qu'il existe $x\in[-1,1]$ tel que l'ensemble des valeurs
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||
d'adhérence de la suite définie par $x_0=x$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ soit
|
||
égal à $[-1,1]$.
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||
2. Montrer que l'ensemble des $x$ vérifiant cette propriété est dense dans
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$[-1,1]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 281]
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Pour $x,y>0$, on définit $d(x,y)=|x-y|$ et
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||
$h(x,y)=|\ln x-\ln y|$.
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||
1. Pour $x>0$ et $(x_n)\in(\R_+^*)^\N$, montrer que
|
||
$d(x_n,x)\to0$ si et seulement si $h(x_n,x)\to0$.
|
||
2. Soient $a,b,c,d>0$ et $T(x)=(c+dx)/(a+bx)$. Montrer que
|
||
$T(\R_+^*)$ est inclus dans un compact de $\R_+^*$.
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||
3. Pour $x\neq x'$ positifs, poser $\lambda=h(a/c,b/d)$,
|
||
$y=T(x)$ et $y'=T(x')$. Montrer que
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||
$$\frac{h(y,y')}{h(x,x')}\leq\tanh(\lambda/4).$$
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4. Pour $x>0$, poser $x_0=x$ et $x_{n+1}=T(x_n)$. Montrer que $(x_n)$
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converge vers l'unique point fixe de $T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 282]
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1. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)$, avec $u_0\in\R$. Quelle est la nature
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de la série de terme général $u_n$ ?
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||
2. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)^2$, avec $u_0\leq0$. Quelle est la nature
|
||
de la série de terme général $u_n$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 283]
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On pose
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$$\alpha=4\sum_{k=0}^{499999}\frac{(-1)^k}{2k+1}.$$
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Montrer qu'exactement une des 16 premières décimales de $\alpha$ diffère
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de la décimale correspondante de $\pi$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 284]
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Résoudre dans $\R$ l'équation
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$$\frac{\ln(6^x+1)}{\ln7}=\frac{\ln(7^x-1)}{\ln6}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 285]
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Soient $f,g:[0,1]\to[0,1]$. On suppose que $g$ est monotone et surjective
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et que $|f(x)-f(y)|\leq|g(x)-g(y)|$ pour tous $x,y\in[0,1]$.
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1. Montrer qu'il existe $x_0\in[0,1]$ tel que $f(x_0)=g(x_0)$.
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2. Montrer que $\{x\in[0,1]\mid f(x)=g(x)\}$ est un segment.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 286]
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Soit $T\geq2$ et $f:\Z\to\R$ une fonction $T$-périodique telle que,
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pour tout $n\geq1$ et $k\in\Z$,
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$$\sum_{i=-n}^{n-1}f(i+k)\leq\sum_{i=-n}^{n-1}f(i).$$
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1. Si $T$ est impair, montrer que $f$ est constante.
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2. Donner un exemple non constant lorsque $T$ est pair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 287]
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Soit $f:\R\to\R$ sous-additive : $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.
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1. On suppose qu'il existe $\delta>0$ et
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$\varphi:] -\delta,\delta[\to\R$ telle que $\varphi(0)=0$,
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$\varphi$ dérivable en $0$ et $f\leq\varphi$. Montrer qu'il existe
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$a\in\R$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x$.
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2. On suppose qu'il existe $x_0,y_0>0$ tels que $f(x_0),f(-y_0)\leq0$
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||
et $x_0/y_0\in\Q$. Montrer que $f$ est périodique.
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||
3. Construire une fonction avec $f(x_0),f(-y_0)\leq0$ pour certains
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$x_0,y_0>0$, mais qui n'est pas périodique.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 288]
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Soit $f\in C^2(\R,\R_+)$ telle que $ff''-(f')^2\geq0$. Montrer que si
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$f$ s'annule en un point, alors $f=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 289]
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Soit $I$ un intervalle de $\R$. On dit que $f:I\to I$ vérifie $P$ si,
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pour tous $x,y\in I$, $f_n(x)-f_n(y)\to0$, où $f_n$ est la $n$-ième
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itérée de $f$. Pour $f(x)=x+1/x$ sur $\R_+^*$, $f$ admet-elle un point
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fixe ? Vérifie-t-elle $P$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 290] [MPI]
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Déterminer tous les couples $(f,g)$ de polynômes trigonométriques réels
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tels que $f^2+g^2=1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 291]
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Soit $f:\R\to\R$ et $g(x)=2f(x)+f(-x)$.
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1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$.
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Montrer que $f$ est continue en $0$.
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2. Trouver une fonction $f$ discontinue en $0$ telle que $g$ soit continue.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 292]
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Soit
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$$F=\{f\in C^0(\R,\R)\mid e^{f(x)}+f(x)\geq x+1\text{ pour tout }x\in\R\}.$$
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Calculer $\displaystyle\inf_{f\in F}\int_0^e f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 293] [MPI]
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On appelle polynôme trigonométrique complexe toute combinaison linéaire
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complexe des fonctions $e_k:x\mapsto e^{ikx}$, $k\in\Z$. Déterminer les
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polynômes $H$ tels que $H(\R)\subset\R$ et $\cos\circ H$ soit un
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polynôme trigonométrique.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 294] [MPI]
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1. Déterminer les endomorphismes $T$ de $\R[X]$ qui commutent avec la
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dérivation et avec la multiplication par $X$.
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2. Posons
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$$S=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid
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\sup_{x\in\R}|x^kf^{(n)}(x)|<+\infty\text{ pour tous }k,n\in\N\}.$$
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Montrer que $S$ est un espace vectoriel stable par dérivation et par
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multiplication par l'identité de $\R$. Déterminer les endomorphismes
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de $S$ qui commutent avec ces deux opérateurs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 295]
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Posons $E=C^0([-1,1],\C)$. Soit $g:[-1,1]\to[-1,1]$ continue,
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croissante et surjective, et $\Phi:f\mapsto f\circ g$. Montrer que $1$
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est la seule valeur propre possible de $\Phi$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 296]
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Soit $P\in\R[X]$ tel que $P(1)=P(-1)=0$ et $P(x)>0$ pour $x\in]-1,1[$.
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1. Calculer l'aire $T$ du triangle formé par l'axe des abscisses et les
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tangentes à $P$ en $-1$ et $1$.
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2. Posons $A=\int_{-1}^1P(x)\,dx$. On suppose
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$P=(X^2-1)\prod_{i\in I}(X-\lambda_i)$, avec $\lambda_i$ réels,
|
||
distincts et différents de $\pm1$. Montrer que
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$$A\geq\frac43\prod_{i\in I}(\lambda_i^2-1).$$
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3. En déduire que $A\geq2T/3$.
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4. Ce résultat reste-t-il vrai si $P$ possède des racines non réelles ?
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5. On suppose de plus $P$ concave sur $[-1,1]$. Soit $R$ l'aire du
|
||
rectangle formé par l'axe des abscisses, $x=\pm1$ et la tangente
|
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horizontale de $P$ sur l'intervalle. Montrer que $A\leq cR$ pour une
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constante $c<1$ indépendante de $P$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 297]
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Soient $a<b$ et $E=C^0([a,b],\R)$. Posons
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$$G=\{g\in C^2([a,b],\R)\mid g(a)=g(b)=g'(a)=g'(b)=0\}.$$
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||
1. Pour $f\in E$ et $n\geq1$, montrer que
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||
$$h(x)=\int_a^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)\,dt$$
|
||
est de classe $C^n$ et $h^{(n)}=f$.
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||
2. Montrer qu'il existe $g\in G$ telle que $f=g''$ si et seulement si
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$\int_a^bf(t)\,dt=\int_a^btf(t)\,dt=0$.
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||
3. Montrer que, pour $f\in E$, $\int_a^bfg''=0$ pour tout $g\in G$ si
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et seulement si $f$ est affine.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 298]
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Soit $f:\R_+\to\R_+$ continue telle que $\int_0^{+\infty}f=1$. Posons
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$g(x)=\int_x^{+\infty}f$.
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1. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx=\int_0^{+\infty}g(x)\,dx$.
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||
2. Si $f$ est décroissante, montrer qu'il existe un unique $M>0$ tel que
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||
$\int_0^M f=1/2$.
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||
3. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx\geq M$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 299]
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On définit $f_1(x)=\sin x$ sur $]0,\pi[$, puis
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$f_{n+1}(x)=\sin(f_n(x))$. Montrer que $(\sqrt n f_n)_{n\geq1}$ converge
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simplement vers la fonction constante $\sqrt3$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 300]
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Soit $f:\R_+\to\R_+$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et
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$$|f'(x)-k|\leq\mu x^\lambda,$$
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||
avec $k\in]0,1[$ et $\lambda,\mu>0$. Posons $f_0=\operatorname{id}$,
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||
$f_{n+1}=f\circ f_n$ et $x_n=f_n(x)$.
|
||
1. Montrer qu'il existe $a>0$ et $b\in]0,1[$ tels que, pour $x\in[0,a]$,
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$x_n\leq b^nx$.
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||
2. Posons $g_n=f_n/k^n$. Montrer que, pour $x\in[0,a]$,
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$$\left|\frac{g_n'(x)}{g_{n+1}'(x)}-1\right|
|
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\leq\frac{\mu}{k}x^\lambda b^{\lambda n}.$$
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||
3. Montrer qu'on peut choisir $a>0$ tel que $f_n'(x)>0$ sur $[0,a]$.
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4. Montrer que $(g_n)$ et $(g_n')$ convergent uniformément sur $[0,a]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 301]
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Soit
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$$f(x)=\sum_{n\in\Z}\frac1{(x-n)^2+1}.$$
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||
Montrer que $f$ n'est pas polynomiale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 302]
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Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ une série entière à coefficients
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réels, avec $a_0=1$ et rayon de convergence $R>0$. On suppose qu'il existe
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$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$, de rayon de convergence positif, telle
|
||
que $f(x)(1-g(x))=1$ au voisinage de $0$.
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1. Montrer que si tous les $b_n$ sont positifs, alors tous les $a_n le sont.
|
||
2. Trouver un exemple où tous les $a_n$ sont positifs et où au moins un
|
||
$b_n$ est strictement négatif.
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||
3. On suppose $a_{n+1}a_{n-1}\geq a_n^2$ pour tout $n\geq1$. Montrer que
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||
$b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$.
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||
4. On suppose, pour $x\in]-R,R[$,
|
||
$$f(x)=1+\frac12\ln\left(\frac1{1-x}\right).$$
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||
Montrer que $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 303]
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Soit $P=a_1X+\cdots+a_dX^d\in\R[X]$, avec $a_d\neq0$, et
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||
$f(z)=e^{P(z)}$. On suppose que son développement en série entière
|
||
$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n$ vérifie $c_n>0$ pour tout $n\geq0$.
|
||
1. Montrer que $a_d>0$ et $a_v>0$, où $v=\min\{i\mid a_i\neq0\}$.
|
||
2. Si $P=a_vX^v+a_mX^m+a_dX^d$ avec $v<m<d$, montrer que $a_m\geq0$.
|
||
Indication : poser $\rho=e^{2i\pi/d}$ et considérer $f(\rho z)/f(z)$.
|
||
3. Pour le cas général, soit $m$ tel que $v<m<d$. On suppose $a_m<0$
|
||
et que le pgcd des $i\geq m+1$ tels que $a_i\neq0$ ne divise pas
|
||
$m$. Montrer qu'il existe $n\geq0$ tel que $c_n\leq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 304]
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Posons
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$$J(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)}{1+t^2}\,dt.$$
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1. Montrer que $J$ est de classe $C^1$ sur un domaine à préciser et
|
||
exprimer $J'$.
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2. Montrer que $\zeta(2)=\int_0^1\frac{\ln t}{t-1}\,dt$.
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3. Montrer que $\zeta(2)=\pi^2/6$. Indication : considérer $J(1)-J(0)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 305] [MPI]
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||
Soit $k\in C^0([0,1]^2,\C)$ et $E=C^0([0,1],\C)$. Pour $f\in E$, on pose
|
||
$$v(f)(x)=\int_0^x k(x,y)f(y)\,dy.$$
|
||
1. Montrer que $v$ est un endomorphisme de $E$ dont l'unique valeur propre
|
||
possible est $0$.
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2. Si $k$ est à valeurs dans $\R_+^*$, montrer que les éléments non nuls
|
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du noyau de $v$ ne sont pas développables en série entière en $0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 306] [MPI]
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Soit
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$$E=\left\{f\in C^2(\R,\R)\mid
|
||
\sup_{x\in\R}(1+x^2)(|f(x)|+|f'(x)|+|f''(x)|)<+\infty\right\}.$$
|
||
1. Pour $t,x\in\R$ et $f\in C^1(\R,\R)$, poser
|
||
$A_t(f)(x)=f'(x)+txf(x)$ et $A_t^*(f)(x)=-f'(x)+txf(x)$.
|
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Montrer que, pour tout $t\in\R$ et $f\in E$,
|
||
$$\int_\R A_t^*(A_t(f))(x)f(x)\,dx\geq0.$$
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||
2. Si $\int_\R f^2=1$, montrer que
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$$\left(\int_\R x^2f(x)^2\,dx\right)
|
||
\left(\int_\R f'(x)^2\,dx\right)\geq\frac14.$$
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3. Étudier les cas d'égalité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 307] [MPI]
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||
1. Montrer que, pour tout $t\in[0,1[$,
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$$\int_0^{2\pi}\frac{e^{i\theta}}{1-te^{i\theta}}\,d\theta=0.$$
|
||
2. Montrer que, pour tout $z\in\C$,
|
||
$$\int_0^{2\pi}\ln|e^{i\theta}-z|\,d\theta
|
||
=2\pi\max(0,\ln|z|).$$
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#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [X 2026 # 308]
|
||
Soient $f,g\in C^2(\R,\R)$ et $S,T>0$. On suppose
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||
$(f-g)(t)=o(e^{t/2})$ lorsque $t\to+\infty$, et que
|
||
$F=f''-f'+f$ est $T$-périodique et $G=g''-g'+g$ est $S$-périodique.
|
||
On suppose aussi que $F(t)-G(t)\to0$. Montrer que $f=g$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X 2026 # 309]
|
||
On considère l'équation fonctionnelle $u'(x)=u(x-x^2)$, où
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||
$u:[0,1]\to\R$ est dérivable.
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||
1. Montrer que si deux solutions coïncident sur $[0,\varepsilon]$ pour
|
||
un $\varepsilon>0$, elles coïncident sur $[0,1]$.
|
||
2. Montrer qu'il existe une solution non nulle. Indication : considérer
|
||
$u_0(x)=1$ et
|
||
$$u_n(x)=1+\int_0^x u_{n-1}(t-t^2)\,dt.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [X 2026 # 310]
|
||
Soient $\lambda\in]-1,1[$ et $F$ l'espace des fonctions dérivables
|
||
$f:\R\to\R$ vérifiant $f'(t)=e^tf(\lambda t)$ pour tout $t\in\R$.
|
||
1. Montrer que $F$ est de dimension $1$.
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||
2. Majorer asymptotiquement aussi bien que possible les éléments de $F$
|
||
lorsque $t\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 311]
|
||
Soit $M_0\in O_2(\R)$. Pour quels couples
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||
$(A,B)\in\mathcal{M}_2(\R)^2$ la solution du problème de Cauchy
|
||
$M(0)=M_0$, $M'(t)=AM(t)B$ est-elle à valeurs dans $O_2(\R)$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [X 2026 # 312]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Pour l'équation différentielle
|
||
$M'(t)=AM(t)B$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que
|
||
toutes les solutions soient bornées.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 313] [MPI]
|
||
Soient $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $B\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $T>0$.
|
||
On note $A_T$ l'ensemble des $v\in\R^n$ pour lesquels il existe
|
||
$u\in C^0([0,T],\R^p)$ et une solution de $X'=AX+Bu(t)$ telle que
|
||
$X(0)=0$ et $X(T)=v$. Montrer que $A_T=\R^n$ si et seulement si
|
||
$$M=(B\mid AB\mid A^2B\mid\cdots\mid A^{n-1}B)$$
|
||
est de rang $n$.
|
||
#+end_exercice
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** Géométrie
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#+begin_exercice [X 2026 # 314]
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||
Quel est le périmètre maximal d'un triangle dont les sommets sont sur le
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cercle unité ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 315] [MPI]
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Soit $A_0A_1A_2$ un triangle du plan. On définit $A'_2$ comme le sommet
|
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extérieur au triangle $A_0A_1A_2$ du triangle $A_0A_1A'_2$ isocèle en
|
||
$A'_2$, d'angle au sommet $2\pi/3$. On définit de même $A'_0,A'_1$ par
|
||
permutation circulaire. Montrer que $A'_0A'_1A'_2$ est équilatéral.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 316]
|
||
Soit $K$ un quadrilatère convexe de sommets $O,u,v,w$ dans le sens
|
||
trigonométrique, avec $v>0$. On note $A$ son aire.
|
||
1. Montrer que
|
||
$$A^2=\frac{v^2}{4}\left(|w-u|^2-(\operatorname{Re}(w)-\operatorname{Re}(u))^2\right).$$
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||
2. Montrer que
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||
$$A^2=\frac14\left(p^2q^2-\frac14(a^2-b^2+c^2-d^2)^2\right),$$
|
||
où $a,b,c,d$ sont les longueurs des côtés dans le sens direct et
|
||
$p,q$ celles des diagonales.
|
||
3. Si $K$ est inscriptible dans un cercle, montrer que $pq=ac+bd$.
|
||
En notant $S=(a+b+c+d)/2$, montrer ensuite
|
||
$$A^2=(S-a)(S-b)(S-c)(S-d).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
** Probabilités
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||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 317]
|
||
1. Montrer qu'il existe deux multiensembles distincts de six entiers
|
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strictement positifs issus de $\{1,2,3,4,5,6\}$ tels que deux dés
|
||
équilibrés construits avec leurs éléments donnent la même loi pour la
|
||
somme que deux dés classiques.
|
||
2. Montrer que, pour $N$ assez grand, il existe deux dés pipés à $N$ faces,
|
||
portant les entiers de $1$ à $N$, dont la somme suit la loi de la somme
|
||
de deux dés équilibrés à $N$ faces.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [X 2026 # 318]
|
||
Soit $\sigma$ uniforme sur $S_n$.
|
||
1. Pour $k,i\in\db{1,n}$, calculer la probabilité que $i$ appartienne à
|
||
un cycle de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$.
|
||
2. Si $X_k$ est le nombre de cycles de longueur $k$, montrer que
|
||
$\E(X_k)=1/k$.
|
||
3. Soit $\alpha\in]0,1[$ et $p_n$ la probabilité que tous les cycles de
|
||
$\sigma$ aient longueur au plus $\alpha n$. Montrer qu'il existe
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||
$C_\alpha>0$ tel que $p_n\geq C_\alpha$ pour $n$ assez grand.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 319]
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On fixe $N\geq1$. Soit $U_1$ uniforme sur $\db{1,N}$ et, pour $n\geq1$,
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$U_{n+1}$ uniforme sur $\db{1,U_n}$. Posons $E_N=\{U_j\mid j\geq1\}$.
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1. Montrer que $\P(1\in E_N)=1$.
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2. Calculer $\P(k\in E_N)$ pour $1\leq k\leq N$.
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3. Montrer que les événements $(k\in E_N)$ sont indépendants.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 320]
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Soient $p\in]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi de Bernoulli
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$B(p)$. Posons $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et
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||
$$T_n=\inf\{m\in\N\mid|\{i\in\db{1,m}:X_i=0\}|\geq n\}.$$
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||
1. Montrer que $(S_n\geq k)=(T_{n-k+1}\geq n+1)$.
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2. En déduire
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$$\P(S_n\geq k)=\binom n{n-k}(1-p)^{n-k+1}p^k
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\sum_{\ell\geq0}\frac{(n+1)\cdots(n+\ell)}{(k+1)\cdots(k+\ell)}p^\ell.$$
|
||
3. En déduire que, si $p=1/2$ et $j\geq3$,
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$$\P(S_{nj}\leq n)\sim2^{-nj}\binom{nj}{n}\frac{j-1}{j-2}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 321]
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Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ un vecteur aléatoire à composantes i.i.d.
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dans $L^4$, à valeurs dans $\R$, avec $\E(X_1)=0$ et
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$\V(X_1^2)=\V(X_1)=1$. Soient $F\subset\R^n$ de dimension $k$ et $P$
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la matrice de la projection orthogonale sur $F^\perp$.
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1. Justifier que $d(X,F)^2=X^TPX$ et montrer que
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$\E(d(X,F)^2)=n-k$.
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2. Montrer que $\V(d(X,F)^2)\leq n-k$.
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3. Si $\lambda\geq1$, montrer que
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$$\P\left(|d(X,F)-\sqrt{n-k}|\geq\lambda\right)\leq\frac2{\lambda^2}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 322]
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Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des
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variables aléatoires $X,X_1,X_2$ telles que $X=aX_1+bX_2$, avec
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$X\sim\mathcal{P}(\nu)$, $X_1\sim\mathcal{P}(\lambda)$,
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||
$X_2\sim\mathcal{P}(\mu)$, et $X_1,X_2$ indépendantes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026 # 323]
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Pour $k,n\geq1$, on note
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$$B_{k,n}=\{p\in\mathbb{P}\mid p\leq n^{1/10},\ p\mid k\},$$
|
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et $X_n$ uniforme sur $\db{1,n}$.
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1. Montrer que
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$$\E(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}}\frac1p+O(n^{-9/10}).$$
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||
2. Montrer que
|
||
$$\V(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}}
|
||
\left(\frac1p-\frac1{p^2}\right)+O(n^{-8/10}).$$
|
||
3. Si $\nu(x)=|\{p\in\mathbb{P}\mid p\mid x\}|$ et $a_n\to+\infty$,
|
||
montrer que
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||
$$\P\left(|\nu(X_n)-\ln\ln n|\geq a_n\sqrt{\ln\ln n}\right)\to0.$$
|
||
On pourra utiliser $\sum_{p\leq n,\ p\in\mathbb{P}}1/p=\ln\ln n+O(1)$.
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#+end_exercice
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* X PSI :autre:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 324]
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Soit $n\in\N^*$. Résoudre dans $\R$ l'équation
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$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}(-1)^kx^{2k}=0.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 325]
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Soit $P\in\C[X]$. Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 326]
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Soit $P\in\R[X]$ sans racine réelle multiple. Quel est le nombre maximal
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de racines réelles multiples de $Q=P(X^3-X)$ ? Donner un polynôme $Q$
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réalisant ce maximum.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 327]
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Soit $P_n(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$, avec $a_0\neq0$, et
|
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$$Q_n(X)=X^n-|a_{n-1}|X^{n-1}-\cdots-|a_0|.$$
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||
1. Montrer qu'il existe un unique $\rho>0$ tel que $Q_n(\rho)=0$.
|
||
2. Si $P_n(z)=0$, montrer que $|z|\leq\rho$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 328]
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Soit $E$ de dimension $n$ et $F_1,F_2$ deux sous-espaces vectoriels de
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$E$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $F_1,F_2$ pour
|
||
qu'ils admettent un supplémentaire commun.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 329]
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Déterminer les fonctions $\varphi:\mathcal{M}_n(\R)\to\R_+$ telles que
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$$\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)$$
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pour toutes matrices $A,B$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 330]
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1. Soient $p\geq1$ et $\lambda,\mu\in\C$ distincts. Montrer qu'il existe
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$a,b_1,\ldots,b_p\in\C$ tels que
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$$1=a(X-\mu)^p+\sum_{k=1}^pb_k(X-\lambda)^k.$$
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2. Si $A\in\mathcal{M}_d(\C)$ vérifie $(A-I_d)^2A=0$, calculer $A^n$.
|
||
3. Si $\C^d=\ker((A-I_d)^2)\oplus\ker((A-2I_d)^2)$, expliciter la
|
||
matrice du projecteur sur $\ker((A-I_d)^2)$ parallèlement à
|
||
$\ker((A-2I_d)^2)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 331]
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Soit $\Phi:\R_n[X]\to\R_n[X]$, $\Phi(P)=X^nP(1/X)$.
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1. $\Phi$ est-il diagonalisable ?
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2. Trouver une base de vecteurs propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 332]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
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||
1. Si $A$ est diagonalisable, montrer que $T$ l'est aussi et expliciter
|
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une base de diagonalisation à partir de celle de $A$.
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2. Étudier la réciproque.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 333]
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Soit $P=X^7+2X^6+4X^5+4X^4+4X^3+2X^2+X$. Déterminer
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$$\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid M\text{ est diagonalisable sur }\R, P(M)=0\}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 334]
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||
Soit $d\geq1$ et $T:\C^d\to\C^d$ défini par
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$$T((z_k)_{0\leq k<d})=
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\left(\sum_{k=0}^{d-1}z_ke^{2ikn\pi/d}\right)_{0\leq n<d}.$$
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||
Déterminer les valeurs propres de $T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 335]
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Soient $H_1,\ldots,H_k$ des hyperplans d'un espace euclidien $E$ et
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||
$H_i=\ker\varphi_i$, où $(\varphi_i)$ est une famille libre. Soit $s_i$
|
||
la symétrie orthogonale par rapport à $H_i$ et
|
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$S=s_k\circ\cdots\circ s_1$. Montrer que
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||
$$H_1\cap\cdots\cap H_k=\{x\in E\mid S(x)=x\}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 336]
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||
Soient $A\in\mathcal{S}_n(\R)$, $U\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et
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||
$B=UU^T$. Comparer les valeurs propres de $A$ et $A+B$.
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||
Indication : montrer que $\det(I_n+UV^T)=1+V^TU$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 337]
|
||
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ et $\varphi:X\mapsto AXA$ sur
|
||
$\mathcal{M}_n(\R)$. Exprimer $\det\varphi$ en fonction de $\det A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 338]
|
||
Soient $X,Y\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. Étudier l'existence et
|
||
l'éventuelle unicité de $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ tel que $AXA=Y$.
|
||
Indication : commencer par le cas $Y=I_n$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 339]
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Soient $\psi,\chi\in C^\infty(\R_+,\R_+)$ vérifiant
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$\psi=1$ sur $[0,1]$, $\psi=0$ sur $[2,+\infty[$, $\chi=0$ sur
|
||
$[0,1]\cup[4,+\infty[$, et
|
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$$1=\psi(x)+\sum_{n=0}^{+\infty}\chi(x/2^n).$$
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||
1. Dessiner $\psi,\chi$ et $x\mapsto\chi(x/2^n)$.
|
||
2. Exprimer $\chi$ en fonction de $\psi$.
|
||
3. Pour $E$ l'ensemble des fonctions continues de carré intégrable sur
|
||
$\R_+$, montrer l'équivalence des normes
|
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$$\|f\|^2=\int_0^\infty|f(x)|^2\psi(x)^2dx+
|
||
\sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty|f(x)|^2\chi(x/2^n)^2dx,
|
||
\quad \|f\|_{L^2}^2=\int_0^\infty|f(x)|^2dx.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 340]
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Déterminer l'adhérence de
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$$\left\{\frac1n+\frac1m\mid n,m\in\N^*\right\}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 341]
|
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On admet que $\pi$ est irrationnel. Déterminer l'adhérence de
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$A=\{\sin(n)\mid n\in\N\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 342]
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1. Soit $(x_n)\in\R^\N$ telle que $x_{n+1}-x_n\to0$. Si $a<b$ sont
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||
deux valeurs d'adhérence, montrer que tout élément de $[a,b]$ est une
|
||
valeur d'adhérence.
|
||
2. Soient $f\in C^0(\R,\R)$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ avec
|
||
$x_{n+1}-x_n\to0$. Montrer que $(x_n)$ a au plus une valeur d'adhérence.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 343]
|
||
Soit $E$ un espace vectoriel réel. Montrer que deux normes $N_1,N_2$ sur
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||
$E$ sont égales si et seulement si elles ont la même boule unité ouverte.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 344]
|
||
Soit $f\in C^0(\R,\R)$ $1$-périodique. Que vaut l'adhérence de
|
||
$\{f(\sqrt n)\mid n\in\N\}$ ?
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 345]
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||
Soient $d\geq1$ et $(A_k)_{k\in\N}\in(\mathcal{S}_d^+(\R))^\N$.
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||
On pose $\|A_k\|_2=\operatorname{Tr}(A_kA_k^T)$.
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||
1. Comparer la nature des séries $\sum\|A_k\|$ et
|
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$\sum\operatorname{Tr}(A_k)$.
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2. Montrer que $I_d+A_k$ est inversible pour tout $k$.
|
||
3. Montrer que $\sum\operatorname{Tr}(I_d-(I_d+A_k)^{-1})$ converge si
|
||
et seulement si $\sum\|A_k\|$ converge.
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#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 346]
|
||
Soit $(u_n)$ telle que $(e^{iu_n})$ et $(e^{\sqrt2iu_n})$ convergent.
|
||
Montrer que $(u_n)$ admet au plus une valeur d'adhérence.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 347]
|
||
Donner une fonction de $[0,1]$ dans $\R$ continue en les irrationnels et
|
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discontinue en les rationnels.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 348]
|
||
Pour $n\geq1$, poser
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$$I_n=\int_0^{+\infty}e^{-nx^2}\cos(nx)\,dx.$$
|
||
Montrer que $I_n=o(n^{-\alpha})$ pour tout $\alpha>0$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 349]
|
||
1. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^n\cos^n(x/n)\,dx$.
|
||
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\in\R$ pour
|
||
que la suite $\left(\int_0^n\cos^n(x^\alpha/n)\,dx\right)$ converge.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [X PSI 2026 # 350]
|
||
Soient $k\in\R$ et $f_k(x,y)=x^2+(x-k)y-y^3$. Déterminer les extrema
|
||
de $f_k$ selon les valeurs de $k$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [X PSI 2026 # 351]
|
||
Soit $f(x,y)=(xy-y^2)|y^2-x|$. Déterminer les extrema locaux de $f$.
|
||
#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 352]
|
||
Un promeneur se déplace entre trois sites $A,B,C$. À l'instant initial,
|
||
il est en $A$ ; à chaque instant, il reste sur place avec probabilité
|
||
$2/3$, ou rejoint chacun des deux autres sites avec probabilité $1/6$.
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||
1. Déterminer les probabilités qu'il soit en $A,B,C$ à l'instant $n$.
|
||
2. La suite de ces probabilités possède-t-elle une limite ?
|
||
#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [X PSI 2026 # 353]
|
||
Soit $K>0$ et $f:[0,1]\to\R$ $K$-lipschitzienne. Pour $x\in[0,1]$,
|
||
soit $X_n^x\sim B(n,x)$ et posons $f_n(x)=\E(f(X_n^x/n))$.
|
||
1. Comment $f_n$ dépend-elle de $x$ ?
|
||
2. Montrer que $|f_n(x)-f(x)|\to0$ pour tout $x\in[0,1]$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [X PSI 2026 # 354]
|
||
1. Soit $(u_n)$ une suite positive sous-additive :
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||
$u_{n+m}\leq u_n+u_m$. Montrer que $u_n/n$ converge vers
|
||
$\inf_{k\geq1}u_k/k$.
|
||
2. On considère une marche aléatoire simple sur $\Z^3$ et note $p_n$ la
|
||
probabilité que le chemin de longueur $n$ soit auto-évitant. Montrer que
|
||
$p_{n+m}\leq p_np_m$. Que peut-on en déduire sur $(p_n^{1/n})$ ?
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [X PSI 2026 # 355]
|
||
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini
|
||
$A\subset\Z$. Posons $f_X(t)=\E(e^{-2i\pi tX})$.
|
||
1. Exprimer $\P(X=k)$ à l'aide d'une intégrale faisant intervenir $f_X$.
|
||
2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi de Rademacher et
|
||
$S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner un équivalent de $\P(S_{2n}=0)$ sans
|
||
utiliser la formule de Stirling.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
* X – ESPCI – PC :autre:
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||
** Algèbre
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 356]
|
||
Montrer qu'il existe une infinité de points à coordonnées décimales sur
|
||
le cercle unité de $\R^2$. Indication : commencer par montrer qu'il y a
|
||
une infinité de points à coordonnées rationnelles.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 357]
|
||
Soient $z_1,\ldots,z_n\in\C$ distincts et
|
||
$(u_1,\ldots,u_n),(w_1,\ldots,w_n)\in\C^n$. Montrer qu'il existe un
|
||
unique $P\in\C[X]$ de degré strictement inférieur à $2n$ tel que
|
||
$P(z_k)=u_k$ et $P'(z_k)=w_k$ pour tout $k$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 358]
|
||
Déterminer les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $P(X^2)=P(X)P(X-1)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 359]
|
||
Soit $N\in\N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_N\in\R[X]$
|
||
tel que, pour tout $n\in\N$,
|
||
$$P_N(n)=\sum_{k=1}^nk^N.$$
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 360]
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||
Déterminer les $P\in\C[X]$ vérifiant
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$$P(P''(X))=(P(X+1)-P(X)-P'(X))^2.$$
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 361]
|
||
Soit $\mathbb{U}=\{z\in\C\mid|z|=1\}$. Déterminer les $P\in\C[X]$
|
||
tels que $P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}$.
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#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 362]
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Soit $P\in\Z[X]$ unitaire dont les racines sont non nulles et de module
|
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au plus $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unité.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 363]
|
||
On définit $D:\R[X]\to\R[X]$ par $D(P)=P(X+1)-P(X)$.
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||
1. Déterminer l'image et le noyau de $D$.
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||
2. Montrer qu'il existe une unique base $(H_n)$ de $\R[X]$ telle que
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||
$H_0=1$ et, pour $n\geq1$, $H_n(0)=0$ et $D(H_n)=H_{n-1}$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 364]
|
||
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$.
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||
Montrer l'équivalence entre $f^2=0$ et l'existence d'un projecteur
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$p\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f=p\circ f-f\circ p$.
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#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 365]
|
||
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$.
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||
Déterminer un équivalent de $\operatorname{Tr}(A^n)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 366]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\Z)$ telles que $A+kB$ soit inversible à
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||
inverse entière pour tout $k\in\{0,1,2,3,4\}$. Montrer que $A+5B$ est
|
||
inversible à inverse entière. Généraliser à $\mathcal{M}_n(\Z)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 367]
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Soient $n>m$ et $M\in\mathcal{M}_{n,m}(\Z)$. Montrer qu'il existe
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||
$X\in\Z^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=0$ et
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||
$$\|X\|_\infty\leq(n\|M\|_\infty)^{m/(n-m)}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 368]
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Soient $n\geq2$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$.
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1. Montrer que $e^A=\sum_{k=0}^{+\infty}A^k/k!$ est bien définie.
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2. Si $A$ est diagonalisable, que dire de $e^A$ ?
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3. Pour $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et
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$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, calculer $e^A,e^B,e^{A+B}$.
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4. Même question avec
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$A=\begin{pmatrix}-1&0\\-2&0\end{pmatrix}$ et
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$B=\begin{pmatrix}-2&0\\-2&-1\end{pmatrix}$.
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5. Si $AB=BA$, montrer que $e^{A+B}=e^Ae^B$. La réciproque est-elle vraie ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 369]
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Pour $A\in\mathcal{M}_n(\C)$, on pose $\exp(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}A^k/k!$.
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1. Montrer que $\exp(A)$ est bien définie.
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2. Si $A=I_n+M$ avec $M$ nilpotente, montrer qu'il existe $P\in\C[X]$
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tel que $M=\exp(P(M))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 370]
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Soit $A=(a_{i,j})\in\operatorname{GL}_n(\C)$ et
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$d_k=\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})$. Montrer l'équivalence entre :
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1. $d_k\neq0$ pour tout $k\in\db{1,n}$ ;
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2. il existe une matrice triangulaire inférieure $L$ à diagonale unité et
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une matrice triangulaire supérieure $U$ telles que $A=LU$.
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Montrer aussi l'unicité de cette décomposition.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 371]
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Soient $m,n\geq1$, $m\leq n$, $I$ non vide et $(V_i)_{i\in I}$ une
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famille de sous-espaces de $\R^n$ tels que $\dim V_i=m$ et
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$\dim(V_i\cap V_j)=m-1$ si $i\neq j$. Montrer qu'il existe soit un
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sous-espace de dimension $m-1$ contenu dans tous les $V_i$, soit un
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sous-espace de dimension $m+1$ contenant tous les $V_i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 372]
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Soient $A,B,C,D\in\mathcal{M}_n(\C)$.
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1. Les matrices
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$$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},\quad
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\begin{pmatrix}D&C\\B&A\end{pmatrix},\quad
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\begin{pmatrix}A&-B\\-C&D\end{pmatrix}$$
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sont-elles semblables ?
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2. Montrer que le polynôme caractéristique de
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$\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}$ est à coefficients réels.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 373]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'il existe
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$P,Q\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tels que $PAQ$ et $PBQ$ soient
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triangulaires supérieures.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 374]
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Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$.
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Déterminer la limite puis un équivalent de $(\operatorname{tr}(A^n))_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 375]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $u:M\mapsto AM-MB$.
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1. Si $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ et $\mu\in\operatorname{Sp}(B)$,
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montrer que $\lambda-\mu\in\operatorname{Sp}(u)$.
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2. Si $P\in\C[X]$, $\alpha\in\operatorname{Sp}(u)$ et $M$ est un
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vecteur propre associé, montrer que $P(A)M=MP(B+\alpha I_n)$.
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3. Si $\alpha\in\operatorname{Sp}(u)$, montrer qu'il existe
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$\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ et $\mu\in\operatorname{Sp}(B)$
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tels que $\alpha=\lambda-\mu$. Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 376]
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1. Montrer que toute $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ est limite d'une suite de
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matrices diagonalisables. En déduire une démonstration du théorème de
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Cayley-Hamilton.
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2. Toute matrice réelle est-elle limite d'une suite de matrices réelles
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diagonalisables ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 377]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que
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$\operatorname{rg}(AB-BA)\leq1$. Montrer que $A$ et $B$ sont
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cotrigonalisables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 378]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $\mu=(X-\alpha)^2(X-\beta)$, avec
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$\mu(A)=0$ et le degré minimal d'un polynôme complexe non nul annulant
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$A$ égal à $3$.
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1. Montrer qu'il existe un unique $(a,b,c)\in\R^3$ tel que
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$$(aA+bI_n)(A-\beta I_n)+c(A-\alpha I_n)^2=I_n.$$
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2. Poser $P_\alpha=(aA+bI_n)(A-\beta I_n)$ et
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$P_\beta=c(A-\alpha I_n)^2$. Montrer que $P_\alpha P_\beta=0$ et que
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ces matrices sont des projecteurs. Déterminer leurs espaces propres.
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3. Montrer que $\alpha P_\alpha+\beta P_\beta$ est diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 379]
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Soit $n\geq1$. Quels $\alpha\in\R$ existent tels qu'on puisse trouver
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des vecteurs unitaires $x_1,\ldots,x_{n+1}\in\R^n$ vérifiant
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$\langle x_i,x_j\rangle=\alpha$ pour tous $i<j$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 380]
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Soit $P\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)$ telle que $P^TP=I_m$. Que peut-on dire
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de $m,n$ ? Interpréter géométriquement $P$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 381]
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Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthogonale de $\R^n$. Pour un sous-espace
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$W$, on note $p_W$ la projection orthogonale sur $W$. Soit $m\in\db{1,n}$.
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Montrer l'équivalence entre :
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1. Il existe $W$ de dimension $m$ tel que $\|p_W(e_i)\|=\|p_W(e_1)\|$
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pour tout $i$.
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2. Pour tout $i$,
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$$\|e_i\|^2\sum_{j=1}^n\|e_j\|^{-2}\geq m.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 382]
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Soit $n\geq2$. Pour $w\in\R^n$, soit $H_w$ la symétrie orthogonale par
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rapport à $(\operatorname{Vect}(w))^\perp$. Montrer que, si $v\neq0$ et
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$e$ est unitaire, alors $H_{v-\|v\|e}(v)=\|v\|e$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 383]
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Soit $E$ un espace euclidien, $v_1,\ldots,v_p$ des vecteurs unitaires et
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$\alpha_1,\ldots,\alpha_p>0$ tels que $\sum_i\alpha_iv_i=0$. Montrer que
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$$\left\|\sum_{i=1}^pv_i\right\|\leq p-2,$$
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||
et que cette inégalité ne peut pas être améliorée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 384]
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Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ et $B\in\R^n$.
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1. Montrer que $\inf_{X\in E}\|X-B\|$ est un minimum, atteint en un
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unique point à expliciter.
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2. Soient $A\in\mathcal{M}_{n,q}(\R)$ et $F\subset\R^q$ un sous-espace.
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Montrer que $\inf_{X\in F}\|AX-B\|$ est atteint. Si le minimum est
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atteint en $X_0$, montrer que l'ensemble des minimiseurs est
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$X_0+\ker A$.
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3. Montrer que $A^TAX=A^TB$ admet une solution et que son ensemble de
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solutions est l'ensemble des minimiseurs de $X\mapsto\|AX-B\|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 385]
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Soient $E,F$ euclidiens et $L\in\mathcal{L}(E,F)$. La restriction de $L$
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à $(\ker L)^\perp$ est un isomorphisme sur $\operatorname{Im}L$.
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||
Notons $M$ cette restriction, $\pi$ le projecteur orthogonal sur
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$\operatorname{Im}L$ et $L^+=M^{-1}\circ\pi$.
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1. Montrer que $L^+L$ est le projecteur orthogonal sur $(\ker L)^\perp$.
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2. Montrer que $LL^+=\pi$.
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||
3. Pour $b\in F$, montrer que $\inf_{x\in E}\|L(x)-b\|$ est atteint
|
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en $L^+(b)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 386]
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||
1. Soit $A\in\mathcal{A}_n(\R)$. Montrer que ses valeurs propres sont
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imaginaires pures.
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||
2. Montrer que $x\mapsto(1-ix)/(1+ix)$ est une bijection de $\R$ sur
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$\mathbb{U}\setminus\{-1\}$.
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||
3. Pour $A\in\mathcal{A}_n(\R)$, poser
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$g(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$. Déterminer l'image de $g$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 387]
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Posons $E_n=\{M\in\mathcal{S}_n^+(\R)\mid\operatorname{Tr}M=1\}$.
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1. Montrer que $E_n$ est convexe.
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2. Montrer que tout projecteur orthogonal de rang $1$ appartient à $E_n$.
|
||
3. Montrer que ces projecteurs sont exactement les matrices de rang $1$
|
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de $E_n$.
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4. Pour $M\in E_n$, montrer l'équivalence entre l'existence d'un
|
||
unitaire $U$ tel que $\langle U,MU\rangle=1$ et le fait que $M$ soit
|
||
un projecteur orthogonal de rang $1$.
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5. Montrer que les points extrémaux de $E_n$ sont exactement ces projecteurs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 388]
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||
Soit $M=(m_{i,j})\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ dont les coefficients sont non
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nuls. On suppose que $N=(1/m_{i,j})$ appartient aussi à $\mathcal{S}_n^+(\R)$.
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||
Montrer que $M$ est de rang $1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 389]
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1. Pour $V\in\R^n\setminus\{0\}$, poser
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$H(V)=I_n-2VV^T/\|V\|^2$. Caractériser géométriquement $H(V)$.
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||
2. Si $e$ est unitaire, montrer que $H(V-\|V\|e)V=\|V\|e$.
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||
3. En déduire un algorithme de décomposition QR de toute matrice
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inversible $A$, avec $Q$ orthogonale et $R$ triangulaire supérieure
|
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à diagonale positive.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 390]
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Soit $\rho\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ telle que $\operatorname{tr}(\rho)=1$.
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Posons $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(\rho A^TB)$ sur
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||
$\mathcal{M}_n(\R)$.
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1. Montrer que cela définit un produit scalaire.
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||
2. Déterminer une base orthonormée contenant $I_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 391]
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||
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ de valeurs propres
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$\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Pour un sous-espace $M$, posons
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$$\mu(M)=\inf\{\langle Au,u\rangle\mid u\in M,\ \|u\|=1\}.$$
|
||
1. Montrer que la borne inférieure est atteinte.
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||
2. Si $G_k$ est l'ensemble des sous-espaces de dimension $k$, montrer que
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||
$$\lambda_k=\max\{\mu(M)\mid M\in G_{n+1-k}\}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 392]
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||
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que, pour tout $X\in\C^n$,
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||
les égalités $X^TAX=0$ et $X^TBX=0$ impliquent $X=0$. Montrer qu'il
|
||
existe $P\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $P^TAP$ et $P^TBP$ soient
|
||
triangulaires supérieures.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 393]
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Soit $E$ un espace vectoriel normé réel et posons
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$$\eta=\sup_{(u,v)\neq(0,0)}
|
||
\frac{\|u+v\|^2+\|u-v\|^2}{2(\|u\|^2+\|v\|^2)}.$$
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||
Montrer que $\eta=1$ si et seulement si la norme est associée à un
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||
produit scalaire.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 394]
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||
On munit $\ell_1(\R)=\{u=(u_n)\mid\sum|u_n|<+\infty\}$ de sa norme
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||
naturelle. Montrer que toute suite de Cauchy de $\ell_1(\R)$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 395]
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||
On note $\ell'_1$ le dual continu de $\ell_1(\R)$, muni de sa norme
|
||
d'opérateur, et $\ell_\infty(\R)$ l'espace des suites bornées. Pour
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||
$v\in\ell_\infty$, poser $F(v)(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$.
|
||
Montrer que $F$ est une isométrie bijective de $\ell_\infty$ sur $\ell'_1$.
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#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 396]
|
||
Soit $V$ un espace vectoriel réel et $T:V\to V$ additive. On suppose $T$
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bornée sur la boule unité. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu
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de $V$. Que peut-on dire de $T$ ?
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#+end_exercice
|
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 397]
|
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Soit $E$ un espace vectoriel normé et $\mathcal{L}_c(E)$ l'espace des
|
||
endomorphismes continus.
|
||
1. Pour $f\in\mathcal{L}_c(E)$, poser
|
||
$N(f)=\sup_{x\neq0}\|f(x)\|/\|x\|$. Montrer que $N(f)$ est définie.
|
||
2. Montrer que $N$ est une norme et que $N(f\circ g)\leq N(f)N(g)$.
|
||
3. Si $f\circ g-g\circ f=\lambda\operatorname{id}$, montrer que
|
||
$\lambda=0$ lorsque $E$ est de dimension finie, puis lorsque $f,g$
|
||
sont continus.
|
||
4. Pour $E=\R[X]$, $f(P)=P'$ et $g(P)=XP$, montrer qu'il n'existe pas
|
||
de norme rendant $f$ et $g$ continus.
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#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 398]
|
||
Soit $F_0=F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.
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||
1. Montrer que tout entier naturel s'écrit comme somme de termes $F_i$
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||
distincts.
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||
2. Montrer que tout entier naturel s'écrit comme somme de puissances de
|
||
$2$ distinctes.
|
||
3. Généraliser à d'autres suites d'entiers.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 399]
|
||
Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2\sum_{k=0}^{n^2}\frac1{k^2+n^2}$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 400]
|
||
Déterminer les réels $x$ qui s'écrivent
|
||
$$x=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_i}{i},\qquad
|
||
\varepsilon_i\in\{0,1\}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 401]
|
||
Déterminer les réels qui s'écrivent
|
||
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_n}{n^2},\qquad
|
||
\varepsilon_n\in\{0,1\}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 402]
|
||
Soient $(c_n)$ une suite bornée d'entiers naturels non nuls et $(t_n)$
|
||
une suite strictement croissante d'entiers, avec $t_0\geq2$. On pose
|
||
$$S=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{c_n}{\prod_{k=0}^nt_k}.$$
|
||
1. Montrer que $S$ est bien définie et irrationnelle.
|
||
2. Que dire si les $c_n$ sont des entiers relatifs non nuls ?
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 403]
|
||
Soit $f\in C^0(\R,\R)$ telle que
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||
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}2.$$
|
||
Montrer que $f$ est convexe.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 404]
|
||
Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f:\R\to\R$ telle que
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||
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)+|x-y|\leq\frac{f(x)+f(y)}2$$
|
||
pour tous $x,y\in\R$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 405]
|
||
Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, avec $f(0)=0$ et $f''(x)>0$ sur
|
||
$]0,1[$.
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||
1. Montrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $f'(\alpha)<f(1)$.
|
||
2. Montrer qu'il existe un unique $\beta\in]\alpha,1[$ tel que
|
||
$f'(\alpha)=f(\beta)/\beta$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 406]
|
||
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f\geq0$ et $f''$ bornée. Montrer que
|
||
$$|f'(x)|\leq\sqrt{2\|f''\|_\infty f(x)}$$
|
||
pour tout $x\in\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 407]
|
||
Montrer que
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$$\sqrt{\frac3\pi+\frac{10\sqrt{10}}{3\cdot6^3\cdot\pi}}\leq1.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 408]
|
||
1. Soient $\varphi\in C^\infty([a,b],\R)$ et $\lambda>0$. On suppose
|
||
$|\varphi'|\geq1$ et $\varphi'$ monotone. Montrer qu'il existe une
|
||
constante universelle $C$ telle que
|
||
$$\left|\int_a^be^{i\lambda\varphi(x)}dx\right|\leq C/\lambda.$$
|
||
2. Pour $k\geq2$, montrer qu'il existe $C_k$ tel que, si
|
||
$|\varphi^{(k)}|\geq1$,
|
||
$$\left|\int_a^be^{i\lambda\varphi(x)}dx\right|\leq C_k\lambda^{-1/k}.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 409]
|
||
Déterminer un équivalent de $\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$
|
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lorsque $x\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 410]
|
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Soient $\alpha,\beta,\gamma\in\R$ avec $\alpha>0$. Étudier la
|
||
convergence et calculer
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||
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha t^2+\beta t+\gamma}\,dt.$$
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 411]
|
||
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f^2$ et $(f'')^2$ soient intégrables.
|
||
Montrer que $(f')^2$ est intégrable et que
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$$\left(\int_\R(f')^2\right)^2\leq
|
||
\left(\int_\R f^2\right)\left(\int_\R(f'')^2\right).$$
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 412]
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||
Soient $f:\C\to\C$ continue et $\gamma:[a,b]\to\C$ continue, $C^1$ par
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morceaux. On définit $\int_\gamma f(z)\,dz$ par paramétrisation.
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1. Si $f$ est développable en série entière et $\gamma(a)=\gamma(b)$,
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montrer que $\int_\gamma f(z)\,dz=0$.
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2. Pour $f(z)=\exp((i-1)z^2)$ et $\gamma_R(t)=Re^{it}$ sur
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$[0,\pi/8]$, montrer que $\int_{\gamma_R}f(z)\,dz\to0$.
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3. Calculer $\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(t^2)dt$ et
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$\int_0^\infty e^{-t^2}\sin(t^2)dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 413]
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1. Si $f:[a,b]\to\R$ est $C^1$, montrer que les intégrales de
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$f(t)\cos(nt)$ et $f(t)\sin(nt)$ tendent vers $0$.
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2. Pour $x\in]0,2\pi[$, montrer que
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$$\sum_{n=1}^N\frac{\sin(nx)}n\longrightarrow\frac{\pi-x}{2}.$$
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3. Montrer que
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$$\sum_{n=1}^N\frac{\sin(nx)}n=
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\int_0^{(N+1/2)x}\frac{\sin y}{y}dy-\frac{x}{2}+o(x)\quad(x\to0).$$
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4. Montrer que le supremum de l'erreur entre la somme et $(\pi-x)/2$
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sur $x\in]0,2\pi[$ et $N\geq1$ est au moins $0,27$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 414]
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1. Calculer $A_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}\cos t\,dt$ et
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$B_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}\sin t\,dt$.
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2. Montrer qu'il existe $f\in C^0(\R_+,\R)$ non nulle telle que
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$\int_0^\infty t^nf(t)dt=0$ pour tout $n\in\N$.
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3. Montrer qu'il n'existe pas de telle fonction non nulle continue sur
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$[0,1]$ avec les intégrales prises sur $[0,1]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 415]
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Soit $f\in C^0(\R,\C)$ limite uniforme d'une suite de fonctions
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polynomiales. Montrer que $f$ est polynomiale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 416]
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Soit $f:\R\to\C$ continue telle qu'il existe $M\geq0$ vérifiant
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$|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq M$ pour tous $x,y\in\R$.
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1. Poser $g_n(x)=f(2^nx)/2^n$. Montrer que $(g_n)$ converge uniformément
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vers une fonction continue $g$.
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2. Montrer que $f$ est somme d'une fonction affine et d'une fonction
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bornée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 417]
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On donne $\sum_{n=1}^\infty1/n^4=\pi^4/90$.
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1. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx$.
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2. Pour $x\in\R$, poser
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$$g(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).$$
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Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2dx$.
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3. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2dx$ et conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 418]
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Quel est le rayon de convergence maximal de $\sum a_nz^n$ lorsque $(a_n)$
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est une suite entière non presque nulle ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 419]
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Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que $\sum a_n$ converge.
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Posons $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. Déterminer
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$\lim_{x\to1^-}f(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 420]
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L'abscisse de convergence de $f$ est
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$\inf\{\alpha\in\R\mid e^{-\alpha t}f(t)\text{ est bornée}\}$.
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Soient $\alpha\in\R$ et $f$ d'abscisse strictement inférieure à $\alpha$.
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Pour $s>\alpha$, poser $L(f)(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$.
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1. Calculer $L(f)$ pour $f(t)=t^n$, $e^t$, $te^t$.
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2. Si $f\in C^n(\R_+)$ et les $f^{(k)}$ ont abscisse de convergence
|
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strictement inférieure à $\alpha$, calculer $L(f^{(n)})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 421]
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Soient
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$$f(x)=\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)^2,\qquad
|
||
g(x)=\int_0^1\frac{e^{-(1+t^2)x^2}}{1+t^2}dt.$$
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1. Montrer que $f$ et $g$ sont $C^1$ et calculer leurs dérivées.
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2. Montrer que $g'=-f'$.
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3. En déduire $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 422]
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||
Soit $f:\R\to\R$ continue et bornée. Pour $t>0$, poser
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$$P_t(f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\frac1{\sqrt{2\pi t}}
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||
e^{-(x-y)^2/(2t)}dy.$$
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1. Montrer que $P_t(f)$ est bien définie.
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2. Montrer que $P_t(f)(x)\to f(x)$ lorsque $t\to0^+$.
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||
3. Si $f\in C^3$ et ses dérivées jusqu'à l'ordre $3$ sont bornées,
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montrer que $(P_t(f)(x)-f(x))/t\to f''(x)/2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 423]
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1. Soit $P\in\C[X]$ sans racine de module $r$. Montrer que
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$$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
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\frac{P'(re^{i\theta})}{P(re^{i\theta})}re^{i\theta}d\theta$$
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||
est le nombre de racines de $P$ de module inférieur à $r$, comptées
|
||
avec multiplicité.
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||
2. Si $|Q(z)|<|P(z)|$ sur le cercle de rayon $r$, montrer que $P$ et
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$P+Q$ ont le même nombre de racines dans le disque de rayon $r$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 424]
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||
Pour $f\in L^1(\R,\C)$, poser
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$$\widehat f(y)=\int_\R f(x)e^{-iyx}\,dx.$$
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||
On admet Plancherel : si $f\in L^1\cap L^2$, alors
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||
$\widehat f\in L^2$ et $\int|\widehat f|^2=2\pi\int|f|^2$.
|
||
Soit $f\in C^1(\R,\C)$ telle que $xf(x),xf'(x)\in L^2$. Poser
|
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$$\Delta_f=\int_\R|xf(x)|^2dx,\qquad c=\int_\R|f(x)|^2dx.$$
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1. Montrer que $f\in L^2$ et $x\mapsto x(f(x))^2\in L^1$.
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||
2. Montrer que $f,f'\in L^1$.
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3. Montrer que $f(x),f'(x)\to0$ lorsque $x\to\pm\infty$.
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4. Montrer que $x(f(x))^2\to0$ lorsque $x\to\pm\infty$.
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5. Montrer que $\widehat{f'}(y)=iy\widehat f(y)$.
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||
6. Montrer que
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$$\sqrt{\Delta_f\Delta_{\widehat f}}\geq
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\sqrt{2\pi}\left|\int_\R xf(x)f'(x)dx\right|.$$
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7. Montrer que $\sqrt{\Delta_f\Delta_{\widehat f}}\geq\sqrt{\pi/2}\,c$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 425]
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Pour $x\in\R$, noter $x_+=\max(x,0)$ et poser
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$$\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}
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\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2e^{i\xi x}dx.$$
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1. Montrer que $\widehat f$ est définie et continue.
|
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2. Pour $N\in\N$, établir
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$$\frac1{N+1}\sum_{k=0}^N\sum_{j=-k}^ke^{ijx}
|
||
=\sum_{j=-N}^N\left(1-\frac{|j|}{N+1}\right)e^{ijx}
|
||
=\frac1{N+1}\left(\frac{\sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
|
||
3. En déduire la formule des coefficients de Fourier de ce noyau de Fejér.
|
||
4. En comparant les noyaux correspondants, montrer que, pour tout $\xi\in\R$,
|
||
$$\widehat f(\xi)=\pi\left(1-\frac{|\xi|}{2}\right)_+.$$
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 426]
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||
Soient
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$$I(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t\sqrt t}\cos(tx)dt,\qquad
|
||
J(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t\sqrt t}\sin(tx)dt.$$
|
||
1. Montrer que $I,J$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$.
|
||
2. Calculer $I$ et $J$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 427]
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||
Soient $f,g\in C^2(\R,\R)$ et
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||
$$W_{f,g}(t)=\det\begin{pmatrix}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{pmatrix}.$$
|
||
Dans les deux premières questions, $f,g$ sont solutions de
|
||
$y''+a(t)y'+b(t)y=0$, où $a,b$ sont continues.
|
||
1. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que
|
||
$$W_{f,g}(t)=C\exp\left(-\int_0^ta(s)ds\right).$$
|
||
2. Montrer que $(f,g)$ est une base de l'espace des solutions si et
|
||
seulement si $W_{f,g}$ ne s'annule pas.
|
||
3. Dans le cas général, si $W_{f,g}$ ne s'annule pas, montrer qu'il
|
||
existe des fonctions continues $a,b$ telles que $f,g$ forment une base
|
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de solutions de cette équation différentielle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 428]
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1. Soient $t_0\in\R$ et $a,y\in C^0([t_0,+\infty[)$ avec $a\geq0$ et
|
||
$$y(t)\leq C+\int_{t_0}^ta(s)y(s)ds.$$
|
||
Montrer que $y(t)\leq C\exp(\int_{t_0}^ta(s)ds)$.
|
||
2. Soit $f:\R\to\R$ lipschitzienne et $y'=f\circ y$. Pour deux
|
||
solutions $y_1,y_2$, montrer qu'il existe $M$ tel que
|
||
$$|y_2(t)-y_1(t)|\leq|y_2(0)-y_1(0)|e^{Mt}\quad(t\geq0).$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 429]
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||
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne. Soient
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$A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\R^n$. Posons
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$$J(X)=\frac12\langle AX,X\rangle-B^TX.$$
|
||
1. Montrer que $J$ est strictement convexe.
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||
2. Montrer que $J(X)\to+\infty$ lorsque $\|X\|\to+\infty$.
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||
3. Montrer que $J$ admet un unique minimum en la solution $X_0$ de $AX=B$.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 430]
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Soit $d_n$ le nombre de dérangements de $\db{1,n}$ et
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$A(x)=\sum_{n\geq0}d_nx^n/n!$.
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||
1. Montrer que $n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}$.
|
||
2. Minorer le rayon de convergence de $A$.
|
||
3. Calculer $e^xA(x)$, puis en déduire une expression de $d_n$.
|
||
4. Quelle est la probabilité qu'une permutation soit un dérangement et
|
||
quelle est sa limite lorsque $n\to\infty$ ?
|
||
5. On répète $n$ fois une expérience de réussite $1/n$. Quelle est la
|
||
probabilité d'au moins une réussite ? Que devient-elle lorsque $n$ croît ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 431]
|
||
Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)$ un vecteur aléatoire et
|
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$A=(\operatorname{Cov}(X_i,X_j))_{i,j}$.
|
||
1. Montrer que $A$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
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||
2. Si $\lambda$ est sa plus grande valeur propre, montrer que
|
||
$$\lambda=\sup_{\|V\|=1}\V(V^TX),$$
|
||
et donner un cas d'égalité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 432]
|
||
1. Soient $H,K\in\mathcal{S}_n(\R)$ commutant et
|
||
$R\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe des variables
|
||
aléatoires réelles $X,Y$ telles que, pour tous $s,t\in\R$,
|
||
$$\E(e^{i(sX+tY)})=\operatorname{Tr}(R e^{i(sH+tK)}).$$
|
||
2. Pour $H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$,
|
||
$K=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $R=I_2/2$,
|
||
montrer que la propriété précédente est fausse.
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#+end_exercice
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* Mines-Ponts MP/MPI :autre:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 433]
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On note $\Q_1=\Q\cap[1,+\infty[$. Pour $r=p/q$ irréductible, on pose
|
||
$$f(r)=\frac{p(p-1)}2+q.$$
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||
1. Montrer que $f$ prend ses valeurs dans $\N^*$ et que $3$ n'a pas
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||
d'antécédent. Que peut-on en déduire ?
|
||
2. Si $f(p/q)=f(p'/q')$, établir
|
||
$(p'-p)(p+p'-1)=2(q-q')$, puis montrer que $f$ est injective.
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||
3. Montrer que $\Q_1$ et $\Q$ sont dénombrables.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 434]
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Majorer asymptotiquement aussi bien que possible l'ordre maximal d'un
|
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élément de $S_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 435]
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Soit $F_0=0,F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.
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1. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$.
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2. Montrer que $F_n\wedge F_{n+1}=1$ pour $n\geq1$.
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3. Montrer que $F_{n+m}=F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_m$ pour $n,m\geq1$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 436]
|
||
Fermat conjecturait que $26$ est le seul entier naturel qui s'écrit à la
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||
fois comme un carré augmenté de $1$ et comme un cube diminué de $1$. On
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||
se propose de le démontrer en étudiant l'équation $y^3=x^2+2$ dans $\Z$.
|
||
1. Montrer que $A=\{a+ib\sqrt2\mid(a,b)\in\Z^2\}$ est un sous-anneau
|
||
de $\C$ et que cette écriture est unique.
|
||
2. Montrer que $A$ est euclidien, puis principal.
|
||
3. Déterminer les inversibles de $A$.
|
||
4. Si $(x,y)$ est solution, montrer que $x+i\sqrt2$ et $x-i\sqrt2$ sont
|
||
premiers entre eux dans $A$, puis en déduire que $x+i\sqrt2$ possède
|
||
une racine cubique dans $A$.
|
||
5. Déterminer les couples $(x,z)\in\Z\times A$ tels que
|
||
$z^3=x+i\sqrt2$, puis conclure pour l'équation initiale.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 437]
|
||
1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
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||
2. Poser $F_n=2^{2^n}+1$. Montrer que
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||
$\prod_{k=0}^{n-1}F_k=F_n-2$, que les $F_n$ sont deux à deux premiers
|
||
entre eux, et conclure.
|
||
3. On suppose les nombres premiers en nombre fini et $p$ maximum. Soit
|
||
$q$ premier divisant $2^p-1$. Montrer que $2$ est d'ordre $p$ modulo
|
||
$q$, puis obtenir une contradiction.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 438]
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||
Le groupe des inversibles de $\Z/n\Z$ est-il cyclique ? On pourra traiter
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||
le cas où $n$ est premier puis une puissance d'un nombre premier.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 439]
|
||
Soit $p$ un nombre premier impair.
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1. Montrer que chaque $k\in\db{1,p-1}$ admet un unique inverse $k'$ modulo $p$.
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2. Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k'\equiv0\pmod p$.
|
||
3. Si $p-1$ divise $m$, montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k^m=-1$ dans $\Z/p\Z$.
|
||
4. Sinon, trouver $a$ tel que $a^m\not\equiv1\pmod p$ et en déduire
|
||
$\sum_{k=1}^{p-1}k^m\equiv0\pmod p$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 440]
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||
Soit $G$ un groupe fini dont tous les éléments non neutres sont d'ordre $2$.
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||
1. Montrer que $G$ est abélien.
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2. Soient $H$ un sous-groupe et $y\in G\setminus H$. Montrer que
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||
$H\cup yH$ est un sous-groupe et que cette union est disjointe.
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||
3. En déduire que $|G|$ est une puissance de $2$.
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||
4. Calculer le produit de tous les éléments de $G$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 441]
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Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal. Posons
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$$R(I)=\{x\in A\mid\exists n\geq1,\ x^n\in I\}.$$
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||
1. Montrer que $R(I)$ est un idéal contenant $I$.
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||
2. Pour des idéaux $I,J$, montrer que $R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ et
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||
$R(I)+R(J)\subset R(I+J)$.
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3. Montrer que $R(n\Z)=n\Z$ si et seulement si $n$ est sans facteur carré.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 442]
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Déterminer les $z\in\C$ tels que les points d'affixes $z,z^2,z^5$ soient
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||
alignés.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 443]
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Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$, avec
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||
$a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n>0$. Montrer que toute racine complexe
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$z$ de $P$ vérifie $|z|\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 444]
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Soient $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\Z[X]$ et
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$M=\max_{0\leq k\leq n}|a_k|/|a_n|$.
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1. Montrer que toute racine $z$ de $P$ vérifie $|z|\leq1+M$.
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||
2. Si $m\in\N$, $m>M+2$ et $P(m)$ est premier, montrer que $P$ est
|
||
irréductible dans $\Z[X]$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 445]
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1. Soient $0<a_0<\cdots<a_n$ et $P=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n$.
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Montrer que toute racine $z$ vérifie $|z|>1$.
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||
2. Si $Q=\sum_{k=0}^nb_kX^k$ a des coefficients strictement positifs,
|
||
montrer que toute racine $z$ vérifie
|
||
$$\min_{0\leq k<n}\frac{b_k}{b_{k+1}}\leq|z|\leq
|
||
\max_{0\leq k<n}\frac{b_k}{b_{k+1}}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 446]
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Soient $a<b$, une subdivision $a=x_0<\cdots<x_n=b$, des réels
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$y_0,\ldots,y_n,z$. Existe-t-il $P\in\R[X]$ tel que
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$P(x_k)=y_k$ pour tout $k$ et $\int_a^bP(t)dt=z$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 447]
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Soient $A,B\in\R[X]$, non tous deux constants. Posons $P=A+iB$ et
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$\overline P=A-iB$. On suppose que les racines de $P$ ont une partie
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imaginaire strictement négative.
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1. Montrer que $|P(z)|=|\overline P(z)|$ si et seulement si $z\in\R$.
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2. En déduire que, pour $(a,b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$,
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$aA+bB$ n'a que des racines réelles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 448]
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Soit $n\geq1$.
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1. Montrer que
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$$X^{2n}-1=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n-1}
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\left(X^2-2X\cos\frac{k\pi}{n}+1\right).$$
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2. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{2n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 449]
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Soient $n\geq1$ et $(a_k)_{0\leq k\leq n}\in K^{n+1}$. Montrer que
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$a_0\neq0$ si et seulement si, pour tout $Q\in K[X]$, il existe un
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unique $P\in K[X]$ tel que
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$$\sum_{k=0}^na_kP^{(k)}=Q.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 450]
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Soit $P\in\R[X]$ de degré $n>0$, scindé à racines simples sur $\R$.
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1. Déterminer la décomposition en éléments simples de $P'/P$.
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2. Montrer que $(P')^2(x)-P(x)P''(x)>0$ pour tout $x\in\R$.
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3. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples sur $\R$.
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||
4. Montrer que $(P^{(k+1)}(0))^2>P^{(k+2)}(0)P^{(k)}(0)$ pour
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$0\leq k<n$.
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5. Si $P=\sum a_kX^k$, montrer que $a_{k+1}^2>a_ka_{k+2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 451]
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Soit $K$ un corps. On appelle pgcd de $P_1,P_2\in K[X]$ un diviseur
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commun de degré maximal.
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1. Montrer qu'un pgcd existe et qu'il existe un unique pgcd unitaire.
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2. Rappeler la division euclidienne et énoncer puis démontrer Bézout.
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3. Montrer que l'algorithme d'Euclide s'applique dans $K[X]$ et calculer
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le pgcd de $X^3-3X^2+1$ et $2X^2-1$.
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||
4. Soient $A,B\in K[X]$, $A$ non constant, $d=\deg A$, et $R_n$ le
|
||
reste de $X^nB$ modulo $A$. Montrer qu'il existe $U_n,V_n$ tels que
|
||
$R_n=U_nA+V_nB$, $\deg R_n<\deg A$, et que $(R_n)$ vérifie une
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||
récurrence linéaire d'ordre au plus $d$. Si $\gcd(A,B)=1$, montrer
|
||
que $(R_n)$ engendre $K_{d-1}[X]$ et que $(R_0,\ldots,R_{d-1})$ en
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est une base.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 452]
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Un complexe est un entier algébrique s'il annule un polynôme unitaire
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de $\Z[X]$. Soient $a,b$ deux entiers algébriques.
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1. Montrer que $\operatorname{Vect}_{\Q}\{a^kb^\ell\mid k,\ell\in\N\}$
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est de dimension finie.
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2. Si $P,Q$ sont les polynômes minimaux unitaires entiers de $a,b$, la
|
||
famille $(a^kb^\ell)_{0\leq k<\deg P,\ 0\leq\ell<\deg Q}$ est-elle
|
||
toujours libre ?
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||
3. Si elle est libre, montrer que $a+b$ et $ab$ sont des entiers
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algébriques.
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4. Établir le même résultat dans le cas général.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 453]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ nilpotente de rang $n-1$. Montrer qu'elle
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est semblable à la matrice ayant des $1$ sur la surdiagonale et des $0$
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ailleurs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 454]
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Trouver les $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telles que
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$$M^3+2M=\begin{pmatrix}3&5\\0&-12\end{pmatrix}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 455]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale
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$D$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit
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inversible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 456]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que
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$$\operatorname{tr}((A+B)^k)=\operatorname{tr}(A^k)+\operatorname{tr}(B^k)$$
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pour tout $k\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 457]
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Soient $z\in\C^*$ et $M=(z^{|p-q|})_{1\leq p,q\leq n}$. Donner une
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condition sur $z$ pour que $M$ soit inversible et déterminer alors $M^{-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 458]
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Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie.
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1. Montrer que deux sous-espaces de même dimension ont un supplémentaire
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commun.
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2. Soit $K$ un sous-groupe fini de $\operatorname{GL}(E)$ et $F$ stable
|
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par tous ses éléments. Montrer que $F$ possède un supplémentaire
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stable par $K$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 459]
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1. Soit $J_n$ la matrice nulle sur la diagonale et égale à $1$ ailleurs.
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Pour $n\geq2$, poser $A_n=\operatorname{diag}(J_2,J_{n-2})$.
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||
Calculer $\det J_n$ et $\det A_n$.
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||
2. Soit $M\in\mathcal{S}_n$ telle que $m_{ii}=0$ et $m_{ij}>0$ si
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$i\neq j$. $M$ est-elle nécessairement inversible ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 460]
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1. Soit $P=X^2+aX+b\in\C[X]$ de racines $x_1,x_2$. Poser
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$N_1=x_1+x_2$, $N_2=x_1^2+x_2^2$. Calculer
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||
$\det\begin{pmatrix}2&N_1\\N_1&N_2\end{pmatrix}$.
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||
2. Pour $P=X^3+pX+q$ de racines $x_1,x_2,x_3$, poser
|
||
$N_k=\sum_i x_i^k$. Calculer $\det(N_{i+j})_{1\leq i,j\leq3}$.
|
||
3. Pour un polynôme unitaire $P$ de degré $n$ et ses racines
|
||
$x_1,\ldots,x_n$, poser $N_0=n$, $N_k=\sum_ix_i^k$. Relier
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$\det(N_{i+j})_{0\leq i,j<n}$ au déterminant de Vandermonde des racines.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 461]
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Soient $E$ de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que
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$\ker(u^3)=\operatorname{Im}(u^2)$. Montrer que
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$\operatorname{Im}(u)=\ker(u^4)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 462]
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Soient $E$ de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$. Déterminer une
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condition nécessaire et suffisante sur $u$ pour qu'il existe
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$v\in\mathcal{L}(E)$ tel que $u\circ v=0$ et $u+v$ soit inversible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 463]
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Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u\in\mathcal{L}(E)$.
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1. Si $E$ est de dimension finie, montrer l'équivalence entre
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$\ker u=\ker u^2$, $\operatorname{Im}u=\operatorname{Im}u^2$ et
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$E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u$.
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2. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
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3. Montrer que $E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u$ équivaut à
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||
$\ker u=\ker u^2$ et $\operatorname{Im}u=\operatorname{Im}u^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 464]
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Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$
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tel que $u^m=\operatorname{id}$. Montrer que
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$$\frac1m\sum_{k=0}^{m-1}u^k$$
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est un projecteur et que
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$$\frac1m\sum_{k=0}^{m-1}\operatorname{tr}(u^k)
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=\dim\ker(u-\operatorname{id}).$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 465]
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||
Soient $E$ de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. Soit $G$ l'ensemble
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des $u$ tels que $uf=fu$, $u^2f=u$ et $f^{p+1}u=f$ pour un certain $p\in\N$.
|
||
1. Montrer que, pour tout $u\in G$, la suite $(u^{k+1}f^k)_{k\in\N}$ est
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||
constante.
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2. Pour $a,b\in G$, considérer $afb$ et montrer que $a=b$.
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||
3. À quelle condition $G$ est-il non vide ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 466]
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Soient $n\in\N$, $(a_k)_{1\leq k\leq n+1}\in\R^{n+1}$ et
|
||
$P\in\R_n[X]$. Déterminer le rang de la matrice
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||
$(P^{(i-1)}(a_j))_{1\leq i,j\leq n+1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 467]
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||
Soient $n\geq1$, $a_1,\ldots,a_n\in K$ et
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||
$P_1,\ldots,P_n\in K_{n-1}[X]$. Posons
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$M=(P_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}$. Déterminer $\operatorname{rg}(M)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 468]
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||
Soient $A,B\in K[X]$ avec $\deg A=m$, $\deg B\leq n$. On pose
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$$\varphi:(U,V)\in K_{n-1}[X]\times K_{m-1}[X]\mapsto AU+BV
|
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\in K_{m+n-1}[X].$$
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1. Montrer que $\varphi$ est bien définie et linéaire.
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2. Décrire son noyau et son image en fonction de $D=\gcd(A,B)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 469]
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Soient $A,B\in K[X]$, $D=\gcd(A,B)$, $E$ de dimension finie et
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$f\in\mathcal{L}(E)$.
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1. Montrer que $\ker A(f)\cap\ker B(f)=\ker D(f)$ et
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$\operatorname{Im}A(f)+\operatorname{Im}B(f)=\operatorname{Im}D(f)$.
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||
2. Existe-t-il des relations analogues avec le ppcm ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 470]
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Soit $E=\{M\in\mathcal{M}_3(\C)\mid\operatorname{rg}M<3\}$.
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1. Pour $M_1,M_2\in\operatorname{GL}_3(\C)$, montrer que
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||
$[M_1,M_2]\cap E$ est fini et de cardinal au plus $3$.
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2. Pour chaque $m\in\{0,1,2,3\}$, donner $M_1,M_2$ tels que
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||
$|[M_1,M_2]\cap E|=m$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 471]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$ commutant.
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1. Montrer que $\det(A^2+B^2)\geq0$, puis que
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$\det(A^{2k}+B^{2k})\geq0$ pour tout $k\geq1$.
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||
2. Si $\det(A+B)\geq0$, montrer que
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||
$\det(A^{2k+1}+B^{2k+1})\geq0$ pour tout $k\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 472]
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||
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$ tel que
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$F\setminus\{0\}\subset\operatorname{GL}_n(\R)$.
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1. Montrer que $\dim F\leq n$.
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2. Si $n$ est impair, montrer que $\dim F\leq1$.
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3. Donner un cas d'égalité dans la première question pour $n=2$ ou $4$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 473]
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Soit
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$$E=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid\exists P\in\operatorname{GL}_n(\C),+\forall z\in\C,\ P-zM\in\operatorname{GL}_n(\C)\}.$$
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||
1. Montrer que $E$ ne contient aucune matrice inversible.
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||
2. Décrire $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 474]
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Soit $A$ une partie finie non vide de $\operatorname{GL}_n(\Z)$ stable
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par produit. Posons $S=\sum_{M\in A}M$. Montrer que $|A|$ divise
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$\operatorname{Tr}(S)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 475]
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Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$. Pour $a\in\R$, poser $f_a(x)=f(x+a)$,
|
||
et $F_f=\operatorname{Vect}(f_a)_{a\in\R}$.
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1. Donner un exemple non nul où $F_f$ est de dimension finie et préciser
|
||
cette dimension.
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2. Montrer que si $F_f$ est de dimension finie, alors $F_{f'}$ l'est aussi.
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3. Déterminer les fonctions $f$ telles que $\dim F_f=1$, puis $2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 476]
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Caractériser les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que, pour toute
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matrice nilpotente $N$, $AN$ soit nilpotente.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 477]
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||
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A,B,A+B$ soient
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||
nilpotentes. Montrer que $\operatorname{tr}(AB)=0$.
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||
2. Pour un sous-espace $F\subset\mathcal{M}_n(K)$ de base
|
||
$(A_1,\ldots,A_p)$, poser
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$F^\perp=\{B\mid\operatorname{Tr}(AB)=0\ \forall A\in F\}$.
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||
Montrer que l'application $B\mapsto(\operatorname{Tr}(A_iB))_i$
|
||
est surjective et que $\dim F^\perp=n^2-\dim F$.
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||
3. Si $G$ ne contient que des matrices nilpotentes, donner un exemple
|
||
de dimension $n(n-1)/2$ et montrer que, en général,
|
||
$\dim G\leq n(n-1)/2$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 478]
|
||
On considère une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
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$\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$.
|
||
1. Montrer qu'une telle norme existe et que $\|B^k\|\leq\|B\|^k$.
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Que dire pour $k=0$ ?
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2. Si $AB-BA=B$, montrer que $AB^m-B^mA=mB^m$ pour $m\geq1$,
|
||
puis en déduire que $B$ est nilpotente.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 479]
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||
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que leurs polynômes
|
||
caractéristiques sont égaux si et seulement si
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$\operatorname{Tr}(A^k)=\operatorname{Tr}(B^k)$ pour
|
||
$0\leq k\leq2n-1$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 480]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'il existe $P,Q$ inversibles
|
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tels que $Q^{-1}AP$ et $Q^{-1}BP$ soient triangulaires supérieures.
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#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 481]
|
||
Soient $a,b,c\in\R$ et
|
||
$$A=\begin{pmatrix}0&-b&a\\b&0&-c\\-a&c&0\end{pmatrix}.$$
|
||
Montrer qu'il existe $d\in\R$ tel que $A^3+dA=0$, déterminer $d$ et
|
||
calculer $A^{2n}$.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 482]
|
||
1. Montrer que $A\in\mathcal{M}_n(K)$ est de rang $r$ si et seulement si
|
||
elle est équivalente à $J_r=\operatorname{diag}(I_r,0)$.
|
||
2. En déduire que, pour $A,B\in\mathcal{M}_n(K)$,
|
||
$\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 483]
|
||
Soit $T:P\in\R_n[X]\mapsto(1-X)^nP(X/(X-1))$. Montrer que $T$ est un
|
||
endomorphisme. Est-il diagonalisable ?
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||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 484]
|
||
Soit $n\geq1$. Pour $P\in\R_n[X]$, définissons $T(P)$ par
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||
$$T(P)(x)=\frac1x\int_0^xP(t)dt\quad(x>0).$$
|
||
1. Montrer que $T$ définit un endomorphisme de $\R_n[X]$.
|
||
2. Déterminer ses éléments propres.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 485]
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Soient $E=\C^\N$ et $F$ le sous-espace des suites convergentes. Pour
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||
$u\in E$, poser $\varphi(u)_n=2^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk u_k$.
|
||
1. Déterminer les éléments propres de $\varphi$.
|
||
2. Montrer que $F$ est stable et déterminer les valeurs propres de
|
||
l'endomorphisme induit.
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 486]
|
||
Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ définie par
|
||
$a_{i,j}=(n-1)i+j$.
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||
1. Calculer $\operatorname{rg}(A)$.
|
||
2. $A$ est-elle diagonalisable ?
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 487]
|
||
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ tels que $AB-BA=B$. Montrer que
|
||
$B$ est nilpotente.
|
||
2. Si $AB-BA=\lambda A+\mu B$, montrer que $A,B$ possèdent un vecteur
|
||
propre commun, puis sont cotrigonalisables.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 488]
|
||
Soit $n\geq3$ et $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
|
||
$a_{i,1}=a_{i,n}=1$ pour tout $i$, les autres coefficients étant nuls.
|
||
Montrer que $A$ est diagonalisable et la diagonaliser.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 489]
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||
Posons $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ et
|
||
$$B=\begin{pmatrix}0&0&A\\A&0&0\\0&A&0\end{pmatrix}.$$
|
||
Déterminer les éléments propres complexes de $B$. Est-elle diagonalisable ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 490]
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||
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{tr}(A^i)=0$ pour
|
||
$1\leq i<n$ et $\operatorname{tr}(A^n)\neq0$. Montrer que $A$ est
|
||
diagonalisable.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 491]
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Pour $a\in\Z$, poser
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$$S_a=\begin{pmatrix}1&a\\0&-1\end{pmatrix},\qquad
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T_a=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}.$$
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||
1. Rappeler le lien entre inverse et comatrice.
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||
2. Montrer que $\operatorname{GL}_2(\Z)$ est un groupe et que
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||
$S_a,T_a\in\operatorname{GL}_2(\Z)$.
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3. Calculer $T_bS_aT_b^{-1}$.
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4. Si $M\in\mathcal{M}_2(\Z)$ a pour polynôme caractéristique $X^2-1$,
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||
montrer qu'il existe $P\in\operatorname{GL}_2(\Z)$ tel que
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$M=PS_0P^{-1}$ ou $M=PS_1P^{-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 492]
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Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que $M^2+M^T=I_n$.
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1. Montrer que $0\in\operatorname{Sp}(M)$ si et seulement si
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$1\in\operatorname{Sp}(M)$.
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2. Montrer que $M$ est diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 493]
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Soit $(e_i)$ la base canonique de $\R^n$ et $S_n$ le groupe des
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permutations. Pour $\sigma\in S_n$, soit $P_\sigma e_i=e_{\sigma(i)}$.
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1. Montrer que $\sigma\mapsto P_\sigma$ est un morphisme injectif.
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2. Pour le cycle $(1\cdots n)$, expliciter $P_\sigma$ et calculer son
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||
polynôme caractéristique.
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3. Pour une matrice diagonale par blocs $M=\operatorname{diag}(A,B)$,
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établir la multilinéarité et l'alternance du déterminant par rapport
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aux colonnes de $A$, puis en déduire $\det M=\det A\det B$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 494]
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Soient $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$.
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1. Si $\chi_f=\prod_{k=1}^r(X-\lambda_k)^{n_k}$ avec $\lambda_k$
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distincts et $F_k=\ker(f-\lambda_k\operatorname{id})^{n_k}$,
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montrer que $E=\bigoplus_kF_k$.
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2. Si $u$ est nilpotent sur un espace $V$ de dimension $p$ avec
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||
$u^{p-1}\neq0$, montrer qu'il existe une base où sa matrice est un
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||
bloc de Jordan et en déduire que le nombre de sous-espaces stables
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par $u$ est fini.
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3. Si tous les $F_k$ sont de dimension $1$, montrer que $f$ n'a qu'un
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||
nombre fini de sous-espaces stables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 495]
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Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$
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tel que $f^2=-\operatorname{id}$.
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1. Montrer que $\dim E$ est paire.
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2. Déterminer les polynômes minimal et caractéristique de $f$.
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3. Pour $a\neq0$, montrer que $(a,f(a))$ est libre et poser
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$F(a)=\operatorname{Vect}(a,f(a))$.
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||
4. Montrer que $E$ est somme directe de tels plans.
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5. En déduire qu'il existe une base où la matrice de $f$ est diagonale
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par blocs égaux à $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 496]
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Soient $E$ un espace vectoriel complexe de dimension $n$ et $f\in\mathcal{L}(E)$.
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||
S'il existe $k\geq2$ tel que $f^k$ soit un projecteur, montrer que $f$ est
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diagonalisable si et seulement si $\operatorname{rg}(f)=\operatorname{rg}(f^k)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 497]
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||
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^3-A=I_n$. On suppose
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$\operatorname{tr}(A)\in\Q$. Montrer que $n$ est divisible par $3$ et
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déterminer $\det A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 498]
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Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie.
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Montrer que les éléments nilpotents de $\C[u]$ forment un sous-espace
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vectoriel et déterminer sa dimension en fonction du degré du polynôme
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minimal de $u$ et du nombre de valeurs propres de $u$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 499]
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||
Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ unitaire de degré $n\geq1$, de
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||
racines $r_1,\ldots,r_n$ avec multiplicités. Poser
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||
$S_k=\sum_{i=1}^nr_i^k$ et $C$ la matrice compagnon de $P$.
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1. Déterminer $\chi_C$ et le polynôme minimal de $C$.
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||
2. Pour $\ell\geq0$, calculer $\sum_{k=0}^na_kS_{k+\ell}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 500]
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Soient $E$ réel de dimension $n\geq2$ et $u\in\mathcal{L}(E)$.
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1. Exprimer les coefficients de $X^{n-1}$ et $X^{n-2}$ dans $\chi_u$
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avec $\operatorname{Tr}(u)$ et $\operatorname{Tr}(u^2)$.
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||
2. Si $u$ est de rang $2$, montrer que $\chi_u=X^{n-2}P(X)$ pour un
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||
polynôme $P$ de degré $2$, dont on déterminera les coefficients.
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||
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $u$ soit
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trigonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 501]
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Soit $E$ complexe de dimension $n\geq2$ et $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels
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que $fg-gf=f$.
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1. Montrer que $f$ est nilpotent.
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||
2. Si $\dim\ker f=1$, déterminer l'indice de nilpotence de $f$ et
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||
montrer qu'il existe une base où $f$ est un bloc de Jordan et
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||
$g=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda+1,\ldots,\lambda+n-1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 502]
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On considère l'équation matricielle $M^3-2M^2+M=0$.
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Quelles sont les traces possibles des solutions $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ ?
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Déterminer le nombre de classes de similitude dans l'ensemble des solutions.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 503]
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Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ tels que
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$\pi_A(X^2)=\pi_A(X)\pi_A(X-1)$.
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1. Montrer que $n$ est pair.
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2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit
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semblable à une matrice diagonale par blocs de tailles $1$ ou $2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 504]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ et
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$F=\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid AMA=0\}$. Calculer $\dim F$ lorsque
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$A$ est diagonalisable, puis dans le cas général.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 505]
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Soit $P\in\R[X]\setminus\{0\}$ de degré au moins $2$ et
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$f:M\mapsto P(M)$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
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1. Si $\deg P$ est pair, $f$ est-elle surjective ?
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2. Même question si $\deg P=3$, puis si $\deg P$ est impair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 506]
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Trouver les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $PA$ soit
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diagonalisable pour toute matrice $P\in\operatorname{GL}_n(\C)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 507]
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Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $a_{i,j}\geq0$ et
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$\sum_{j=1}^na_{i,j}=1$ pour tout $i$.
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1. Montrer que les valeurs propres complexes de $A$ sont de module au
|
||
plus $1$.
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2. Si $|\lambda|=1$ est une valeur propre, montrer que
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||
$\ker(A-\lambda I_n)=\ker((A-\lambda I_n)^2)$.
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3. Si tous les coefficients sont strictement positifs, montrer que la
|
||
seule valeur propre de module $1$ est $1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 508]
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1. Si $n\geq2$ et $N\in\mathcal{M}_n(\C)$ est nilpotente, montrer qu'il
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||
existe $B$ telle que $B^2=I_n+N$.
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2. En déduire que toute matrice inversible complexe admet une racine
|
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carrée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 509]
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||
1. Déterminer l'inverse de $\begin{pmatrix}I_n&M\\0&I_n\end{pmatrix}$.
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||
2. Soient $A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)$, $A,B$ diagonalisables et
|
||
$\operatorname{Sp}(A)\cap\operatorname{Sp}(B)=\varnothing$. Montrer
|
||
que $\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}$ est semblable à
|
||
$\operatorname{diag}(A,B)$.
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||
3. Que devient le résultat sans diagonalisation de $A,B$ ?
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||
4. Que devient-il si les spectres ont une intersection non vide ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 510]
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Soient $n\geq2$ et $G$ un sous-groupe de $\operatorname{GL}_n(\C)$ tel
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qu'il existe $N\geq1$ avec $A^N=I_n$ pour tout $A\in G$.
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1. Montrer que tous les éléments de $G$ sont diagonalisables.
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2. Soit $(M_i)$ une base de $\operatorname{Vect}(G)$ formée d'éléments
|
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de $G$ et $f(A)=(\operatorname{tr}(AM_i))_i$. Si $f(A)=f(B)$,
|
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poser $C=AB^{-1}$ et montrer que $\operatorname{tr}(C^k)=n$ pour
|
||
tout $k$, puis que $C-I_n$ est nilpotente.
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3. Montrer que $G$ est fini.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 511]
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Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel et $f\in\mathcal{L}(E)$
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annulé par un polynôme dont $0$ est racine simple.
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1. Montrer que $E=\ker f+\operatorname{Im}f$.
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On suppose ensuite $K=\C$ et $\dim E=n<+\infty$.
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2. Si $g\circ f=0$, montrer que $f,g$ sont cotrigonalisables.
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||
3. Montrer que toute famille finie d'endomorphismes commutants est
|
||
cotrigonalisable.
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||
4. Si $f_1,\ldots,f_n$ sont nilpotents et commutent, calculer
|
||
$f_1\circ\cdots\circ f_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 512]
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Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que
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$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^2)$ si et seulement si
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$a\mapsto a(A+aI_n)^{-1}$ admet une limite finie lorsque $a\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 513]
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||
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $\Phi_A:M\mapsto AM-MA$. À quelle
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condition $\Phi_A$ est-il diagonalisable ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 514]
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Soient $A\in\mathcal{M}_n(\R)\setminus\{0\}$ et
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||
$B\in\operatorname{GL}_n(\R)$. Étudier les éléments propres et la
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||
diagonalisabilité des endomorphismes
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$$f(M)=\operatorname{tr}(A)M-\operatorname{tr}(M)A,\qquad
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g(M)=\operatorname{tr}(A)BM-\operatorname{tr}(BM)A.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 515]
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Soient $n\geq1$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Posons
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$\Phi_A(M)=AM$ et $\Psi_B(M)=MB$.
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1. Déterminer leurs polynômes minimaux et la condition de
|
||
diagonalisabilité.
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2. Lorsque cette condition est satisfaite, montrer qu'il existe une base
|
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de matrices de rang $1$ dans laquelle les deux endomorphismes sont
|
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diagonaux.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 516]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$. Poser
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$X=A-B$.
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1. Montrer que $X^kB-BX^k=kX^{k+1}$ pour tout $k\geq1$.
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||
2. En déduire que $X$ est nilpotente.
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||
3. $A$ et $B$ sont-elles cotrigonalisables ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 517]
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||
Soit $n\geq2$. Déterminer, selon la parité de $n$, les $P\in\R[X]$ tels
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||
que, pour toute $M\in\mathcal{M}_n(\R)$, $P(M)=0$ implique $\det M=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 518]
|
||
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^k\to B$.
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||
1. Montrer que $B$ est un projecteur commutant avec $A$ et expliciter
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son noyau et son image.
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2. Montrer que $\operatorname{Sp}_\C(A)\subset\{|z|<1\}\cup\{1\}$.
|
||
3. Si $1\notin\operatorname{Sp}_\C(A)$, montrer que $B=0$.
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||
4. Montrer que la multiplicité de $1$ dans $\chi_A$ vaut
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||
$\dim\ker(A-I_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 519]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et
|
||
seulement si $\exp(A)$ est diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 520]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $P=\prod_{i=1}^q(X-\lambda_i)$ où les
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||
$\lambda_i$ sont ses valeurs propres distinctes.
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1. Montrer qu'il existe $R,S\in\C[X]$ tels que $RP+SP'=1$.
|
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2. Poser $A_0=A$ et $A_{k+1}=A_k-P(A_k)S(A_k)$. Montrer qu'il existe
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||
$C_k\in\C[A]$ tel que $A_k=P(A)^{2^k}C_k$, puis qu'un certain $A_p$
|
||
est diagonalisable.
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3. En déduire que $A=D+N$ avec $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 521]
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Soient $K$ un corps, $E$ de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$.
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||
Pour $x\in E$, poser $I_x=\{P\in K[X]\mid P(f)(x)=0\}$.
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1. Montrer que $I_x$ est un idéal principal.
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||
2. Si le polynôme minimal est $P^\alpha$ avec $P$ unitaire irréductible,
|
||
montrer qu'il existe $x$ tel que $I_x=(\pi_f)$.
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||
3. Montrer que $\deg\pi_f=n$ si et seulement s'il existe $x$ tel que
|
||
$(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ soit libre.
|
||
4. Étudier le cas général.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 522]
|
||
Soit $M=(m_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
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||
$$|\det M|\leq\prod_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^nm_{i,j}^2\right)^{1/2}.$$
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 523]
|
||
Soit $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ nilpotente non nulle. Déterminer l'image
|
||
de $\varphi:X\in\R^n\mapsto X^TMX$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 524]
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||
1. Montrer que
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||
$$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
|
||
définit un produit scalaire sur $\R[X]$.
|
||
2. Montrer qu'il existe une unique suite $(T_n)$ telle que
|
||
$T_n(\cos x)=\cos(nx)$, puis déterminer degré et coefficient dominant.
|
||
3. Pour $U_n[X]$ les polynômes unitaires de degré $n$, calculer
|
||
$\min_{P\in U_n[X]}\int_{-1}^1P(t)^2/\sqrt{1-t^2}\,dt$.
|
||
4. Que dire de la factorisation réelle de $T_n$ ?
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 525]
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||
Soient $E=\R_n[X]$ et $a_0,\ldots,a_n\in\R$. Montrer que
|
||
$$\varphi(P,Q)=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(a_k)Q^{(k)}(a_k)$$
|
||
est un produit scalaire sur $E$. Montrer qu'il existe une unique base
|
||
orthonormée échelonnée en degré et à coefficients dominants positifs.
|
||
La déterminer lorsque tous les $a_k$ sont égaux.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 526]
|
||
Soit $E=\R_n[X]$ muni du produit scalaire
|
||
$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$. Calculer
|
||
$$\inf_{a,b,c\in\R}\int_{-1}^1(t^3-(at^2+bt+c))^2dt.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 527]
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||
Soit $E=\R[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$.
|
||
Pour $n\geq1$, calculer la distance $\pi_n$ de $X^n/\|X^n\|$ au
|
||
sous-espace $\R_{n-1}[X]$, puis un équivalent de $\pi_n$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 528]
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||
Soit $n\geq2$ et $f_{i,j}(x)=x_ix_j$ sur $\R^n$.
|
||
1. Montrer que $\dim\operatorname{Vect}(f_{i,j})=n(n+1)/2$.
|
||
2. Soient $m\geq2$, $\alpha\in[0,1[$, $\varepsilon>0$ et des unitaires
|
||
$u_1,\ldots,u_m\in\R^n$ tels que
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||
$|\langle u_i,u_j\rangle^2-\alpha^2|<\varepsilon^2$ pour $i\neq j$.
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||
Poser $G(x,y)=\langle x,y\rangle^2-\alpha^2\|x\|^2\|y\|^2$.
|
||
Montrer que, pour $\varepsilon$ assez petit, $(G(u_i,u_j))$ est
|
||
inversible et $m\leq n(n+1)/2$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 529]
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||
Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien
|
||
réel. Montrer qu'il existe $\varepsilon_i\in\{-1,1\}$ tels que
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||
$$\left\|\sum_{i=1}^n\varepsilon_iv_i\right\|\leq\sqrt n.$$
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 530]
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Soit $E$ euclidien. Déterminer les $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que
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||
$u(V^\perp)=u(V)^\perp$ pour tout sous-espace vectoriel $V$ de $E$.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 531]
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Soit $E$ euclidien et $f:E\to E$ telle que $f(0)=0$ et
|
||
$\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$.
|
||
1. Que peut-on dire de $f$ ?
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||
2. Étudier la convergence de $u_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f^k$.
|
||
3. Que se passe-t-il si $f$ est linéaire et $\|f(x)\|\leq\|x\|$ ?
|
||
4. Que devient l'exercice dans un espace préhilbertien ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 532]
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||
Soient $E$ euclidien et $f\in\mathcal{L}(E)$ telle que
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||
$\|f(x)\|\leq\|x\|$.
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||
1. Montrer que $f(x)=x$ implique $f^*(x)=x$.
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||
2. Montrer que $\operatorname{Im}(f-\operatorname{id})\oplus
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||
\ker(f-\operatorname{id})=E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 533]
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Soient $E$ euclidien non nul et $u\in\mathcal{L}(E)$. Caractériser les
|
||
$v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $\|v(x)\|=\|u(x)\|$ pour tout $x\in E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 534]
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Soit $E=\mathcal{M}_n(\R)$ muni de $\langle U,V\rangle=\operatorname{Tr}(UV^T)$.
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Pour $A\in E$, poser $T_A(M)=AM-MA$.
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1. Montrer que $\operatorname{Im}(T_A)^\perp=\{M\mid A^TM=MA^T\}$.
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2. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $A\in\operatorname{Im}(T_A)$.
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3. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si elle est semblable à $2A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 535]
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Soient $E$ euclidien, $V$ l'ensemble de ses sous-espaces et $x\in E$.
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Pour $W\in V$, soit $\pi_W$ la projection orthogonale sur $W$.
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Déterminer $\{\pi_W(x)\mid W\in V\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 536]
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Déterminer les $P\in\R[X]$ tels que, pour tout $n\geq1$,
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$P(\mathcal{A}_n(\R))\subset\mathcal{A}_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 537]
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Déterminer les matrices $M\in\mathcal{A}_n(\R)$ telles que
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$\operatorname{Sp}_\C(M)\subset\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 538]
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Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{A}_n(\R)\setminus\{0\}$. Montrer
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que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs
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diagonaux non nuls sont de taille $2\times2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 539]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre $A$ antisymétrique
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et $P^{-1}AP$ à diagonale nulle pour toute $P\in O_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 540]
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Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$. Discuter le nombre de matrices
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$B\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $B^2=A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 541]
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Déterminer les $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telles que $M^2=M^T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 542]
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1. Soient $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $p\geq1$ tels que
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$(M+M^T)^p=0$. Montrer que $M$ est antisymétrique.
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2. Trouver $M\in\mathcal{M}_2(\C)$ telle que $(M+M^T)^2=0$ mais
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$M+M^T\neq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 543]
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Déterminer toutes les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que
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$A+A^T=A^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 544]
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Soient $A,B\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ non colinéaires et
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$M=AB^T+BA^T$.
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1. Justifier que $M$ est diagonalisable.
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2. Calculer $\operatorname{rg}M$.
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3. Expliciter ses éléments propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 545]
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Soient $A,B\in\mathcal{S}_n(\Q)$ telles que
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$\operatorname{rg}(A+tB)<n$ pour tout $t\in\R$. Montrer qu'il existe
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$X\in\Q^n\setminus\{0\}$ tel que $X^TAX=X^TBX=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 546]
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Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ sans coefficient nul. Posons
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$B=(1/a_{i,j})$. À quelle condition $B\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 547]
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Soit $n$ impair, $A,B\in\mathcal{S}_n(\R)$ et
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$C(A)=\{M\mid AM=MA\}$. Montrer que
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$C(A)\cap C(B)=\operatorname{Vect}(I_n)$ si et seulement s'il n'existe
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pas de sous-espaces non nuls $F,G$ stables par $A,B$ tels que
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$F\oplus G=\R^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 548]
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On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique.
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1. Si $AA^T=A^TA$ et $F$ est stable par $A$, montrer que $F^\perp$ est
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stable par $A$.
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2. Si $A\in\mathcal{M}_3(\R)$ vérifie $AA^T=A^TA$, montrer que $A$ est
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diagonalisable ou orthosemblable à
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$\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\alpha&-\beta\\0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 549]
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Posons $C_n=\{A\in\mathcal{M}_n(\R)\mid A^TA=\lambda I_n\text{ pour un }\lambda\in\R\}$.
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Soit $d_n$ la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel inclus dans $C_n$.
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Déterminer $d_1,d_2,d_3$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 550]
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Soit $n\geq2$, $V_n=\operatorname{Vect}(\operatorname{SO}_n(\R))$ et
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munissons $\mathcal{M}_n(\R)$ de son produit scalaire canonique.
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1. Déterminer $V_2$.
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2. Montrer que $e^A\in\operatorname{SO}_n(\R)$ pour toute matrice
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antisymétrique $A$.
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3. En déduire que $V_n^\perp\subset\mathcal{A}_n(\R)^\perp$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 551]
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Soit $f:\mathcal{M}_n(\R)\to\R_+^*$ continue. Pour
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$A\in\mathcal{A}_n(\R)$, montrer que $\inf_{x\in\R}f(\exp(xA))>0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 552]
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Soit $n\geq2$ et
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$U_n=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid M^T=M\}$.
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1. Montrer que si $M\in U_n$, ses valeurs propres sont réelles.
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2. Pour $M=(m_{k,j})$ définie par $m_{k,j}=i$ si $k<j$,
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||
$m_{k,j}=-i$ si $k>j$ et diagonale nulle, montrer que $M$ est
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diagonalisable et déterminer valeurs propres et vecteurs propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 553]
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Posons $\Omega=\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid I_n+M\text{ est inversible}\}$.
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1. Montrer que $O_n(\R)$ est un groupe.
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2. Montrer que $\mathcal{A}_n(\R)\subset\Omega$ et
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$\mathcal{A}_n(\R)\neq\Omega$.
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3. Pour $M\in\Omega$, poser $f(M)=(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$. Si
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||
$M\in O_n(\R)\cap\Omega$, montrer que $f(M)$ est antisymétrique et
|
||
$f(f(M))=M$.
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4. Pour $M\in O_n(\R)$, montrer qu'il existe une diagonale $J$ à
|
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coefficients dans $[-1,1]$ telle que $\det(M+J)=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 554]
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Soient $p\geq2$, $A\in\mathcal{S}_p^{++}(\R)$, $b\in\R^p$ et $\alpha>0$.
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Posons $a=A^{-1}b$ et $x_{n+1}=x_n+\alpha(b-Ax_n)$. Pour quelles
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valeurs de $\alpha$ la suite converge pour tout $x_0$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 555]
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Soient $A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mathcal{S}_n(\R)$.
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||
1. Montrer qu'il existe $P\in\operatorname{GL}_n(\R)$ et diagonale $D$
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telles que $A=P^TP$ et $B=P^TDP$.
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2. Si $B$ est définie positive et $\alpha,\beta\geq0$ avec
|
||
$\alpha+\beta=1$, montrer que
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$$\det(\alpha A+\beta B)\geq\det(A)^\alpha\det(B)^\beta.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 556]
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||
Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$.
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1. Montrer que $\ker(A^TA)=\ker A$, donc $A$ et $A^TA$ ont même rang $r$.
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2. Montrer qu'il existe une famille orthonormée $(y_1,\ldots,y_r)$ de
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$\R^p$ telle que la matrice de restriction de $A^TA$ soit diagonale
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à coefficients strictement positifs.
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3. Montrer qu'il existe $U\in O_n(\R)$, $V\in O_p(\R)$ et
|
||
$\Lambda\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ diagonale rectangulaire positive
|
||
telle que $A=U\Lambda V$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 557]
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||
1. Donner deux définitions de $\mathcal{S}_n^+(\R)$ et établir leur
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équivalence.
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2. Si $A\in\mathcal{S}_n(\R)$, montrer que $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$
|
||
si et seulement si $\operatorname{tr}(AB)\geq0$ pour toute
|
||
$B\in\mathcal{S}_n^+(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 558]
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||
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ telle que
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$a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b\|X\|^2$ pour tout $X$.
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||
Si $P\in\R[X]$ vérifie $P(x)>0$ sur $[a,b]$, montrer que
|
||
$P(A)\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 559]
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||
Soient $S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $S'\in\mathcal{S}_n(\R)$.
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||
Montrer que $SS'$ est diagonalisable sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 560]
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||
1. Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. Montrer que
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||
$\det A\leq\prod_{i=1}^na_{i,i}$.
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||
2. Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal{S}^+(E)$ de
|
||
spectre $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Montrer que
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||
$$\prod_i\lambda_i=\inf_{(e_i)\text{ base orthonormée}}
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||
\prod_i\langle f(e_i),e_i\rangle.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 561]
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||
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ et $A_i$ sa sous-matrice principale d'ordre $i$.
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||
1. Si $A$ est définie positive, montrer que chaque $A_i$ l'est et
|
||
$\det A_i>0$.
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||
2. Réciproquement, si $\det A_i>0$ pour tout $i$, montrer que $A$ est
|
||
définie positive (traiter d'abord $n=1,2$).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 562]
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Soit $S\in\mathcal{S}_n(\R)$. Montrer que
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$\{X\in\R^n\mid X^TSX=1\}$ est compact non vide si et seulement si
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||
$S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 563]
|
||
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre :
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||
1. $A$ est symétrique et la somme de deux valeurs propres de $A$ n'est
|
||
jamais nulle.
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2. Pour toute matrice symétrique $B$, il existe une unique matrice
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||
symétrique $M$ telle que $B=MA+AM$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 564]
|
||
1. Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. Montrer que $\operatorname{rg}A\leq r$
|
||
si et seulement si $A=\sum_{i=1}^rX_iX_i^T$ pour des $X_i\in\R^n$.
|
||
2. Cette propriété reste-t-elle vraie pour $A$ symétrique quelconque ?
|
||
3. Pour $A\in\mathcal{S}_n(\C)$ de rang $1$, montrer qu'il existe $X$
|
||
tel que $A=XX^T$.
|
||
4. Généraliser aux matrices complexes symétriques de rang $r$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 565]
|
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Soit $E$ euclidien et $N$ la norme d'opérateur.
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||
1. Pour $f\in\mathcal{S}^+(E)$, montrer qu'il existe un unique
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||
$r\in\mathcal{S}^+(E)$ tel que $f=r^2$.
|
||
2. Pour $u\in\mathcal{S}(E)$, exprimer $N(u)$ à l'aide de son spectre.
|
||
3. Pour $f,g\in\mathcal{S}^+(E)$, montrer que
|
||
$$N(R(f)-R(g))\leq\sqrt{N(f-g)}.$$
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 566]
|
||
Soit $C$ une partie d'un espace normé telle que, pour tous $u\neq v$ de
|
||
$C$, $]u,v[\cap C=\varnothing$. Montrer que si $C$ est fermée, alors
|
||
$C$ est convexe. Est-ce vrai sans l'hypothèse de fermeture ?
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 567]
|
||
Pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$, poser
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||
$N(M)=\sup_{P\in O_n(\R)}|\operatorname{Tr}(PM)|$. Montrer que $N$ est
|
||
une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 568]
|
||
Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $N(f)=(f(0)^2+\int_0^1(f')^2)^{1/2}$.
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||
1. Montrer que $N$ est une norme.
|
||
2. La comparer à $\|\cdot\|_\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 569]
|
||
Pour $P\in\R[X]$, poser $\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|dt$,
|
||
$\|P\|_\infty=\sup_{[0,1]}|P|$ et
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||
$N(P)=\sup_{n\in\N}|\int_0^1P(t)t^n dt|$.
|
||
1. Montrer que $N$ est une norme.
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||
2. $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ?
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||
3. $N$ et $\|\cdot\|_1$ sont-elles équivalentes ?
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 570]
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Pour $a\in\R$ et $P\in\R[X]$, poser
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||
$N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'(t)|dt$.
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||
1. Montrer que $N_a$ est une norme.
|
||
2. Comparer $N_a$ et $N_b$ et étudier la continuité de $P\mapsto P(b)$
|
||
pour la norme $N_a$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 571]
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||
Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $F=\{f\in E\mid f(0)=0\}$.
|
||
1. Montrer que $F$ est fermé pour $\|\cdot\|_\infty$.
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||
2. Est-ce encore vrai pour $N(f)=\int_0^1|f|$ ?
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 572]
|
||
Soit $E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f'(0)=0\}$ et
|
||
$N(f)=\|f+2f'+f''\|_\infty$.
|
||
1. Montrer que $N$ est une norme.
|
||
2. Si $g=f+2f'+f''$, exprimer $f$ en fonction de $g$.
|
||
3. Montrer qu'il existe $a>0$ tel que $\|f\|_\infty\leq aN(f)$.
|
||
4. Les normes $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ?
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 573]
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Soient $K$ un compact d'un espace normé et $\varepsilon>0$. Une partie
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$A\subset K$ est $\varepsilon$-séparée si deux points distincts sont à
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||
distance au moins $\varepsilon$. Montrer qu'il existe $M(\varepsilon)$
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||
tel que toute partie $\varepsilon$-séparée de $K$ ait cardinal au plus
|
||
$M(\varepsilon)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 574]
|
||
Soit $f:\R^2\to\R$ telle que $|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$ pour tous
|
||
$x,y$. Montrer que $f$ est constante.
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 575]
|
||
Soit $f:\R^n\to\R$ telle que, pour tout $\alpha\in\R$, les ensembles
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||
$\{x\mid f(x)>\alpha\}$ et $\{x\mid f(x)<\alpha\}$ soient ouverts.
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||
Montrer que $f$ est continue.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 576]
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1. Si $P\in\C[X]$ est de degré $n$, montrer que
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||
$$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|P(a+re^{i\theta})|^2d\theta
|
||
=\sum_{k=0}^n\frac{|P^{(k)}(a)|^2}{(k!)^2}r^{2k}.$$
|
||
2. Si $K$ est un compact et $\partial K=K\setminus\mathring K$,
|
||
montrer que $|P(z)|\leq\max_{w\in\partial K}|P(w)|$ pour $z\in K$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 577]
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||
Soit $K$ un compact non vide d'un espace normé et $f:K\to K$ une
|
||
isométrie. Montrer que $f$ est surjective.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 578]
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Décrire les sous-groupes compacts de $(\C^*,\times)$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 579]
|
||
Soit $f:\R^2\to\R$ continue.
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1. S'il existe $c$ tel que $f^{-1}(\{c\})$ soit un singleton, que peut-on
|
||
dire de $c$ ?
|
||
2. S'il existe $c$ tel que cette fibre soit compacte non vide, montrer
|
||
que $f$ possède un extremum.
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||
3. Si toutes les fibres sont compactes, montrer que $f(x)$ admet une
|
||
limite, éventuellement infinie, lorsque $\|x\|\to+\infty$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 580]
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Soit $E$ un espace normé.
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1. Si $f:E\to E$ est additive et bornée sur la boule unité, montrer que
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||
$f$ est linéaire.
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||
2. Si $E$ est de dimension finie, $f$ linéaire et $\|f(x)\|\leq\|x\|$,
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||
poser $u_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. Étudier la convergence si
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||
$\|f\|_{op}<1$, puis si $\|f\|_{op}=1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 581]
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Soit $u$ une contraction d'un espace normé $E$. Posons
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$v_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu^k$.
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1. Simplifier $v_n\circ(u-\operatorname{id})$.
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2. Montrer que $\operatorname{Im}(u-\operatorname{id})\cap
|
||
\ker(u-\operatorname{id})=\{0\}$.
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3. Si $E$ est de dimension finie, montrer que leur somme est $E$.
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||
4. Si $E=\operatorname{Im}(u-\operatorname{id})\oplus\ker(u-\operatorname{id})$,
|
||
montrer que $v_n$ converge simplement et que l'image est fermée.
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||
5. Réciproquement, si $v_n$ converge simplement et l'image est fermée,
|
||
montrer que cette somme directe vaut $E$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 582]
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Soit $f:E\to\R$ une forme linéaire continue non nulle sur un espace
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normé, et $a\in E$ tel que $f(a)\neq0$.
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1. Montrer que $\|f\|_{op}=|f(a)|/d(a,\ker f)$.
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2. Montrer que la distance est atteinte si et seulement s'il existe
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$b\neq0$ tel que $\|f\|_{op}=|f(b)|/\|b\|$.
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3. Pour $E=C^0([-1,1],\R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser
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$F(g)=\int_0^1g-\int_{-1}^0g$. Montrer que $F$ est continue et
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calculer sa norme d'opérateur. Est-elle atteinte ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 583]
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Soit $E$ l'espace des fonctions réelles continues bornées sur $\R$.
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Pour $p\in\N$, poser $N_p(f)=\sup_{t\in\R}|t^pe^{-|t|}f(t)|$.
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1. Montrer que $N_p$ est une norme.
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2. Pour $c\in\R$, la forme $f\mapsto f(c)$ est-elle continue pour $N_p$ ?
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3. Si $p\neq q$, les normes $N_p,N_q$ sont-elles équivalentes ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 584]
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1. Énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes.
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2. Soit $C$ un convexe compact non vide d'un espace euclidien. Pour $x$,
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montrer qu'il existe un unique projeté $p(x)\in C$ réalisant la
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distance à $C$, et caractériser $y=p(x)$ par
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$\langle x-y,c-y\rangle\leq0$ pour tout $c\in C$.
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3. Montrer que $x\mapsto p(x)$ est continue.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 585]
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Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et
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seulement si sa classe de similitude est fermée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 586]
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1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\R)$ est un fermé non compact.
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2. Montrer que $\operatorname{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs.
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3. Pour $M\in\operatorname{GL}_n(\R)$, montrer qu'il existe $O\in O_n(\R)$
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et $S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ tels que $M=OS$.
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4. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\R)$ est connexe par arcs et
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déterminer les composantes connexes par arcs de $\operatorname{GL}_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 587]
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Soit $u_1>0$ et $u_{n+1}=u_n+1/(nu_n)$. Étudier $(u_n)$ et donner un
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équivalent de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 588]
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1. Soit $u_0\geq0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$. Étudier la suite.
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2. Soit $v_0\geq0$ et $v_{n+1}=\sqrt{v_n}+1/(n+1)$. Étudier la suite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 589]
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Soient $p,q>0$, $p+q=1$ et $p<q$. Montrer la convergence et calculer la
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limite de
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$$u_n=\sum_{k=\lfloor n/2\rfloor+1}^n\binom nkp^kq^{n-k}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 590]
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Soit $c_n$ le nombre d'éléments $a\in S_n$ tels que
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$a_{i+1}\neq a_i+1$ pour tout $i<n$.
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1. Montrer que $c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}$ pour $n\geq3$.
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2. Montrer que $c_n/n!$ converge et calculer sa limite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 591]
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Soit $u_0>0$ et $u_{n+1}=u_n+n/u_n$.
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1. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et le cas $u_0=1$.
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2. Montrer que $(u_n-n)_{n\geq1}$ converge.
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3. Poser $y_n=n(u_n-n)$. Si $u_n>n$, montrer que
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||
$y_{n+1}/y_n=1+O(n^{-2})$, puis qu'il existe $\alpha\neq0$ tel que
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$u_n=n+\alpha/n+O(n^{-2})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 592]
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1. Montrer que, pour $n\geq2$, $P_n=X^n-nX+1$ possède une unique racine
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$u_n\in]0,1[$.
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2. Montrer que $(u_n)$ converge.
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3. Déterminer un développement asymptotique à deux termes de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 593]
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Soit $x_0>0$ et $x_{n+1}=x_n+1/S_n$, où $S_n=x_0+\cdots+x_n$.
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1. Montrer que $x_n\to+\infty$ et $x_{n+1}\sim x_n$.
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2. En étudiant $S_{n+1}/x_{n+1}-S_n/x_n$, montrer que $S_n\sim nx_n$.
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3. Déterminer un équivalent de $x_{n+1}^2-x_n^2$, puis de $x_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 594]
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Pour $m\in\N$, poser
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$$F_m(x)=\int_0^x\frac{u^me^u}{m!}\,du.$$
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1. Montrer qu'il existe un unique $x_m>0$ tel que $F_m(x_m)=1$.
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||
2. Pour $v>0$, déterminer la limite et un équivalent de $F_m(vm)$.
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3. Donner un équivalent de $x_m$ lorsque $m\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 595]
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Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=1+u_0u_1\cdots u_n$. Posons $v_n=u_n-1/2$.
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1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
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2. Montrer que $v_n\geq2^{n-2}$ pour $n\geq1$.
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3. Montrer qu'il existe $r>0$ tel que
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$v_n=r^{2^n}(1+O(4^{-n}))$.
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||
4. Montrer qu'il existe $(x_n)$ tendant vers $0$ tel que
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$u_n=r^{2^n}+1/2+x_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 596]
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1. Pour $n\geq3$, montrer qu'il existe $k<n$ tel que
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$\prod_{i=1}^k(1-i/n)<1/2$.
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2. Si $K_n$ est le plus petit tel $k$, montrer que $K_n\to+\infty$.
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3. A-t-on $K_n=o(n)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 597]
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Soit $(u_n)$ positive bornée et telle que $u_{n+1}-u_n^2\to0$.
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1. Montrer que la suite admet une valeur d'adhérence.
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2. Pour l'ensemble $E$ de ses valeurs d'adhérence, montrer que
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||
$\lambda\in E$ entraîne $\lambda^{2^k}\in E$ pour tout $k$, puis
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que $E\subset[0,1]$.
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3. Montrer que $E\subset\{0,1\}$.
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||
4. Montrer que la suite a une unique valeur d'adhérence et converge vers
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$0$ ou $1$.
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5. La question 4 reste-t-elle vraie sans positivité, ou sans bornitude ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 598]
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Montrer que la série $\sum_{k\geq1}\sin(k)/k$ converge.
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Indication : poser $S_n=\sum_{k=0}^n\sin(k)$ et utiliser
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$\sin(n)=S_n-S_{n-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 599]
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Soit $\alpha\in\R$. Déterminer la nature de
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$$\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n\sin(\arctan(n^\alpha))}{n}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 600]
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||
Pour $n\geq1$, poser $a_n=n!e^n/n^{n+1/2}$.
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Étudier la convergence de la série
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$$\sum_{n\geq1}(\ln a_{n+1}-\ln a_n).$$
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||
Donner un équivalent du reste de $\sum_{k\geq1}1/k^2$, puis en déduire
|
||
l'existence de $C>0$ tel que
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$$n!=C\sqrt n\left(\frac ne\right)^n
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||
\left(1+\frac1{12n}+o(1/n)\right).$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 601]
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Posons $u_n=\ln(n)/n$,
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$$s_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\frac{\ln k}{k},\qquad
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R_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}.$$
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||
1. Étudier la décroissance de $u_n$ et la convergence de $(s_{2n})$.
|
||
2. Établir $s_{2n}=H_n\ln2-T_n$, où
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||
$H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ et $T_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\ln(k)/k$.
|
||
3. À l'aide des développements de $H_n$ et $\sum_{k=1}^n\ln(k)/k$,
|
||
déterminer l'asymptotique de $T_n$.
|
||
4. Montrer que $R_n$ est une somme de Riemann, calculer sa limite et
|
||
établir $T_n=\ln(n)(H_{2n}-H_n)+R_n$.
|
||
5. En déduire la somme $\sum_{k\geq1}(-1)^k\ln(k)/k$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 602]
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||
Pour $n\geq1$, poser $v_n=\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}$ et
|
||
$u_n=(-1)^n(v_n-(-1)^n)$. Déterminer la nature de $\sum u_n$ et donner
|
||
un équivalent du reste en cas de convergence, ou de la somme partielle
|
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en cas de divergence.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 603]
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Soit $(u_k)$ positive.
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1. Si $\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\leq\frac1n\sum_{k=1}^nu_k$ pour tout $n$,
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||
déterminer la nature de $\sum u_n$.
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||
2. Même question si la borne de la somme de gauche est $2n+p$ et son
|
||
départ $n+p+1$, pour un $p\geq1$ fixé.
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||
3. Même question si la somme est de $pn+1$ à $(p+1)n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 604]
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||
Soit $u_0>0$ et $u_{n+1}=e^{-u_n}/(n+1)$.
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||
1. Déterminer les limites de $u_n$ et $nu_n$.
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||
2. Donner un développement asymptotique à trois termes de $u_n$.
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||
3. Étudier $\sum u_n$ et $\sum(-1)^nu_n$.
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||
4. Donner un équivalent du reste des séries convergentes et des sommes
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partielles des séries divergentes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 605]
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||
Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle, $u_n\neq-1$, et
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$$v_n=\frac{u_n}{(1+u_1)\cdots(1+u_n)}.$$
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||
1. Si $u_n\geq0$, montrer que $\sum v_n$ converge. Si $\sum u_n$
|
||
diverge, calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}v_n$.
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||
2. Étudier $\sum v_n$ pour $u_n=(-1)^n/(n+1)$ puis
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||
$u_n=(-1)^n/\sqrt{n+1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 606]
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Soit $f\in C^1([1,+\infty[,\R)$ strictement croissante telle que
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$f(x)\to+\infty$ et $f'(x)\to0$.
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1. En utilisant $|e^{if(b)}-e^{if(a)}|\leq(b-a)\sup_{[a,b]}|f'|$,
|
||
montrer que $\{e^{if(n)}\mid n\in\N\}$ est dense dans le cercle unité.
|
||
2. Pour $f\in C^1([a,+\infty[)$, montrer que
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||
$$\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)dt\right|
|
||
\leq\frac12\max_{[n,n+1]}|f'(x)|.$$
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||
3. En déduire la nature de $\sum\sin(\ln n)/n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 607]
|
||
Comparer $\pi^3$ et $3^\pi$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 608]
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||
Soit $f(x)=\arctan(1/(1+x^2))$. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et
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calculer $f^{(n)}(0)$ pour tout $n\in\N$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 609]
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||
Déterminer les fonctions dérivables $f:\R_+^*\to\R$ telles que
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||
$f'(x)=f(1/x)$ pour tout $x>0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 610]
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Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que
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$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$
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pour tous $x,y\in\R$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 611]
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Déterminer les fonctions deux fois dérivables $f:\R\to\R$ telles que
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$$f''(x)\cos(f(x))\geq f'(x)^2\sin(f(x))$$
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||
pour tout $x\in\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 612]
|
||
Soit $E$ l'espace des fonctions de $\R$ dans $\R$ et
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$D(f)(x)=f(x+1)-f(x)$. Pour $n\in\N$, soit
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||
$$F_n=\{x\mapsto x^{n-1}w_{n-1}(x)+\cdots+xw_1(x)+w_0(x)
|
||
\mid w_0,\ldots,w_{n-1}\in\ker D\}.$$
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||
1. Montrer que $F_n=D(F_{n+1})$.
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||
2. Montrer par récurrence que $\ker(D^n)=F_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 613]
|
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Soit $f:[0,1]\to\R$.
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1. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si elle admet un
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||
développement limité d'ordre $1$ en $0$.
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2. Si $f(0)=0$ et $f$ est dérivable en $0$, montrer que
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||
$u_n=\sum_{k=1}^nf(k/n^2)$ converge et calculer sa limite.
|
||
3. Si $f$ est continue en $0$ et $\lambda\in]0,1[$, montrer que $f$ est
|
||
dérivable en $0$ si et seulement s'il existe $\ell$ tel que
|
||
$(f(x)-f(\lambda x))/x\to\ell$, et préciser le lien avec $f'(0)$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 614]
|
||
Soit $f(x)=x-\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$.
|
||
1. Montrer que les restrictions de $f$ à $]-1,0]$ et $[0,+\infty[$
|
||
sont des bijections sur $\R_+$.
|
||
2. Déterminer un équivalent de $f$ en $0$, puis ceux des fonctions
|
||
réciproques en $0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 615]
|
||
Soit $f:\R_+\to\R$ continue, bornée et intégrable. Posons
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||
$\alpha=\sup_{\R_+}|f|$ et $u_n=\int_0^{+\infty}f(t)^n dt$.
|
||
1. Montrer que les $u_n$ sont bien définis.
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||
2. Si $\alpha<1$, montrer que $\sum u_n$ converge.
|
||
3. Si $\alpha>1$, montrer que $\sum u_n$ diverge.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 616]
|
||
Soient $a<b$, $E=C^0([a,b],\R)$ muni de la norme uniforme et
|
||
$A=\{f\in E\mid f(x)>0\ \forall x\}$. Pour $f\in A$, poser
|
||
$$\Phi(f)=\left(\int_a^bf(x)dx\right)
|
||
\left(\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\right).$$
|
||
1. Montrer que $\Phi$ admet un minimum et le déterminer.
|
||
2. $A$ est-elle ouverte ? Fermée ?
|
||
3. Déterminer $\Phi(A)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 617]
|
||
Soit $F(x)=\int_x^{\sqrt{x}}e^t/t\,dt$. Déterminer la limite et un
|
||
équivalent de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 618]
|
||
Soit $n\in\N$ et
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||
$$F=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid f(x)=x^{n+1}g(x)\text{ pour un }g\in C^\infty\}.$$
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||
Pour $f\in C^\infty$, poser
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||
$$\varphi(f)(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
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Montrer que $\varphi$ est le projecteur sur $F$ parallèlement aux
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||
polynômes de degré au plus $n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 619]
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Étudier la nature des intégrales impropres
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$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx,\quad
|
||
\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sin x+\sqrt{x}}dx,\quad
|
||
\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x+\sqrt{x}}dx.$$
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 620]
|
||
Posons $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin t)dt$.
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||
1. Justifier la convergence et montrer que $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos t)dt$
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||
et $I=\frac12\int_0^\pi\ln(\sin t)dt$.
|
||
2. Calculer $I$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 621]
|
||
1. Pour $\alpha>1$, montrer que $x^\alpha=\sin x$ a une unique solution
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||
$a>0$.
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||
2. Déterminer la nature de
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||
$$\int_a^{+\infty}\frac{\cos t}{\sqrt{|t^\alpha-\sin t|}}dt.$$
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 622]
|
||
1. Pour $a>-1$, calculer $\int_0^{\pi/2}(1+a\sin^2t)^{-1}dt$ en posant
|
||
$x=\tan t$.
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||
2. Déterminer la nature des séries et intégrales :
|
||
$$\sum_n\int_0^\pi\frac{dt}{1+(n\pi)^\alpha\sin^2t},\quad
|
||
\sum_n\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{dt}{1+t^\alpha\sin^2t},\quad
|
||
\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^\alpha\sin^2t}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 623]
|
||
Soit $a>0$. Étudier la convergence et calculer éventuellement
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$$\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{(1+t^a)^2}dt.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 624]
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||
Soit $f(x)=\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$. Donner un équivalent de $f(x)$
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en $+\infty$, puis un équivalent de $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty}e^{-k^2}$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 625]
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||
1. Soient $a<b$ et $f,g\in C^0([a,b],\R)$ avec $f$ de signe constant.
|
||
Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que
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||
$$\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt.$$
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||
2. Soient $\lambda,\mu\in\R$ et $f\in C^0(\R_+^*)$ telle que
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||
$f(x)\to\lambda$ en $0$ et $(f(t)-\mu)/t$ soit intégrable sur
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$[1,+\infty[$. Pour $0<a<b$, montrer la convergence et calculer
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$$\int_0^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}t dt.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 626]
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Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Étudier la convergence puis calculer
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$$\int_0^{2\pi}\ln|P(e^{it})|dt$$
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en fonction des racines de $P$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 627]
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1. Pour $a<b$ et $f\in C^0([a,b],\R_+)$, montrer que
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$$\left(\int_a^bf(t)^xdt\right)^{1/x}\to\sup_{[a,b]}f$$
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||
lorsque $x\to+\infty$.
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2. Calculer
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$$\lim_{x\to+\infty}\left(\ln x-\frac{\ln\Gamma(x+1)}x\right),$$
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où $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 628]
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Soit $E=L^2(\R_+)$ muni de sa norme usuelle. Pour $f\in E$, montrer
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que $x\mapsto x^{-1}\int_0^xf$ se prolonge de manière unique en une
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fonction continue sur $\R_+$, notée $T(f)$. Montrer que $T(f)\in E$ et
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||
que $T$ est un endomorphisme continu de $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 629]
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Soit $E$ l'espace des fonctions $[0,1]\to\R$.
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1. Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe
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$(x_1,\ldots,x_n)$ tel que $\det(f_i(x_j))\neq0$.
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||
2. Si $F\subset E$ est de dimension finie et $(f_k)\subset F$ converge
|
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simplement vers $f$ sur $[0,1]$, montrer que la convergence est uniforme.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 630]
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Soit $(f_n)\subset C^2([0,1],\R)$.
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1. Si $(f_n(0))$ converge et $(f_n'-f_n)$ converge uniformément, montrer
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que $(f_n)$ converge uniformément.
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2. Si $(f_n(0))$ et $(f_n(1))$ convergent et $(f_n''-f_n)$ converge
|
||
uniformément, montrer que $(f_n)$ converge uniformément.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 631]
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||
Soit $E=\{u\in C^0(\R,\R)\mid |u(x)|<|x|\text{ pour }x\neq0\}$.
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||
1. Les fonctions $\sin x$ et $x\cos x$ appartiennent-elles à $E$ ?
|
||
2. Pour $f\in E$, poser $f_n=f\circ\cdots\circ f$. Montrer que $(f_n)$
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||
converge simplement et déterminer sa limite.
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3. Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment mais pas
|
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nécessairement sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 632]
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Soit $f\in C^2([a,b],\R)$. Montrer l'équivalence entre $f$ convexe et
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l'existence d'une suite de polynômes convexes convergeant uniformément
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vers $f$ sur $[a,b]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 633]
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||
Soit $(\varphi_n)\subset C^0(\R,\R_+)$ telle que $\int_\R\varphi_n\to1$
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et $\int_{|t|>\alpha}\varphi_n(t)dt\to0$ pour tout $\alpha>0$.
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||
Pour $f$ continue bornée, poser $f_n(x)=\int_\R\varphi_n(t)f(x-t)dt$.
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||
Montrer que $f_n\to f$ uniformément sur tout segment.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 634]
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1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que
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$$e^A-e^B=\int_0^1e^{xA}(A-B)e^{(1-x)B}dx.$$
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||
2. Montrer que $f_p:A\mapsto(I_n+A/p)^p$ converge vers l'exponentielle
|
||
uniformément sur les compacts de $\mathcal{M}_n(\C)$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 635]
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||
Posons $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-\sqrt n x}$. Déterminer son domaine,
|
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montrer que $S$ est continue, puis déterminer sa limite en $+\infty$ et
|
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un équivalent en $0$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 636]
|
||
Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}/(n+x)$.
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1. Déterminer le domaine $D$ et étudier la continuité sur $D$.
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2. La série converge-t-elle uniformément sur $D$ ?
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||
3. Déterminer limites et équivalents aux bornes de $D$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 637]
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||
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(2^nx)/2^n$.
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||
1. Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
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||
2. $f$ est-elle dérivable en $0$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 638]
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Déterminer le rayon de convergence de
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$$\sum_{n\geq1}\frac{z^n}{(\sqrt n)^{\sqrt n}}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 639]
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||
Soit $\alpha>1$ et
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$$a_n=\left(\sin(n)^\alpha+\alpha\sin(1/n)\right)^n.$$
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Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$. On admet que $\pi$
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est irrationnel.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 640]
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Pour $m\in\N$, poser $W_m=\int_0^{\pi/2}\cos^m(t)dt$ et
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$f(x)=\sum_{m=0}^{+\infty}W_mx^m$.
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||
1. Montrer que $mW_m=(m-1)W_{m-2}$ pour $m\geq2$.
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2. Montrer que $1/(m+1)\leq W_m\leq\pi/2$.
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||
3. Calculer le rayon de convergence de $f$.
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||
4. Exprimer $f(x)$ à l'aide du résultat de la question 1, puis à l'aide
|
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de $\int_0^{\pi/2}(1-x\cos t)^{-1}dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 641]
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Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et
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||
$u_n(x)=a_nx^n/n^\alpha$.
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1. Déterminer la limite de $(a_n)$.
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||
2. Trouver une relation simple entre $a_{n+2}$ et $a_n$.
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||
3. Étudier la série de terme général $u_n(x)$ selon $x,\alpha$.
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||
4. Pour $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, exprimer $f$ avec des
|
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fonctions usuelles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 642]
|
||
Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1(1-t^2)^ndt$ et
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||
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$.
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||
1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
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||
2. Expliciter $f(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 643]
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Soient $a_n=n!/(1\cdot3\cdots(2n+1))$ et
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$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+1}$.
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1. Déterminer le rayon de convergence, une équation différentielle
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vérifiée par $f$ et une expression simplifiée de $f$.
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||
2. Étudier la convergence de la série aux bornes du disque.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 644]
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||
Soient $a,b,c\in\C\setminus(-\N)$. Pour $n\geq1$, poser
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||
$$u_n=\frac1{n!}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}.$$
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||
1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
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||
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour que la
|
||
série converge sur le bord de son disque de convergence.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 645]
|
||
Pour $n\in\N$, poser $I_n=\int_0^{\ln2}(e^t-1)^ndt$ et
|
||
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}I_nx^n$.
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||
1. Trouver une récurrence vérifiée par $(I_n)$.
|
||
2. Donner un équivalent de $I_n$.
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||
3. Déterminer le rayon de convergence de $f$ et exprimer $f(x)$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 646]
|
||
Soit $t\in\R\setminus\pi\Z$ et
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$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(nt)}n x^n$.
|
||
1. Déterminer le rayon de convergence.
|
||
2. Étudier la convergence de la série en $\pm R$.
|
||
3. Exprimer $f(x)$ pour $x\in]-R,R[$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 647]
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Soit $(a_n)_{n\in\N}$ réelle telle que $\sum a_n$ converge et
|
||
$F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n/n!$.
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1. Montrer que $F$ est définie et $C^\infty$ sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $\sum_pF^{(p)}$ converge simplement sur $\R$, d'abord
|
||
si $\sum a_n$ converge absolument, puis dans le cas général.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 648]
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Soit $a_0=a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}/(n+1)$ pour $n\geq1$.
|
||
Posons $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
|
||
1. Montrer que $1\leq a_n\leq n^2$ pour $n\geq1$.
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||
2. Déterminer le rayon de convergence.
|
||
3. Montrer que $(1-x)y'-(2x+1)y=0$ est vérifiée par $f$.
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||
4. Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 649]
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||
Soit $f:\R\to\R$ dérivable et bornée telle que $f'(x)=f(x+1)$.
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||
1. Montrer que $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)x^n/n!$.
|
||
2. Montrer que, pour tout $k\in\N$,
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||
$$f^{(k)}(0)=-\sum_{n=k+2}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!}.$$
|
||
3. Conclure que $f=0$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 650]
|
||
Pour $p\geq2$, poser
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||
$$I_p=\int_0^1\frac{t^p\ln t}{t^2-1}dt.$$
|
||
1. Justifier la bonne définition de $I_p$.
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||
2. Calculer $I_2$ (on admet la valeur de $\zeta(2)$).
|
||
3. Déterminer un équivalent simple de $I_p$ lorsque $p\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 651]
|
||
1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}\sin(u^2)du$ converge.
|
||
2. Pour $a,b>0$, donner un équivalent simple de
|
||
$I_n=\int_0^{+\infty}\sin(n(au^2+bu^3))du$ en fonction de $I$.
|
||
#+end_exercice
|
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 652]
|
||
Pour $n\geq1$, poser
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$$I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt.$$
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||
1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
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2. Déterminer sa limite et un équivalent simple.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 653]
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1. Déterminer l'ensemble $\Delta$ des $z\in\C$ tels que
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$u_z(t)=e^{-t}t^{z-1}$ soit intégrable sur $\R_+^*$.
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||
2. Pour $z\in\Delta$, montrer que
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||
$$\int_0^n(1-t/n)^nt^{z-1}dt\to\Gamma(z).$$
|
||
3. Montrer que $\Gamma$ ne s'annule pas sur $\Delta$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 654]
|
||
Soit $(a_n)$ positive, $0<a_n\leq1$ et $a_n\to1$. Posons
|
||
$$b_n=\int_0^1\prod_{k=1}^n(1-a_kx)dx,\qquad
|
||
\sigma_n=\sum_{k=1}^na_k.$$
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||
1. Montrer que $b_n\geq1/(n+1)$.
|
||
2. Montrer que $b_n\leq(1-e^{-\sigma_n})/\sigma_n$.
|
||
3. Déterminer un équivalent de $b_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 655]
|
||
Poser $f(x)=\int_0^{+\infty}(1+t^x)^{-1}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine $D$ de définition.
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2. Montrer que $f(x)>1$ sur $D$.
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||
3. Pour $y\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $f(x)=y$.
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#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 656]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{e^t-1}dt$.
|
||
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
|
||
2. Donner un équivalent de $f$ en $0$.
|
||
#+end_exercice
|
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 657]
|
||
Pour $x\geq0$ et $0<t\leq1$, poser $f(x,t)=t^{-t}t^x$.
|
||
1. Montrer que
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||
$$f(x,t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{x+n}\ln^n t}{n!}.$$
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||
2. Pour $y\geq0$ et $q\in\N$, poser $I(y,q)=\int_0^1t^y\ln^q(t)dt$.
|
||
Établir une récurrence et calculer $I(y,q)$.
|
||
3. Poser $F(x)=\int_0^1f(x,t)dt$. Montrer que $F\in C^1(\R_+)$ et
|
||
exprimer $F$ comme une somme.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 658]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}dt$.
|
||
Déterminer son domaine, étudier continuité et dérivabilité, puis trouver
|
||
des équivalents aux bornes de son domaine.
|
||
#+end_exercice
|
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 659]
|
||
Pour $x>0$, poser
|
||
$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{(1+t^2)(x^2+t^2)}}.$$
|
||
Justifier l'existence, montrer que $f\in C^1(\R_+^*)$ et donner des
|
||
équivalents lorsque $x\to+\infty$ puis $x\to0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 660]
|
||
Soit $f\in C^0(\R_+^*)$ telle que $f(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$.
|
||
Pour $0<a<b$ :
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1. Montrer que $\int_0^{+\infty}(f(at)-f(bt))/t\,dt$ converge et calculer
|
||
sa valeur. En déduire $\int_0^{+\infty}(e^{-at}-e^{-bt})/t\,dt$.
|
||
2. Retrouver ce résultat en étudiant la fonction de $a$ définie par
|
||
cette dernière intégrale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 661]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition.
|
||
2. Montrer que $f\in C^1(\R_+^*)$ et expliciter $f'(x)$.
|
||
3. Pour $x>0$, calculer $f(x)+f(1/x)$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 662]
|
||
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-2t}}{x+t}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine et étudier la continuité.
|
||
2. Donner un équivalent de $F$ en $+\infty$ et en $0^+$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 663]
|
||
Posons $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{e^{xt}-1}dt$.
|
||
1. Montrer que $F$ est définie sur $\R_+^*$.
|
||
2. Montrer que
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||
$$F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{1+n^2x^2}.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 664]
|
||
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)}{t(1+t^2)}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine $D$ et montrer que $F\in C^1(D)$.
|
||
2. Exprimer $F$ sur $D$ (on pourra calculer d'abord $F'$ sur $\R_+$).
|
||
3. Calculer $\int_0^{+\infty}(\arctan t)^2/t\,dt$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 665]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition.
|
||
2. Montrer que $f$ est développable en série entière et préciser un
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||
intervalle de validité.
|
||
3. Expliciter les coefficients de ce développement.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 666]
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||
Soit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$.
|
||
1. Montrer que $\Gamma$ est définie sur $\R_+^*$.
|
||
2. Établir une relation entre $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$.
|
||
3. Montrer que $\ln\circ\Gamma$ est convexe.
|
||
4. Pour $x>1$, en utilisant les différences de $\ln\Gamma$, montrer que
|
||
$$\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\ln x+o(1)\quad(x\to+\infty).$$
|
||
5. Montrer que $\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$ converge vers une constante $\gamma$.
|
||
6. En déduire $\int_0^{+\infty}\ln(t)e^{-t}dt$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 667]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\arctan(t)dt$.
|
||
1. Déterminer son domaine et montrer que $f\in C^\infty$.
|
||
2. Donner un développement asymptotique de $f$ à tout ordre en $+\infty$.
|
||
3. Terminer l'étude de $f$.
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 668]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}(\sin t/t)e^{-xt}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition $D$.
|
||
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$ et $C^1$ sur $\R_+^*$.
|
||
3. Calculer $\int_0^{+\infty}\sin(t)/t\,dt$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 669]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}(x-\cos t)^{-1/2}dt$. Déterminer le domaine
|
||
de définition et tracer le graphe aussi précisément que possible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 670]
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Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}(\cosh^2t-x)^{-1/2}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition.
|
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2. Montrer que $f$ est développable en série entière autour de $0$ et
|
||
expliciter ce développement.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 671]
|
||
Soit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ sur $\R_+^*$.
|
||
1. Montrer que $\ln\circ\Gamma$ est convexe.
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2. Soit $f:\R_+^*\to\R$ telle que $f(1)=1$, $f(x+1)=xf(x)$ et
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$\ln\circ f$ convexe. Montrer que $f=\Gamma$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 672]
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Soit $f:\R_+\to\R$ continue et intégrable, avec $f(0)\neq0$. On admet
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$\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt\pi/2$.
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1. Pour $t>0$, montrer que $x\mapsto e^{-tx^2}f(x)$ est continue et
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intégrable.
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2. Pour $a>0$, montrer que $\sqrt t\int_a^{+\infty}e^{-tx^2}f(x)dx\to0$.
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3. Déterminer $A$ tel que
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$$\int_0^{+\infty}e^{-tx^2}f(x)dx\sim A/\sqrt t.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 673]
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On admet $\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(t^2)dt=
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\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(t^2)dt=\sqrt{\pi/2}$.
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Posons $K(x)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{ix\cos t}dt$ et
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$J(x)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x\cos t)dt$.
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1. Montrer que
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$$K(x)=2e^{ix}\int_{-\sqrt2/2}^{\sqrt2/2}
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e^{-2ixy^2}(1-y^2)^{-1/2}dy.$$
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2. Développer $(1-y^2)^{-1/2}$ en série entière.
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||
3. Montrer que $\int_{\sqrt x}^{+\infty}e^{-iy^2}dy=-ie^{-ix}/\sqrt x+O(1/x)$.
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4. En déduire une constante explicite $C$ telle que
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$J(x)=C/\sqrt x+O(1/x)$ en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 674]
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Soit
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$$f(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{itx}}{(t-y)^2+x^2}dt.$$
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Déterminer son domaine de définition et calculer $f(x,y)$ sur ce domaine.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 675]
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Pour $n\geq1$ et $\alpha\in\R$, poser
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$$U_n(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\sin(t)^\alpha\cos(t)^n dt.$$
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Préciser la nature de $\sum U_n(1)$, puis de $\sum U_n(\alpha)$ selon
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$\alpha$. Calculer $U_2(3)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 676]
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Soit $f:[0,1]\to\R_+$ continue et $u_n=\int_0^1t^nf(t)dt$.
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1. Montrer que $\sum(-1)^nu_n$ converge vers
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$S=\int_0^1f(t)/(1+t)dt$.
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2. Montrer que $2S=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1(1-t^2)^nf(t)dt$ et en
|
||
déduire une expression de $\ln2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 677]
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Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$.
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1. Pour $r>0$ assez grand, montrer que $re^{it}I_n-A$ est inversible et
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développer son inverse en série géométrique.
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2. Montrer que, pour tout $P\in\C[X]$,
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||
$$P(A)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
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||
P(re^{it})re^{it}(re^{it}I_n-A)^{-1}dt.$$
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3. En déduire Cayley-Hamilton.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 678]
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Déterminer les fonctions $f\in C^1(\R_+,\R)$ telles que
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$$f'(x)=\int_0^x\frac{f(r)}rdr+f(x)+2.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 679]
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||
Soit $k\geq1$ et $f\in C^0(\R,\R)$ $2\pi$-périodique. Donner une
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condition nécessaire et suffisante simple sur $f$ pour que l'équation
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$y''+k^2y=f$ admette des solutions $2\pi$-périodiques.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 680]
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||
Soit $y$ une solution bornée sur $\R_+$ de $y''+\varphi(x)y=0$, où
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$\varphi$ est intégrable sur $\R_+$. Montrer que $y'(x)\to0$ en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 681]
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Soit l'équation différentielle $x^2y'+y=x$.
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1. Admet-elle une solution développable en série entière en $0$ ?
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||
2. Admet-elle une solution définie sur $\R$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 682]
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||
Soit $y$ solution sur $\R_+^*$ de $xy''+y'+xy=0$, et posons
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$u(x)=\sqrt{x}\,y(x)$.
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1. Donner une équation différentielle vérifiée par $u$.
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||
2. Pour $v''+v=0$ et $0<a<b$, montrer que
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||
$$\int_a^b\frac{u(x)v(x)}{4x^2}dx
|
||
=(uv'-u'v)(b)-(uv'-u'v)(a).$$
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||
3. Montrer que, pour tout $a>0$, il existe $x_a\in[a,a+\pi[$ tel que
|
||
$y(x_a)=0$.
|
||
4. En déduire que $J_0(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k(x^2/4)^k/(k!)^2$
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||
s'annule une infinité de fois sur $\R_+^*$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 683]
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||
Soient $f\in C^1(\R_+,\R)$ et $g=f+f'$, avec $\int_0^\infty|g(t)|^2dt<\infty$.
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1. Montrer que
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$$f(x)=e^{-x}f(0)+e^{-x}\int_0^xe^tg(t)dt.$$
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2. Montrer que $f$ est bornée.
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3. Montrer que $\int_A^\infty g(t)^2dt\to0$ puis $f(x)\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 684]
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||
On considère l'équation différentielle $ty''(t)+ty'(t)-y(t)=0$ sur $\R_+^*$.
|
||
1. Pour quels $a\in\R$, $h_a(t)=t^a$ est-elle solution ?
|
||
2. Justifier que $g(t)=e^{-t}/t^2$ admet une primitive sur $\R_+^*$.
|
||
3. Étudier les variations et limites de $G(x)=\int_1^xg(t)dt$.
|
||
4. Pour $f\in C^2(\R_+^*)$, poser $s(t)=tf(t)$. Montrer que $f$ est
|
||
solution de l'équation
|
||
$$E':\quad z'(t)+\left(1+\frac2t\right)z(t)=0$$
|
||
si et seulement si $s'$ est solution de $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 685]
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||
Résoudre les systèmes différentiels
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$$\begin{cases}x'=x+2y+te^t\\y'=8x+y+e^{-t}\end{cases}\qquad\text{et}\qquad
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\begin{cases}x_1'=(1+t)x_1-tx_2-e^t\\x_2'=tx_1+(1-t)x_2+e^t.\end{cases}$$
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 686]
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||
Posons $E=\{(x,y)\in\R^2\mid x>y\}\cup\{(0,0)\}$. Pour $\alpha\in\R$,
|
||
définissons $f(0,0)=\alpha$ et, ailleurs sur $E$,
|
||
$$f(x,y)=\frac1{\sqrt{x^2-y^2}}\exp\left(-\frac1{x^2+y^2}\right).$$
|
||
Montrer qu'aucune valeur de $\alpha$ ne rend $f$ continue en $(0,0)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 687]
|
||
Montrer que la fonction
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$$f(x_1,\ldots,x_n)=-\left(\prod_{k=1}^nx_k\right)^{1/n}$$
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||
est convexe sur $(\R_+^*)^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 688]
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||
Soit $E=\{(x,y)\in\R^2\mid |x|\leq\pi/2,\ |y|\leq\cos x\}$ et
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||
$f(x,y)=y^2+y\cos x-\sin x-2$. Déterminer les extrema de $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 689]
|
||
Soit $f(x,y)=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-xy/\sqrt2$. Déterminer les
|
||
extrema locaux, s'ils existent, et les caractériser.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 690]
|
||
On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne, $S=\{x\mid\|x\|=1\}$ et
|
||
$f(x)=\prod_{i=1}^nx_i^2$.
|
||
1. Déterminer le maximum de $f$ sur $S$.
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||
2. En déduire que
|
||
$$\left|\prod_{i=1}^nx_i\right|\leq\left(\frac{\|x\|}{\sqrt n}\right)^n.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 691]
|
||
Soient $A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. Déterminer le
|
||
minimum de $g(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 692]
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||
Étudier les extrema locaux de $f(x,y)=x\sin(xy)+y^2/2$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 693]
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||
Soit $f(x,y)=x^y-xy$ sur $\R_+^*\times\R$. Déterminer les extrema de $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 694]
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Posons $D=\{(x,y)\in\R^2\mid xy>-1\}$ et $\Delta=\{(x,y)\mid xy=0\}$.
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||
1. Représenter $D,\Delta$ et dire s'ils sont ouverts ou fermés.
|
||
2. Pour $f(x,y)=\ln(1+xy)/(xy)$, montrer qu'on peut prolonger $f$ en
|
||
une fonction $C^\infty$ sur $D$.
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3. Calculer $df(0,0)$. La fonction atteint-elle un extremum local en $(0,0)$ ?
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 695]
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Soit $f:M\mapsto MM^T$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ dans $\mathcal{S}_n(\R)$.
|
||
1. Montrer que $df(M)$ est surjective si $M$ est inversible.
|
||
2. Pour la restriction $g=f|_{\mathcal{S}_n(\R)}$, si $M$ est symétrique
|
||
inversible, $dg(M)$ est-elle surjective ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 696]
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||
Déterminer l'espace tangent à $\operatorname{SL}_n(\R)$ en $I_n$, puis
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en un point quelconque.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 697]
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||
1. Calculer la différentielle de $\det:\mathcal{M}_n(\R)\to\R$ en $I_n$.
|
||
2. Montrer de deux façons que $\det$ n'atteint pas d'extremum local en $I_n$.
|
||
3. Que peut-on dire d'un éventuel extremum local de $\det$ ?
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||
4. Pour $1\leq r<n$, expliciter une matrice simple de rang $r$.
|
||
La fonction $\det$ y atteint-elle un extremum local ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 698]
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||
Soit
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$$D=\left\{x\in(\R_+^*)^n\mid\sum_{i=1}^nx_i^4<16,\quad
|
||
\sum_{i=1}^nx_i>1\right\}.$$
|
||
Si $f:D\to\R$ vérifie $|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$ pour tous $x,y\in D$,
|
||
que peut-on dire de $f$ ?
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 699]
|
||
Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^1$.
|
||
1. Si $f(x)\to+\infty$ lorsque $\|x\|\to+\infty$, montrer que $f$
|
||
atteint un minimum.
|
||
2. Si $f(x)/\|x\|\to+\infty$, montrer que $\nabla f$ est surjective.
|
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 700]
|
||
Soit $U$ un ouvert non vide de $\R^n$ et $f:U\to\R$. On suppose que,
|
||
pour chaque $x\in U$, il existe $\alpha_x\in\mathcal{L}(\R^n,\R)$ tel que
|
||
$$|f(y)-f(x)-\alpha_x(y-x)|\leq\|y-x\|^2\quad(y\in U).$$
|
||
1. Montrer que $f$ est différentiable et préciser $df$.
|
||
2. Si $U=\R^n$, montrer qu'il existe $C>0$ tel que
|
||
$$|df(x)h-df(y)h|\leq C(\|h\|^2+\|h\|\|x-y\|+\|x-y\|^2),$$
|
||
puis en déduire que $df$ est lipschitzienne.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 701]
|
||
Soit $f:\R^n\to\R$ différentiable et minorée. Montrer que, pour tout
|
||
$\varepsilon>0$, il existe $x_\varepsilon$ tel que
|
||
$$|d_{x_\varepsilon}f(h)|\leq\varepsilon\|h\|\quad(h\in\R^n).$$
|
||
Indication : considérer $x\mapsto f(x)+\varepsilon\|x\|$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 702]
|
||
Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$.
|
||
1. Pour $x\in\R^n$, exprimer $t\mapsto f(tx)$ avec le gradient et la
|
||
hessienne de $f$.
|
||
2. Si, en tout point, les valeurs propres de la hessienne sont dans
|
||
$[1,+\infty[$, montrer que
|
||
$$f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\frac12x^Tx,$$
|
||
que $f$ admet un minimum et que $\nabla f$ est bijective de $\R^n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 703]
|
||
Soit $m\geq1$ et $S^m=\{x\in\R^{m+1}\mid\|x\|=1\}$.
|
||
1. Pour $a\in S^m$, montrer que $T_aS^m=\operatorname{Vect}(a)^\perp$.
|
||
2. Si $f:\R^{m+1}\to\R$ est $C^1$ et $f(a)=\max_{x\in S^m}f(x)$,
|
||
montrer que $\nabla f(a)\in\R a$.
|
||
3. En déduire qu'un endomorphisme symétrique réel possède un vecteur
|
||
propre, puis établir le théorème spectral.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 704]
|
||
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne. Soient $a\in\R^n$, $r>0$,
|
||
et $f$ continue sur la boule fermée $B(a,r)$, de classe $C^2$ dans son
|
||
intérieur. Posons $\Delta f=\sum_i\partial_{x_i}^2f$.
|
||
1. Montrer que $f$ atteint un maximum sur la boule et sur la sphère.
|
||
2. Si $\Delta f>0$, montrer que les maxima sur la boule et la sphère
|
||
sont égaux.
|
||
3. Étendre au cas $\Delta f\geq0$ en considérant
|
||
$f_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\|x-a\|^2$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
** Géométrie
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 705]
|
||
Sur un cercle de centre $O$, on place trois arcs $\widehat{AB}$,
|
||
$\widehat{CD}$ et $\widehat{EF}$ d'angle au centre $\pi/3$. Soient
|
||
$M,N,P$ les milieux de $[BC],[DE],[AF]$. Montrer que $MNP$ est équilatéral.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
** Probabilités
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 706]
|
||
Un immeuble a $n$ étages. Au rez-de-chaussée, $p$ personnes montent dans
|
||
un ascenseur et choisissent indépendamment et uniformément un étage parmi
|
||
les $n$. Calculer l'espérance et la variance du nombre d'arrêts.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 707]
|
||
Deux sacs contiennent chacun les boules numérotées de $1$ à $n$. À chaque
|
||
étape, on tire simultanément une boule de chaque sac, sans remise. Soit
|
||
$X_n$ le premier tirage après lequel un numéro a été tiré deux fois depuis
|
||
le début.
|
||
1. Déterminer $\P(X_n\geq k)$.
|
||
2. Pour $k$ fixé, donner un équivalent de $\P(X_n=k)$ lorsque $n\to+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 708]
|
||
Une urne contient $a$ boules rouges, $b$ blanches, $c$ noires. On tire
|
||
avec remise jusqu'au premier tirage blanc. Soit $X$ le nombre de boules
|
||
rouges tirées. Déterminer la loi de $X$ et son espérance.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 709]
|
||
On lance une pièce infiniment souvent, avec probabilité $p\in]0,1[$ de
|
||
Pile à chaque lancer. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ l'événement que les
|
||
lancers $n-1,n$ soient Pile et qu'aucune paire consécutive de Pile ne soit
|
||
apparue auparavant. Posons $a_n=\P(A_n)$.
|
||
1. Calculer $a_2,a_3,a_4$.
|
||
2. Pour $n\geq4$, trouver une relation entre $a_n,a_{n-1},a_{n-2}$.
|
||
3. Déterminer $\P(\bigcup_{n\geq2}A_n)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 710]
|
||
Soit $E=A\sqcup B$, avec $|A|=a$, $|B|=b$.
|
||
1. Construire une bijection entre les parties à $n$ éléments de $E$ et
|
||
$\bigcup_{k=0}^n\mathcal{P}_k(A)\times\mathcal{P}_{n-k}(B)$.
|
||
2. En déduire l'identité de Vandermonde
|
||
$$\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}.$$
|
||
3. Deux joueurs lancent chacun $n$ fois une pièce équilibrée.
|
||
Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la valeur absolue de
|
||
la différence de leurs nombres de Pile.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 711]
|
||
Une urne contient les boules numérotées de $1$ à $n$. On effectue $n$
|
||
tirages sans remise. Il y a rencontre à l'instant $k$ si la boule tirée
|
||
porte le numéro $k$. Soit $p_n$ la probabilité de n'avoir aucune rencontre,
|
||
avec $p_0=1$.
|
||
1. Montrer que $\sum_{k=0}^n\binom n{n-k}p_k=1$.
|
||
2. En déduire une expression simplifiée de $p_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 712]
|
||
1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$
|
||
telle que $\P(X=k)=(k-1)/2^k$.
|
||
2. Calculer son espérance et sa variance, sous réserve d'existence.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 713]
|
||
Soit $\theta\in]0,\pi/2[$.
|
||
1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$
|
||
telle que
|
||
$$\P(X=n)=\frac{\cos\theta}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
|
||
(\sin\theta\sin t)^n dt.$$
|
||
2. Calculer son espérance et sa variance.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 714]
|
||
Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et
|
||
$\theta_n=\P(T=n\mid T\geq n)$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n$.
|
||
1. Montrer que $\theta_n\in[0,1[$.
|
||
2. Exprimer $\P(T\geq n)$ avec les $\theta_n$ et montrer que $\sum\theta_n$
|
||
diverge.
|
||
3. Réciproquement, pour toute suite $\theta_n\in[0,1[$ de somme
|
||
divergente, peut-on construire une telle variable $T$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 715]
|
||
Une expression bien parenthésée de longueur $2n$ est une suite de $n$
|
||
parenthèses ouvrantes et $n$ fermantes telle que tout préfixe contient
|
||
au moins autant d'ouvrantes que de fermantes. Notons $C_n$ leur nombre,
|
||
avec $C_0=1$.
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||
1. Montrer que $C_{n+1}=\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$.
|
||
2. Pour $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}C_nx^n$, montrer que son rayon $R>0$
|
||
et établir une relation entre $f$ et $f^2$ sur $]-R,R[$.
|
||
3. Donner une expression de $C_n$.
|
||
4. Pour $n$ fixé, quelle est l'espérance du nombre d'expressions bien
|
||
parenthésées parmi 1400 tirages uniformes indépendants ?
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||
5. Sans limiter le nombre de tirages, calculer le temps moyen d'attente
|
||
de la première expression bien parenthésée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 716]
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||
Soient $a\in]0,1[$ et $b>0$. On considère un couple $(X,Y)$ à valeurs dans
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||
$\N^2$, de loi jointe
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$$\P(X=n,Y=k)=e^{-b}\frac{b^n}{k!(n-k)!}a^k(1-a)^{n-k}$$
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||
pour $0\leq k\leq n$, et nulle sinon.
|
||
1. Déterminer la loi de $X$, puis son espérance et sa variance.
|
||
2. Montrer que $Y\sim\mathcal P(ab)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles
|
||
indépendantes ?
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3. Déterminer la loi de $X-Y$ et vérifier que $Y$ et $X-Y$ sont
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indépendantes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 717]
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Soit $G$ un groupe fini. On munit $\Omega=G^2$ de la probabilité uniforme,
|
||
et l'on pose $C=\{(x,y)\in G^2\mid xy=yx\}$ et $p=\P(C)$.
|
||
1. Montrer que $p>0$. Que dire si $p=1$ ?
|
||
2. Calculer $p$ pour $G=S_3$ et $G=S_4$.
|
||
3. On définit $x\sim y$ si et seulement s'il existe $g\in G$ tel que
|
||
$x=gyg^{-1}$. Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence et que
|
||
le nombre $s$ de ses classes vérifie $s=p|G|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 718]
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Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique
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||
de paramètre $p\in]0,1[$. Calculer $\P(X^Y\leq Y^X)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 719]
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||
Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle à valeurs dans $[a,b]$.
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||
1. Montrer que $X\in L^2$ et que $V(X)\leq\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$.
|
||
2. Caractériser le cas d'égalité.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 720]
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||
Soient $p\in]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire de loi géométrique de
|
||
paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\frac{X+1}{2}\right\rfloor$.
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||
1. Montrer que $Y$ suit une loi géométrique.
|
||
2. Montrer que $Y$ et $2Y-X$ sont indépendantes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 721]
|
||
Soit $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de variables de Rademacher. Pour
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||
$n\geq1$, on pose $Y_n=\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^nX_k$ et
|
||
$f_n(t)=\E(e^{itY_n})$ pour $t\in\R$. Montrer que $(f_n)$ converge vers
|
||
une limite à préciser.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 722]
|
||
Soit $(A_\lambda)_{\lambda>0}$ une famille de variables aléatoires telle
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que $A_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ pour tout $\lambda>0$. Montrer qu'il
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||
existe un automorphisme $u$ de $\R[X]$ tel que, pour tous $\lambda>0$ et
|
||
$P\in\R[X]$,
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||
$$\E(P(A_\lambda))=u(P)(\lambda).$$
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 723]
|
||
Soient $1\leq i\leq p\leq n$. Une urne contient $n$ jetons numérotés de
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||
1 à $n$. On tire uniformément une poignée de $p$ jetons et l'on note $X_i$
|
||
le numéro du $i$-ième jeton dans l'ordre croissant.
|
||
1. Déterminer la loi de $X_i$.
|
||
2. Calculer $\E(X_i)$ puis $V(X_i)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 724]
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||
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de
|
||
même espérance et de même variance. On pose
|
||
$M_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)$. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que,
|
||
pour tout $\varepsilon>0$,
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||
$$\P(|M_n-\ell|\geq\varepsilon)\longrightarrow0.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 725]
|
||
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose qu'il existe
|
||
$\alpha,\beta\in\R^*$ tels que $\alpha/\beta\notin\Q$ et
|
||
$$\left|\E(e^{i\alpha X})\right|=\left|\E(e^{i\beta X})\right|=1.$$
|
||
Montrer que $X$ est presque sûrement constante.
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 726]
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||
Soit $f:\R_+\to\R$ continue et bornée. Pour $h>0$, on pose $u_0^h=f$ et,
|
||
pour $n\in\N$ et $x\in\R_+$,
|
||
$$u_{n+1}^h(x)=\frac{u_n^h(x+h)-u_n^h(x)}h.$$
|
||
1. Donner une expression de $u_n^h(x)$ à l'aide des valeurs de $f$. On pose
|
||
$a_n^h=u_n^h(0)$. Montrer que
|
||
$S(h,x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^h\frac{x^n}{n!}$ est bien définie et
|
||
exprimer cette somme à l'aide d'une variable de loi de Poisson de
|
||
paramètre $x/h$.
|
||
2. Montrer que, pour tout $x\in\R_+$, $S(h,x)\to f(x)$ quand $h\to0^+$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 727]
|
||
Soit $(X_i)_{i\geq1}$ une suite i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et
|
||
$S_k=X_1+\cdots+X_k$.
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||
1. Montrer que, pour $k\geq1$ et $s,t>0$,
|
||
$\P(e^{tS_k}\geq e^{ts})\leq e^{-ts}\operatorname{ch}^k(t)$.
|
||
2. En déduire que, pour tous $s>0$ et $k\geq1$,
|
||
$\P(|S_k|>s)\leq2e^{-s^2/(2k)}$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 728]
|
||
Soient $n\geq2$, $p,q\in]0,1[$ et $(X,Y)$ deux variables indépendantes
|
||
de lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Calculer
|
||
$\P(X\equiv Y\ [n])$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 729]
|
||
Soit $f:[0,1]\to\R$ continue.
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||
1. Montrer que
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||
$$\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1n f\left(\frac kn\right)\right)
|
||
\longrightarrow\int_0^1f.$$
|
||
2. Soit $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables indépendantes telles que
|
||
$\P(X_k=0)=1-1/k$ et $\P(X_k=k)=1/k$. On pose
|
||
$S_n=X_1+\cdots+X_n$. Pour $a>0$, calculer la limite de
|
||
$\E(e^{aS_n/n})$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 730]
|
||
Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes de loi géométrique de
|
||
paramètre $p\in]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix}X&Y\\Y&X\end{pmatrix}$.
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||
1. Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
|
||
2. Justifier que $M$ admet deux valeurs propres réelles $v_1\leq v_2$ et
|
||
calculer leur covariance. Ces variables sont-elles indépendantes ?
|
||
3. Déterminer la loi de $X+Y$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 731]
|
||
Soient $p\in]0,1[$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables indépendantes de
|
||
Bernoulli de paramètre $p$. On pose $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$.
|
||
1. Déterminer les lois de $\operatorname{tr}(M)$ et de $\operatorname{rg}(M)$.
|
||
2. Quelle est la probabilité que $M$ soit une matrice de projection ?
|
||
3. Pour $n=2$, on pose $V=(1,1)^T$ et $S=V^TMV$. Calculer $\E(S)$ et
|
||
$V(S)$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 732]
|
||
Soit $n\geq1$ et $J=(J_{i,j})\in M_n(\C)$ définie par
|
||
$J_{i+1,i}=1$, $J_{1,n}=1$ et $J_{i,j}=0$ sinon.
|
||
1. Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $J$.
|
||
Soient ensuite $X_0,\ldots,X_{n-1}$ i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$,
|
||
et $M$ la matrice circulante dont la première ligne est
|
||
$(X_0,X_{n-1},\ldots,X_1)$.
|
||
2. Exprimer $M$ en fonction de $J$.
|
||
3. Pour $n=2$, calculer $\P(M\in GL_2(\C))$.
|
||
4. Déterminer le spectre de $M$.
|
||
5. On suppose $n$ premier et on admet que $1+X+\cdots+X^{n-1}$ est
|
||
irréductible sur $\Q$. Déterminer $\P(M\in GL_n(\C))$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 733]
|
||
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $\N$. Pour $n\geq1$,
|
||
on pose $C_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. Montrer que $\E(C_n)=o(n)$ quand
|
||
$n\to+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 734]
|
||
Soit $a\in]1/2,1[$ et, pour $n\in\N$,
|
||
$$I_n=\left\{k\in\{0,\ldots,n\}:\left|k-\frac n2\right|
|
||
\leq\frac{n^a}{2}\right\}.$$
|
||
1. Montrer que $|I_n|=o(n)$ et déterminer la limite de
|
||
$2^{-n}\sum_{k\in I_n}\binom nk$.
|
||
2. Pour une suite quelconque de parties $I_n\subset\{0,\ldots,n\}$,
|
||
a-t-on équivalence entre $|I_n|=o(n)$ et
|
||
$\sum_{k\in I_n}\binom nk=o(2^n)$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 735]
|
||
Une suite $(Z_i)_{i\in\N}$ de variables aléatoires à valeurs dans $\Z$
|
||
est dite transiente si, pour toute partie bornée $A$ de $\Z$,
|
||
$\sum_{i=0}^{+\infty}\P(Z_i\in A)<+\infty$.
|
||
1. Soit $\alpha>0$ et $(X_i)_{i\geq1}$ indépendantes, avec
|
||
$X_i\sim\mathcal P(\alpha/i)$. Déterminer la loi de
|
||
$Y_n=X_1+\cdots+X_n$ et dire si $(Y_n)$ est transiente.
|
||
2. Soit $p\in]0,1[$ et $(Z_i)_{i\in\N}$ i.i.d. avec
|
||
$\P(Z_1=1)=1-\P(Z_1=-1)=p$. La suite
|
||
$T_n=Z_0+\cdots+Z_n$ est-elle transiente ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 736]
|
||
On considère $n\geq1$ sièges numérotés en rangée. Des personnes entrent
|
||
successivement et s'assoient sur un siège libre n'ayant pas de voisin,
|
||
jusqu'à ce que cela ne soit plus possible. Soit $X_n$ le nombre de sièges
|
||
occupés à la fin, et posons $X_0=X_{-1}=0$. On suppose les $X_n$ indépendantes.
|
||
1. Soit $Y$ le numéro du siège choisi par la première personne.
|
||
a) Expliquer que, pour $1\leq j,k\leq n$,
|
||
$\P(X_n=k\mid Y=j)=\P(X_{j-2}+X_{n-j-1}=k-1)$.
|
||
b) Montrer que $\E(X_n)=1+\frac2n\sum_{j=0}^{n-2}\E(X_j)$.
|
||
2. On pose $u_i=\sum_{j=0}^i\E(X_j)$ et
|
||
$f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}u_i\frac{x^i}{i!}$.
|
||
a) Établir une relation entre $u_n,u_{n+1},u_{n+2}$.
|
||
b) Montrer que la série entière définissant $f$ a un rayon non nul.
|
||
c) Trouver une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiée par $f$.
|
||
d) Déterminer $(u_n)$ puis un équivalent de $\E(X_n)$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 737]
|
||
Soit $\alpha\in\R$.
|
||
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une
|
||
variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que
|
||
$G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$.
|
||
2. Si cette condition est vérifiée, calculer $\E(X)$ et $V(X)$, puis
|
||
montrer que $\P(X=n)=O\left(\frac{n^{\lfloor\alpha\rfloor}}{2^n}\right)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 738]
|
||
Soit $a>0$ et $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que
|
||
$\P(X=n)=\frac{a}{n(n+1)}$ pour $n\geq1$.
|
||
1. Déterminer $a$.
|
||
2. $X$ admet-elle une espérance finie ? une variance ?
|
||
3. Expliciter sa fonction génératrice.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 739]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{e^t-x}}$ pour $x\in]-1,1[$.
|
||
Soient $\lambda>0$ et $X\sim\mathcal P(\lambda)$.
|
||
1. Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$, puis
|
||
déterminer la loi de $Y=f^{(X)}(0)$.
|
||
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\E(Y)$ soit
|
||
finie et, dans ce cas, montrer que
|
||
$\E(Y)=\frac{2e^{-\lambda}\arcsin(\sqrt\lambda)}{\sqrt\lambda}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 740]
|
||
On pose $f(x)=\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}t\,dt$ et, pour $n\in\N$,
|
||
$p_n=\int_n^{n+1}f$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $p_n$ est
|
||
définie pour tout $n\in\N$.
|
||
2. Existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que
|
||
$\P(X=n)=p_n$ ?
|
||
3. Si oui, $X$ est-elle d'espérance finie ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 741]
|
||
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $\N$ et d'espérance
|
||
finie. Soit $T$ une variable à valeurs dans $\N$, indépendante des $X_n$
|
||
et d'espérance finie. On pose $Y=\sum_{i=1}^T X_i$. Montrer que $Y$ est
|
||
d'espérance finie et calculer $\E(Y)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 742]
|
||
Soit $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables de Poisson indépendantes,
|
||
avec $X_i\sim\mathcal P(\lambda_i)$ et $\lambda_i>0$.
|
||
1. Déterminer la loi de $X_1+X_2$.
|
||
2. On suppose $\sum_i\lambda_i$ convergente. Montrer que
|
||
$\P(\bigcap_{n\geq0}\bigcup_{i\geq n}(X_i\neq0))=0$, puis que
|
||
$\sum_iX_i$ converge presque sûrement.
|
||
3. Soit $Y$ indépendante des $X_i$, de loi de Poisson de paramètre
|
||
$\lambda=\sum_{i=0}^{+\infty}\lambda_i$. Montrer que, pour $n\in\N$
|
||
et $t\in[0,1]$,
|
||
$$|G_{X_0+\cdots+X_n}(t)-G_Y(t)|\leq\sum_{i=n+1}^{+\infty}\lambda_i,$$
|
||
puis que $\sum_{i=0}^{+\infty}X_i\sim\mathcal P(\lambda)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
* Mines-Ponts PSI 2026
|
||
** Algèbre
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 743]
|
||
Soit $P\in\R[X]$. Montrer qu'il existe un unique $Q\in\R[X]$ tel que
|
||
$Q(0)=0$ et $Q(X+1)-Q(X)=P(X)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 744]
|
||
Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples. Montrer que, pour tout $x\in\R$,
|
||
$$P'(x)^2-P''(x)P(x)>0.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 745]
|
||
Pour $n\geq1$, soit $h(n)$ le plus petit entier $k$, s'il existe, tel que
|
||
pour tout $g\in\C[X]$, il existe $f_1,\ldots,f_k\in\C[X]$ vérifiant
|
||
$g=f_1^n+\cdots+f_k^n$.
|
||
1. Peut-on se contenter de vérifier la propriété pour un polynôme $g$
|
||
particulier pour établir l'existence de $h(n)$ ?
|
||
2. Déterminer $h(2)$.
|
||
3. Montrer que $h(n)\geq3$ si $n\geq3$.
|
||
4. Montrer que $h(n)\leq n$ pour tout $n\geq1$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 746]
|
||
Soient $A\in M_{3,2}(\R)$ et $B\in M_{2,3}(\R)$ telles que
|
||
$AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. Que vaut $BA$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 747]
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||
Résoudre dans $M_2(\R)$ l'équation
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||
$$X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 748]
|
||
Soient $A,B\in M_n(\R)$ telles que $A$ et $B$ commutent et $B$ est
|
||
nilpotente. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$.
|
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#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 749]
|
||
Soient $A,B\in M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $n+1$ complexes distincts
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||
$\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $A+\alpha_iB$ soit nilpotente pour
|
||
chaque $i$.
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||
1. Montrer que si $N\in M_n(\C)$ est nilpotente, alors $N^n=0$.
|
||
2. Montrer que $(A+\alpha B)^n=0$ pour tout $\alpha\in\C$.
|
||
3. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 750]
|
||
Soit $n\geq1$.
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||
1. Montrer que $M_n(\R)=\Vect(I_n)\oplus\Ker(\operatorname{Tr})$.
|
||
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour qu'il existe
|
||
$A,B\in M_n(\R)$ tels que $(AB-BA)^2=I_n$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 751]
|
||
Soient $m\geq1$ et $A\in M_m(\R)$ tels que $A^{m-1}\neq0$ et $A^m=0$.
|
||
On pose $L=\{M\in M_m(\R):AM=MA\}$.
|
||
1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^m$ tel que
|
||
$(x_0,Ax_0,\ldots,A^{m-1}x_0)$ soit une base de $\R^m$.
|
||
2. En déduire que $(I_m,A,\ldots,A^{m-1})$ est une base de $L$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 752]
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Soit $p\geq1$ et $E_p$ l'ensemble des suites complexes $p$-périodiques.
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1. Montrer que $E_p$ est un $\C$-espace vectoriel et donner sa dimension.
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||
2. Donner une base de $E_p$ constituée de suites géométriques.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 753]
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Une fonction $f\in C^0([0,1],\R)$ est dite affine par morceaux s'il existe
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une subdivision $0=a_0<a_1<\cdots<a_n=1$ telle que $f$ soit affine sur
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chaque $[a_i,a_{i+1}]$. On note $A$ l'ensemble de ces fonctions.
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||
1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $C^0([0,1],\R)$.
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||
2. Pour $a\in[0,1]$, poser $f_a(x)=|x-a|$. Montrer que la famille
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$(f_a)_{a\in[0,1]}$ est libre.
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3. Déterminer une base de $A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 754]
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Dans $M_n(\Z)$, on note $GL_n(\Z)$ les matrices inversibles dont l'inverse
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est aussi à coefficients entiers. Soient $A,B\in M_2(\Z)$ tels que
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$A+kB\in GL_2(\Z)$ pour $1\leq k\leq5$.
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||
1. Montrer que $A\in GL_2(\Z)$.
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||
2. Est-ce que $B$ est inversible ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 755]
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||
Soit $P\in GL_n(\R)$ et $\varphi_P:M_n(\R)\to M_n(\R)$ définie par
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||
$\varphi_P(M)=P^{-1}MP$. Calculer le déterminant et la trace de
|
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l'endomorphisme $\varphi_P$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 756]
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On considère $E=M_n(\C)$ et $E^*=\mathcal L(E,\C)$.
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1. Pour $A\in M_n(\C)$, poser $L_A(M)=\operatorname{Tr}(AM)$.
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a) Montrer que $L_A$ est une forme linéaire.
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||
b) Montrer que $L:A\mapsto L_A$ est un isomorphisme de $E$ sur $E^*$.
|
||
c) En déduire une caractérisation des hyperplans de $E$.
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||
2. Soit $T$ triangulaire supérieure et $H=\Ker(L_T)$. On note $T_n^+$
|
||
et $T_n^-$ les sous-espaces des matrices triangulaires strictement
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supérieure et inférieure.
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a) Déterminer $H\cap T_n^+$.
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||
b) Déterminer la dimension de $H\cap T_n^-$.
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c) Montrer que les matrices de $T_n^+\cup T_n^-$ sont nilpotentes.
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||
3. Montrer que tout hyperplan de $E$ contient au moins $n^2-n-1$
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matrices nilpotentes linéairement indépendantes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 757]
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1. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$
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nilpotent. Montrer que son indice de nilpotence est inférieur ou égal à
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$\dim E$.
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2. Soient $E=\R[X]$ et $D:P\mapsto P'$. On suppose qu'il existe
|
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$f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2=D$.
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a) Montrer que $\R_n[X]$ est stable par $D$ et par $f$.
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||
b) Montrer que les restrictions de $f$ et $D$ à $\R_n[X]$ sont
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nilpotentes. Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 758]
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Soit $P\in GL_n(\C)$, écrit $P=Q+iR$ avec $Q,R\in M_n(\R)$.
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1. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $Q+\lambda R\in GL_n(\R)$.
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||
2. En déduire que deux matrices réelles semblables dans $M_n(\C)$ le sont
|
||
aussi dans $M_n(\R)$.
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||
3. Soient $A,B\in M_n(\R)$ tels que $A^3=B^3=I_n$ et
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$\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(B)$. Montrer que $A$ et $B$
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sont semblables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 759]
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Soit $a\in\R$ et
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$$M(a)=\begin{pmatrix}1&-1&a\\-1&1&-a\\a&-a&2-a\end{pmatrix}.$$
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Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme de $\R^3$ associé.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 760]
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Soit
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$$M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\1&\ddots&&\vdots\\
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||
0&\ddots&0&a_n\\b_1&\cdots&b_n&0\end{pmatrix}\in M_{n+1}(\C).$$
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||
Étudier la diagonalisabilité de $M$ en fonction de
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||
$a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in\C$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 761]
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Soient $n\geq3$ et $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=1$ si
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||
$i=j$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon.
|
||
1. Déterminer $A^k$.
|
||
2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
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||
3. Trouver un polynôme annulateur de degré 3 de $A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 762]
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||
Soit $n\geq3$. Diagonaliser la matrice $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie
|
||
par $a_{n,i}=a_{i,n}=1$ pour $1\leq i\leq n$, les autres coefficients
|
||
étant nuls.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 763]
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||
Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=\sin(i+j)$.
|
||
1. Quel est le rang de $A$ ?
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||
2. Déterminer ses valeurs propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 764]
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||
Trouver les éléments propres de la matrice
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$M=(i+j)_{1\leq i,j\leq n}\in M_n(\R)$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 765]
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||
Soient $n\geq2$ et $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$ définie par
|
||
$a_{i,j}=\delta_{i+1,j}$ si $i<n$ et $a_{n,j}=\delta_{1,j}$.
|
||
1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
|
||
2. Soit $p\geq2$ et $B=\sum_{k=0}^{p-1}A^k$. Trouver une condition
|
||
nécessaire et suffisante sur $n,p$ pour que $B$ soit inversible.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 766]
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Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB-BA=B$.
|
||
1. Montrer que $\operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX)$ pour tous
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||
$X,Y\in M_n(\C)$.
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||
2. Montrer que, pour tout $k\in\N$, $AB^k-B^kA=kB^k$.
|
||
3. En déduire que $B$ est nilpotente.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 767]
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Soit $M=(m_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $m_{i,j}=-2$ si $i=j$,
|
||
$m_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$, et $m_{i,j}=0$ sinon. On pose $T=M+2I_n$.
|
||
1. Montrer que $M$ est diagonalisable.
|
||
2. Exprimer le spectre de $T$ en fonction de celui de $M$ et comparer
|
||
leurs sous-espaces propres.
|
||
3. Soit $\mu\in\operatorname{Sp}(T)$.
|
||
a) Montrer qu'il existe $i\in\{1,\ldots,n\}$ tel que
|
||
$|t_{i,i}-\mu|\leq\sum_{j\neq i}|t_{i,j}|$.
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||
b) Montrer qu'il existe $\alpha\in[0,\pi]$ tel que $\mu=2\cos\alpha$.
|
||
c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
|
||
$X=(x_1,\ldots,x_n)^T$ soit un vecteur propre de $T$ associé à $\mu$.
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d) Qu'en déduire pour $\alpha$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 768]
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1. Soient $B\in M_n(\R)$ et $P\in\C[X]$ non constant. Montrer que si
|
||
$B$ est diagonalisable alors l'équation $P(X)=B$ admet au moins une
|
||
solution dans $M_n(\C)$.
|
||
2. Soient $n\geq3$ et $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,i+1}=1$ pour
|
||
$1\leq i<n$, les autres coefficients étant nuls. Que dire de
|
||
l'équation $X^2=B$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 769]
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||
Soit $(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_1,\beta_0)\in\R^5$ tel que
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||
$k\alpha_2+\beta_1\neq0$ pour tout $k\in\N$. On pose $E_n=\R_n[X]$ et
|
||
$$f_n(P)=(\alpha_2X^2+\alpha_1X+\alpha_0)P''
|
||
+(\beta_1X+\beta_0)P'.$$
|
||
1. Montrer que $f_n\in\mathcal L(E_n)$. Est-ce un automorphisme ?
|
||
2. Exprimer la matrice de $f_n$ dans la base canonique
|
||
$(1,X,\ldots,X^n)$.
|
||
3. L'application $f_n$ est-elle diagonalisable ?
|
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 770]
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||
Soit $A\in M_n(\R)$ admettant $n$ valeurs propres réelles distinctes.
|
||
Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ et
|
||
$M_1,\ldots,M_n\in\Vect(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ tels que, pour tout
|
||
$p\in\N$, $A^p=\sum_{k=1}^n\alpha_k^pM_k$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 771]
|
||
Soient $A\in M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}$.
|
||
1. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $M$ si et seulement si
|
||
$\lambda^2$ est valeur propre de $A$.
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||
2. À quelle condition $M$ est-elle diagonalisable ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 772]
|
||
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geq2$ et
|
||
$f_1,\ldots,f_n\in\mathcal L(E)$ tels que $\sum_{i=1}^nf_i=\operatorname{id}$
|
||
et $f_i\circ f_j=0$ si $i\neq j$. Pour
|
||
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$, montrer que
|
||
$g=\sum_{i=1}^n\lambda_if_i$ est diagonalisable.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 773]
|
||
Soient $A,B\in M_n(\C)$ et $T_{A,B}:M\mapsto AM-MB$.
|
||
1. Montrer que $T_{A,B}$ est linéaire et donner $T_{A,B}(E_{i,j})$.
|
||
On pose $\Phi:(A,B)\mapsto T_{A,B}$.
|
||
2. Déterminer $\Ker\Phi$. L'application $\Phi$ est-elle injective ?
|
||
3. Est-elle surjective ?
|
||
4. Donner $\operatorname{Tr}(T_{A,B})$ en fonction de $A,B$.
|
||
5. Déterminer $\det(T_{A,B})$. On pourra commencer par supposer $A,B$
|
||
diagonalisables.
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 774]
|
||
Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $\det(A)=32$ et
|
||
$A^2-6A+8I_n=0$. On considère $\varphi_A:B\mapsto AB$.
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||
1. Quelles sont les valeurs possibles de $n$ ? Déterminer $\operatorname{Tr}(A)$
|
||
selon ces valeurs de $n$.
|
||
2. $\varphi_A$ est-il diagonalisable ?
|
||
3. Déterminer $\operatorname{Sp}(\varphi_A)$ et la dimension de chacun
|
||
de ses espaces propres.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 775]
|
||
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in GL(E)$.
|
||
On suppose que, pour tout $x\in E$, l'ensemble $\{u^k(x):k\in\N\}$ est
|
||
fini. Montrer qu'il existe $n\geq1$ tel que $u^n=\operatorname{id}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 776]
|
||
Soient $n\geq1$, $A,B\in M_n(\C)$ et $r\in\{0,\ldots,n\}$. Montrer
|
||
l'équivalence entre l'existence d'une solution de rang $r$ à $AX=XB$ et
|
||
l'existence de valeurs propres distinctes communes
|
||
$\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ de $A$ et $B$ telles que
|
||
$$\dim E_{\lambda_k}(A)=\dim E_{\lambda_k}(B)\quad(1\leq k\leq s),
|
||
\qquad\sum_{k=1}^s\dim E_{\lambda_k}(A)=r.$$
|
||
Indication : étudier les éléments propres de $B^T$ pour le sens direct ;
|
||
pour la réciproque, utiliser qu'une matrice $M$ est de rang $r$ si et
|
||
seulement si $M=PJ_rQ$ pour des $P,Q$ inversibles, avec
|
||
$J_r=\operatorname{diag}(I_r,0)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 777]
|
||
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien.
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||
1. Pour $a\in E$, on définit $\varphi_a(x)=\langle a,x\rangle$.
|
||
Montrer que $a\mapsto\varphi_a$ est un isomorphisme entre $E$ et
|
||
$\mathcal L(E,\R)$.
|
||
2. Montrer qu'il existe un unique $A\in\R_2[X]$ tel que, pour tout
|
||
$P\in\R_2[X]$, $P(1/2)=\int_{-1}^1A(t)P(t)dt$. Déterminer $A$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 778]
|
||
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
|
||
$n\geq2$, et $H_1,H_2$ deux hyperplans distincts. Choisir des vecteurs
|
||
unitaires $e_k\in H_k^\perp$ et poser
|
||
$f_k(x)=x-2\langle e_k,x\rangle e_k$.
|
||
1. Décrire géométriquement $f_1,f_2$ et montrer que
|
||
$H_1\cap H_2=\{x:f_1(f_2(x))=x\}$.
|
||
2. Poser $F=H_1^\perp+H_2^\perp$. Montrer que cette somme est directe,
|
||
que $(f_1\circ f_2)(F)\subset F$, et justifier qu'il existe $e$ tel
|
||
que $(e_1,e)$ soit une base orthonormale de $F$.
|
||
3. Montrer qu'il existe une unique rotation $r$ de $F$ telle que
|
||
$r(e_1)=e_2$. Donner la matrice dans la base $(e_1,e)$ de l'endomorphisme
|
||
de $F$ induit par $f_2\circ f_1$, à l'aide de $r$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 779]
|
||
Soient $n\geq2$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$. On pose
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||
$$V^\circ=\{M\in M_n(\R):\forall A\in V,\ \operatorname{Tr}(AM)=0\}.$$
|
||
1. Montrer que $V^\circ$ est un sous-espace vectoriel.
|
||
2. Exprimer $\dim V^\circ$ en fonction de $\dim V$.
|
||
3. Si $V$ est le sous-espace des matrices triangulaires supérieures,
|
||
déterminer $V^\circ$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 780]
|
||
Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien réel,
|
||
$n\geq1$ et $(x_1,\ldots,x_n)\in E^n$. Poser
|
||
$M=(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$ et $G(x_1,\ldots,x_n)=\det M$.
|
||
1. Montrer que $G(x_1,\ldots,x_n)\neq0$ si et seulement si
|
||
$(x_1,\ldots,x_n)$ est libre.
|
||
2. Soit $F=\Vect(x_1,\ldots,x_n)$ et $x\in E$. Montrer que
|
||
$G(x_1,\ldots,x_n,x)=d(F,x)^2G(x_1,\ldots,x_n)$.
|
||
3. En déduire $\inf_{a,b\in\R}\int_0^1(x^2+ax+b)^2dx$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 781]
|
||
On note $E=\R^\N$, l'espace vectoriel des suites réelles, et on définit
|
||
$D:E\to E$ par $D((u_n)_{n\in\N})=(u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$.
|
||
1. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$. Étudier son injectivité
|
||
et sa surjectivité.
|
||
2. Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
|
||
3. On pose $F=\{(u_n)\in E:\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2<+\infty\}$ et,
|
||
pour $u,v\in F$, $\varphi(u,v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$.
|
||
Montrer que $F$ est stable par $D$ et que $\varphi$ est un produit
|
||
scalaire sur $F$.
|
||
4. Montrer que
|
||
$$\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2}:u\in F\setminus\{0\}\right\}=]-2,0[.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 782]
|
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Un tournoi réunit les joueurs $A_1,\ldots,A_m$. Les parties
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$P_1,\ldots,P_N$ opposent chacune deux joueurs. On définit
|
||
$A=(a_{i,k})\in M_{m,N}(\R)$ par $a_{i,k}=1$ si $A_i$ gagne $P_k$,
|
||
$a_{i,k}=-1$ s'il perd et $a_{i,k}=0$ s'il n'y participe pas. On pose
|
||
$M=AA^T$.
|
||
1. Calculer et interpréter les coefficients de $M$.
|
||
2. Justifier que $M$ est diagonalisable et préciser le signe de ses valeurs
|
||
propres.
|
||
3. Si $m=N$, relier $\det(M)$ et $\det(A)$, puis en déduire
|
||
$\det(M)\geq0$.
|
||
4. Dans le cas général, soit $A'$ une sous-matrice carrée extraite de $A$
|
||
en conservant certaines lignes et colonnes. Montrer que
|
||
$\det(A')\in\{-1,0,1\}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 783]
|
||
Pour $n\geq3$, on considère $A_n=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par
|
||
$a_{i,j}=\max(i,j)$.
|
||
1. Montrer que $A_n$ est inversible.
|
||
2. Montrer que tous ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 784]
|
||
Soient $n\geq2$ et $A\in M_n(\R)$. On définit
|
||
$f_A:M\in\mathcal A_n(\R)\mapsto A^TM-M^TA$.
|
||
1. Montrer que $f_A$ est un endomorphisme de $\mathcal A_n(\R)$.
|
||
2. Déterminer sa trace.
|
||
3. On suppose désormais $A\in\mathcal S_n(\R)$. Montrer que $f_A$ est
|
||
diagonalisable.
|
||
4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f_A$ soit
|
||
bijectif.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 785]
|
||
Soit $n\geq1$ et $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$
|
||
tel que les coefficients diagonaux de $PAP^T$ soient tous égaux.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 786]
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Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$.
|
||
1. Montrer que $u=p-q$ est diagonalisable et que son spectre est inclus
|
||
dans $[-1,1]$.
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||
2. Déterminer $\Ker(u+\operatorname{id})$ et $\Ker(u-\operatorname{id})$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 787]
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Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien et posons
|
||
$u=p+q$.
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||
1. Montrer que le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\R$.
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2. Montrer que toutes les valeurs propres de $u$ appartiennent à $[0,2]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 788]
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Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
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$n\geq1$. On considère un endomorphisme antisymétrique $u$, c'est-à-dire
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$\langle u(x),x\rangle=0$ pour tout $x\in E$.
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1. Montrer que $u^2$ est diagonalisable. Quel est le signe de ses valeurs
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propres ?
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2. Montrer que le spectre de $u$ est vide ou égal à $\{0\}$. En déduire
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une condition nécessaire et suffisante pour que $u$ soit diagonalisable.
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3. Montrer que $\operatorname{Im}(u)=(\Ker u)^\perp$.
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4. Montrer que le rang de $u$ est pair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 789]
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Soit
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$$A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}.$$
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Déterminer toutes les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $M^TAM=A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 790]
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Soit $M\in M_n(\R)$ telle que $M^2-M+M^T=I_n$. Montrer que
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$M\in\mathcal S_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 791]
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Soit $M\in M_n(\C)$ vérifiant $M^2+M^T=I_n$.
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1. Montrer que $M$ est diagonalisable.
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2. La matrice $M$ est-elle nécessairement symétrique ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 792]
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Soit $M\in M_2(\R)$ telle que $M^2+4I_2=0$ et $MM^T=M^TM$.
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1. Montrer que $\frac12M\in O_2(\R)$.
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2. En déduire toutes les matrices $M$ vérifiant ces hypothèses.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 793]
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Soit $E=\{M\in M_n(\R):\det(M)\in[0,1]\}$.
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1. $E$ est-il un sous-espace vectoriel ? Est-il stable par produit ?
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2. $E$ est-il ouvert, fermé, borné ou convexe ? Déterminer son adhérence.
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3. Déterminer les matrices $S\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telles que
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$\frac12(S+S^{-1})\in E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 794]
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Soit $S\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
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1. Montrer que $(X,Y)\mapsto Y^TSX$ est un produit scalaire sur
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$M_{n,1}(\R)$.
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2. En déduire qu'il existe une matrice triangulaire supérieure $T$ telle
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que $S=T^TT$. Montrer que $T$ est unique si l'on impose que les
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coefficients diagonaux de $T$ soient positifs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 795]
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Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$.
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1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe
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$B\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $A=B^2$. Dans ce cas, déterminer le
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nombre de matrices $B$ possibles.
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2. Soient $A,C\in\mathcal S_n(\R)$ de spectres inclus dans $\R_+$. Montrer
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que $\operatorname{Tr}(AC)\geq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 796]
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1. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe
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$B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B^2=A$.
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2. Soient $M,N\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe
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$P\in GL_n(\R)$ et une matrice diagonale $D$ à coefficients strictement
|
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positifs telles que $M=P^TDP$ et $N=P^TP$.
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3. Soient $M,N\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que
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$\det(M+N)\geq\det(M)+\det(N)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 797]
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Montrer que $M\in M_n(\R)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe
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$S\in\mathcal S_n(\R)$ et $H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ tels que $M=SH$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 798]
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1. Soit $A\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer qu'il existe une unique
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$C\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $A=C^2$.
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2. Soit $A\in GL_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple
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$(O,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^{++}(\R)$ tel que $A=OS$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 799]
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Montrer que $N:\R^2\to\R$, définie par
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$N(x,y)=\max(|x|,|y|,|x-y|)$, est une norme, puis représenter sa sphère unité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 800]
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Soit $F=\R[X]$. Pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k$, on pose
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$\|P\|_\infty=\sup_{k\in\N}|a_k|$. On note $D(P)=P'$.
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1. Montrer que $D$ n'est pas continue pour cette norme.
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2. Soit $(c_k)_{k\geq0}\in(\R_+^*)^\N$ et
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$N(P)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_k|a_k|$.
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a) Montrer que $N$ est une norme sur $F$.
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b) Donner une suite $(c_k)$ telle que $D$ soit continue pour $N$.
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3. Montrer que, quelle que soit la norme sur $E=C^\infty(\R,\R)$,
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l'application de dérivation n'est pas continue.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 801]
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On munit $E=C^0([0,1],\R)$ de la norme uniforme. Une forme linéaire $\varphi$
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sur $E$ est dite positive si $f\geq0$ entraîne $\varphi(f)\geq0$.
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1. Donner deux exemples de formes linéaires positives.
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2. Montrer que toute forme linéaire positive est continue.
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3. La réciproque est-elle vraie ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 802]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et soit $N$ une norme.
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On pose
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$$N^*(x)=\sup_{y\neq0}\frac{\langle x,y\rangle}{N(y)}.$$
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1. Montrer que $N$ est continue.
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2. Montrer que $N^*(x)=\sup\{\langle x,z\rangle:N(z)=1\}\in\R_+$.
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||
3. Montrer que $N^*$ est une norme.
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4. Montrer que $\langle x,y\rangle\leq N(x)N^*(y)$ pour tous $x,y$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 803]
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1. Montrer que $O_n(\R)$ est fermé et borné.
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2. Montrer que les applications $A\mapsto\operatorname{Tr}(A)$ et
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$A\mapsto\sum_{i,j=1}^na_{i,j}$ atteignent un maximum et un minimum
|
||
sur $O_n(\R)$, puis les calculer.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 804]
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On munit $E=M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique et, pour
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||
$p\geq1$, on pose $L_p(A)=\sum_{k=1}^p\frac{A^k}{k}$.
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||
1. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$ pour tous $A,B\in E$.
|
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2. En déduire que si $\|A\|<1$, la suite $(L_p(A))_{p\geq1}$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 805]
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1. Soient $\varphi,\psi$ continues entre deux espaces vectoriels normés
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et égales sur une partie dense. Montrer qu'elles sont égales.
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2. Montrer que $GL_n(\R)$ est dense dans $M_n(\R)$.
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||
3. Soient $A,B\in M_n(\R)$. Montrer que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
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Indication : commencer par le cas $A\in GL_n(\R)$.
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4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ sont semblables pour tout $A\in M_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 806]
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1. Montrer qu'un espace vectoriel normé ne possède pas de partie à la fois
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ouverte et fermée, non vide et distincte de l'espace. On pourra relier
|
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deux points par un segment et considérer les paramètres dont l'image
|
||
appartient à la partie.
|
||
2. Soit $g:E\to\Z$ continue et non constante. Choisir $x_0,x_1$ tels que
|
||
$g(x_0)=k$ et $g(x_1)\neq k$, puis poser $A=\{x:g(x)=k\}$.
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||
Montrer que $A$ est non vide, distinct de $E$, fermé et ouvert, et
|
||
conclure que $g$ est constante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 807]
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||
Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\R^{n+1}$ avec $a_0<a_1<\cdots<a_n$.
|
||
Pour $P\in\R_n[X]$, poser $\|P\|_A=\max_{0\leq k\leq n}|P(a_k)|$.
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||
1. Pour $A=(0,1)$, calculer $\|X\|_A$.
|
||
2. Montrer que $\|\cdot\|_A$ est une norme sur $\R_n[X]$.
|
||
3. Pour $P\in\R_{n-1}[X]$, montrer qu'il existe un unique
|
||
$(b_0,\ldots,b_n)\in\R^{n+1}$ tel que
|
||
$$X^n+P(X)=\sum_{j=0}^nb_j\prod_{\substack{0\leq k\leq n\\k\neq j}}(X-a_k).$$
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||
4. Calculer $\sum_{k=0}^nb_k$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 808]
|
||
Soit $\alpha>0$ et $E_\alpha$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0([0,1],\R)$
|
||
pour lesquelles il existe $M\in\R$ tel que
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||
$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ pour tous $x,y\in[0,1]$. On pose
|
||
$$\|f\|_\alpha=\sup_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$
|
||
1. Montrer que $E_\alpha$ est un espace vectoriel.
|
||
2. L'application $f\mapsto\|f\|_\alpha$ est-elle une norme ?
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||
3. Soient $0<\beta<\alpha\leq1$. Montrer que $E_\alpha\subset E_\beta$
|
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et donner une inégalité entre les deux quantités. L'inclusion est-elle
|
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stricte ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 809]
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1. Soit $f(x)=(1+x)^{1/x}$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction
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de classe $C^1$ sur $]-1,+\infty[$ et la représenter graphiquement.
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||
2. Montrer que $u_n=(1+1/n)^n$ et $v_n=(1-1/n)^{-n}$ sont adjacentes.
|
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3. Montrer que $(1+1/n)^n\leq e\leq(1+1/n)^{n+1}$ et commenter cet
|
||
encadrement.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 810]
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Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite strictement positive. Montrer que les séries
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||
$$\sum u_n,\qquad \sum\ln(1+u_n),\qquad
|
||
\sum\frac{u_n}{1+u_n},\qquad
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\sum\int_0^{u_n}\frac{dx}{1+x^2}$$
|
||
sont de même nature.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 811]
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||
Pour $x\geq0$, on pose $f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.
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1. Montrer que, pour tout $n\geq1$, il existe un unique $x_n\geq0$ tel que
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$f_n(x_n)=2$.
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||
2. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
|
||
3. Étudier la convergence de $\sum(x_n-\ell)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 812]
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||
Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$.
|
||
1. La suite $(a_n)$ converge-t-elle ?
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||
2. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que
|
||
$a_n+(-1)^n\sqrt{n}/2\to\ell$, puis montrer que $\ell>0$.
|
||
3. Étudier la nature de $\sum 1/a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 813]
|
||
Pour $n\geq2$, on pose $v_n=\frac{\cos n}{n}$ et
|
||
$u_n=\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.
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1. Pour deux suites réelles $(a_n),(b_n)$, poser
|
||
$A_n=\sum_{k=2}^na_k$. Montrer que
|
||
$$\sum_{m=2}^Na_mb_m=\sum_{m=2}^{N-1}A_m(b_m-b_{m+1})+A_Nb_N,$$
|
||
puis en déduire la nature de $\sum v_n$.
|
||
2. Déterminer la nature de $\sum u_n$.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 814]
|
||
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et supposons qu'il existe
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||
$\lambda\in\R$ tel que
|
||
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+v_n,$$
|
||
où $(v_n)$ est le terme général d'une série convergente.
|
||
1. Montrer que la série de terme général
|
||
$\frac{\lambda}{n}+\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ est absolument
|
||
convergente.
|
||
2. En déduire que $(u_nn^\lambda)$ converge dans $\R_+^*$.
|
||
3. En déduire la nature de la série de terme général
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$v_n=\frac{n^n}{n!e^n}$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 815]
|
||
Calculer la limite et un équivalent de
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$$u_n=\prod_{k=2}^n\left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\right).$$
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 816]
|
||
Soit $(u_n)\in\R^\N$ définie par $u_0\in]0,1[$ et
|
||
$u_{n+1}=u_n-u_n^2$.
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||
1. Déterminer la nature des séries $\sum u_n^2$ et $\sum u_n$.
|
||
2. Poser $A_n=\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}$ et
|
||
$B_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}A_k$. Trouver un équivalent de $u_n$.
|
||
3. Trouver un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^nu_k$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 817]
|
||
1. Soient $(u_n),(v_n)$ strictement positives telles que $u_n\sim v_n$
|
||
et $\sum v_n$ diverge. Montrer que
|
||
$\sum_{k=0}^nu_k\sim\sum_{k=0}^nv_k$.
|
||
2. Pour $n\geq1$, poser $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}$.
|
||
a) Montrer que $S_n\sim\frac{(-1)^{n+1}}{2\sqrt n}$.
|
||
b) Montrer que $S_n+S_{n+1}$ tend vers une limite réelle positive.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 818]
|
||
Soit $(z_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que
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||
$|z_n-z_m|>\sqrt2$ si $n\neq m$.
|
||
1. Pour $A>0$, poser $C_A=\{n:|\operatorname{Re}(z_n)|\leq A,
|
||
|\operatorname{Im}(z_n)|\leq A\}$. Montrer que $C_A$ est fini.
|
||
2. Montrer que $|z_n|\to+\infty$.
|
||
3. Si les $z_n$ sont non nuls, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}|z_n|^{-3}$
|
||
converge.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 819]
|
||
On définit $f:\R\to\R$ par $f(0)=0$ et, pour $x\neq0$,
|
||
$f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$.
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1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$.
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||
3. Déterminer le développement limité à l'ordre 5 en 0 de $f^{-1}$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 820]
|
||
Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Pour $f\in E$, on pose
|
||
$$\varphi(f)(x)=\int_0^xf(t)dt-\int_x^1f(t)dt.$$
|
||
1. $\varphi$ est-elle un endomorphisme ?
|
||
2. Est-elle injective ou surjective ? Déterminer $\operatorname{Im}(\varphi)$.
|
||
3. Déterminer ses valeurs propres.
|
||
4. Montrer que $\|\varphi(f)\|_\infty\leq\|f\|_2$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 821]
|
||
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$.
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||
Montrer que $f'$ est bornée et que
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$\|f'\|_\infty\leq2\|f\|_\infty\|f''\|_\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 822]
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||
Soit $f:[a,b]\to\R_+^*$ continue.
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1. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_0,\ldots,x_n)$ de
|
||
$[a,b]$ telle que, pour $1\leq k\leq n$,
|
||
$$\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t)dt=\frac1n\int_a^bf(t)dt.$$
|
||
2. Déterminer la limite quand $n\to+\infty$ de
|
||
$\frac1n\sum_{k=0}^nf(x_k)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 823]
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||
Soient $f,g\in C^\infty(\R,\R)$, avec $g$ 1-périodique.
|
||
1. Écrire $\int_0^1f(x)g(nx)dx$ comme une somme d'intégrales, puis en
|
||
déterminer la limite quand $n\to+\infty$.
|
||
2. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)dt=1/2$. Montrer
|
||
qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=x$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 824]
|
||
On pose $E=\{f\in C^1(\R_+,\R):f(0)=0\}$. Pour $f\in E$, définir
|
||
$\Lambda(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}t\,dt$.
|
||
1. Montrer que $\Lambda(f)$ est bien définie.
|
||
2. Montrer que $\Lambda$ est un endomorphisme de $E$.
|
||
3. Déterminer ses éléments propres.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 825]
|
||
Soient $(x,y)\in\R^2$, $z=x+iy\in\C\setminus\R$ et $n\in\N$.
|
||
Déterminer la nature de
|
||
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(t-z)^n}.$$
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 826]
|
||
Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+^*)$ telle que
|
||
$\frac{f(x+1)}{f(x)}\to\ell\in]0,1[$ quand $x\to+\infty$.
|
||
1. Montrer qu'il existe $q\in]0,1[$ et $x_0\geq0$ tels que, pour tout
|
||
$x\geq x_0$ et $k\in\N$, $f(x+k)\leq q^kf(x)$.
|
||
2. En déduire la nature de $\int_0^{+\infty}f(x)dx$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 827]
|
||
Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ et $s_0\in\R$. On suppose que
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$\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge. Montrer que, pour tout
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$s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge.
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Indication : effectuer une intégration par parties.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 828]
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Soit $f:[0,1]\to\R$ définie par
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$$f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\right).$$
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1. Montrer que $f$ est définie sur $[0,1]$.
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||
2. Montrer que $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$.
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3. Calculer $\int_0^1f(x)dx$.
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4. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. Est-elle de classe $C^k$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 829]
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Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right)$.
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1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
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2. Déterminer sa limite en $+\infty$.
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3. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 830]
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Soit $S(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)$.
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||
1. Montrer que $S$ est définie, continue et croissante sur $\R_+$.
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2. Calculer $S(0),S(1)$ et $S(1/2)$.
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3. Montrer que $u_n=-\ln(n+1)+\sum_{k=1}^n\frac1k$ converge ; noter
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$\gamma$ sa limite.
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4. Montrer que $\int_0^1S(x)dx=\gamma$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 831]
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Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^x}$.
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Déterminer son domaine de définition et montrer sa continuité et sa classe
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$C^\infty$. Déterminer sa limite en $+\infty$ et un équivalent en $1^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 832]
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Soit $F(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{\ln(n)n^x}$.
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1. Déterminer le domaine de définition de $F$.
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2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur ce domaine.
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3. Étudier le comportement de $F$ au bord de son domaine de définition.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 833]
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On considère la suite définie par $u_0=1$, $u_1=0$ et
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$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_n}{n+2}$ pour $n\in\N$.
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1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
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2. Montrer que sa somme vérifie $(1-x)y'+(1+x)y=-1$.
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3. En déduire une expression de cette somme.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 834]
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Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et
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$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
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||
1. Déterminer le rayon de convergence de $f$.
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||
2. Étudier la convergence aux extrémités de l'intervalle de convergence.
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3. Montrer que $f$ est continue en $-1$.
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4. Déterminer explicitement $f$ sur $[-1,1[$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 835]
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1. Montrer que l'équation différentielle $f'(x)=xf(x)^2$ admet une
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solution $S$ développable en série entière et vérifiant $S(0)=1$.
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2. Donner une expression analytique de $S$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 836]
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Soit $P\in\C[X]$.
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1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
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$f(z)=\sum_{n\geq0}P(n)z^n$.
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2. Montrer que $f$ coïncide avec une fraction rationnelle sur son disque
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ouvert de convergence.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 837]
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On pose $f(x)=e^{-2x^2}\int_0^xe^{2t^2}dt$.
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1. Montrer que $f$ est développable en série entière en 0.
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2. Déterminer ce développement.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 838]
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Soit $\alpha\in\R\setminus\pi\Z$ et
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$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2x\cotan(\alpha)-1}.$$
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Poser
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$$g(x)=\frac{(\cos\alpha+1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha+1)/\sin\alpha}
|
||
+\frac{(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}.$$
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||
1. Montrer que $f(x)$ peut s'exprimer à l'aide de $g(x)$.
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||
2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0
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||
et donner le domaine de validité de ce développement.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 839]
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Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$.
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1. Déterminer son intervalle de convergence et étudier sa continuité.
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2. Poser $a_1=1$ et, pour $n\geq2$,
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||
$a_n=-\ln(1-1/n)-1/n$. Déterminer le domaine de définition de
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$g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n$.
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||
3. Trouver une relation entre $f$ et $g$.
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4. Calculer $g(1)$ et $g(-1)$, puis trouver un équivalent de $f$ en $1^-$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 840]
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Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite $p$-périodique non nulle et
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$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$.
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1. Déterminer le rayon de convergence de $S$.
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2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to1^-$.
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3. Même question si $(u_n)$ est ultimement périodique.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 841]
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Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n\ln t}{1+t}dt$.
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||
1. Montrer que $u_n$ est bien défini, étudier les variations de $(u_n)$ et
|
||
déterminer sa limite.
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2. Calculer $u_{n+1}+u_n$, puis donner un équivalent de $u_n$.
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3. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Déterminer son rayon et son
|
||
domaine de définition.
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4. Pour $x\in[-1,1]$, poser $T(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^n/n^2$.
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||
Exprimer $T(x)$ puis $S(x)$ à l'aide d'intégrales.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 842]
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||
Soit $a\in]0,1[$ et $f:\R\to\R$ dérivable telle que $f'(x)=f(ax)$.
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1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $f^{(n)}$ en
|
||
fonction de $f$.
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2. Montrer que $f$ est égale en tout point à sa série de Taylor en 0.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 843]
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Pour $n\in\N$, noter $T_n$ le coefficient de $X^n$ dans $(1+X+X^2)^n$.
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1. Pour $R>0$, montrer que
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$$T_n=\frac1{2\pi R^n}\int_{-\pi}^{\pi}
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||
(1+Re^{i\theta}+R^2e^{2i\theta})^ne^{-in\theta}d\theta.$$
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||
2. En déduire que $T_n\leq3^n$.
|
||
3. Établir la représentation intégrale gaussienne du coefficient obtenue
|
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par le changement d'échelle $t=\theta\sqrt{2n/3}$.
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4. Montrer que l'intégrale transformée admet une limite et la calculer.
|
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En déduire un équivalent de $T_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 844]
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1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge et que
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$$I=\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\sqrt n}\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^ndt.$$
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||
2. En déduire que $I=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n\,I_{2n}/2$, où
|
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$I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt$.
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||
3. Montrer que $nI_nI_{n-1}=\pi/2$ et en déduire
|
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$I_n\sim\sqrt{\pi/(2n)}$.
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||
4. Montrer que $I=\sqrt\pi/2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 845]
|
||
Soit $p\geq1$. Pour $n\in\N$, on pose
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$$S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac1{1+pk}.$$
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1. Montrer que $S_n=\int_0^1(1-t^p)^ndt$, puis que
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||
$$S_n=\frac1p\int_0^1(1-u)^nu^{1/p-1}du.$$
|
||
2. Montrer que, pour $n\geq1$,
|
||
$$S_n=\prod_{k=1}^n\frac1{1+1/(pk)}.$$
|
||
3. Déterminer un équivalent de $S_n$ quand $n\to+\infty$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 846]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^1|\ln(t)|^xdt$.
|
||
1. Déterminer son domaine de définition $D$.
|
||
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $D$.
|
||
3. Calculer $f^{(n)}$ pour tout $n\in\N$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 847]
|
||
Soit $f(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(x+1)}$.
|
||
1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
|
||
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.
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||
3. Déterminer un équivalent de $f(\alpha)$ quand $\alpha\to0^+$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 848]
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Soit $I(x)=\frac1\pi\int_0^{\sqrt\pi}e^{x\cos t}dt$. Montrer que
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$$I(x)\sim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}.$$
|
||
Indication : poser $u=\sqrt{x}\,t$ et utiliser
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$\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 849]
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||
Soit $\alpha\in]0,1[$ et
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||
$$f(\theta)=e^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty}
|
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\frac{u^{\alpha-1}}{1+ue^{i\theta}}du.$$
|
||
1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
|
||
2. Poser $g(u)=\frac{u^\alpha}{1+ue^{i\theta}}$. Montrer que $f$ est
|
||
de classe $C^1$ sur $D$ et que
|
||
$f'(\theta)=ie^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty}g'(u)du$.
|
||
En déduire que $f$ est constante sur chaque intervalle de $D$.
|
||
3. Pour $\theta\in]-\pi,\pi[$, établir la relation trigonométrique
|
||
donnée par l'intégrale et en déduire
|
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$$\sin(\alpha\theta)f(\theta)=\int_0^{+\infty}
|
||
\frac{(u\sin\theta-\cos\theta)^\alpha}{1+u^2}du.$$
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 850]
|
||
Soient
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$$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt,\qquad
|
||
G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$
|
||
1. Montrer que $F,G$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $x\mapsto F(x)+G(x)$ est constante et déterminer sa valeur.
|
||
3. En déduire la convergence et la valeur de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 851]
|
||
1. Montrer que, pour tout $x>0$,
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||
$$\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(x/t)}{1+t^2}dt
|
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=\int_0^x\frac{\ln t}{t^2-1}dt.$$
|
||
2. En déduire la valeur de $\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 852]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.
|
||
1. Montrer que $|\arctan u|\leq|u|$ pour tout $u\in\R$.
|
||
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
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||
3. Pour $x^2\neq1$, déterminer $A(x),B(x)$ tels que
|
||
$$\frac1{(1+t^2)(1+x^2t^2)}=\frac{A(x)}{1+t^2}
|
||
+\frac{B(x)}{1+x^2t^2}.$$
|
||
4. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(1+x)}$ pour $x>0$, puis exprimer $f(x)$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 853]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{2\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $f$ y est
|
||
continue.
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||
2. Exprimer $f(x)$ sans signe intégral.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 854]
|
||
Soit $E=C^0([0,1],\R)$ et
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||
$$k(x,t)=\begin{cases}t^2/x&0\leq t<x\leq1,\\
|
||
x^2/t&0\leq x<t\leq1,\\1&x=t.\end{cases}$$
|
||
Pour $f\in E$, poser $T(f)(x)=\int_0^1k(x,t)f(t)dt$.
|
||
1. Pour $x>0$, établir
|
||
$$T(f)(x)=\frac1x\int_0^xt^2f(t)dt+x^2\int_x^1\frac{f(t)}t dt.$$
|
||
Montrer que $T(f)$ est continue sur $[0,1]$, calculer $T(f)(0)$ et
|
||
montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
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||
2. Montrer que $T(f)$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, calculer $T(f)'(0)$,
|
||
puis montrer qu'elle est de classe $C^2$ sur $]0,1]$.
|
||
3. Résoudre sur $]0,1]$ l'équation différentielle
|
||
$y''-\frac2{x^2}y=-3f$. Indication : chercher les solutions homogènes
|
||
sous la forme $x\mapsto x^n$, avec $n\in\Z$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 855]
|
||
1. Soient $a,c>0$. Montrer que
|
||
$$\int_0^1\frac{t^{a-1}}{1+t^c}dt=
|
||
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nc}.$$
|
||
2. En déduire la valeur de cette somme pour $a=1,c=3$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 856]
|
||
Donner une expression de l'intégrale
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||
$$I=\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{1+x^2}dx.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 857]
|
||
Pour $n\geq1$, on pose $f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$ pour $x>0$.
|
||
1. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale.
|
||
En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(x)dx$.
|
||
2. Poser $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$. Exprimer $S(x)$, montrer
|
||
qu'elle est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 858]
|
||
Soient $f\in C^0(\R,\C)$ et $\theta\in\C$. Donner l'unique solution de
|
||
$z'+\theta z=f$ telle que $z(0)=0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 859]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\ln(t)dt$.
|
||
1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
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||
2. Montrer que $f$ est solution de $x^2y'+xy+1=0$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 860]
|
||
Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que, pour $x\in]0,1[$,
|
||
$$f(x)=\int_1^{1-x}\frac{f(t)}t dt.$$
|
||
1. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $]0,1[$.
|
||
2. Donner une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 vérifiée
|
||
par $f$ sur $]0,1[$.
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||
3. Résoudre cette équation en posant $g(x)=f(x)/x$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 861]
|
||
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}
|
||
\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n+1)}x^{2n+1}$.
|
||
1. Déterminer le rayon de convergence de $f$.
|
||
2. Montrer que $f$ vérifie $(x^2-2)y'+xy+2=0$. En déduire une expression
|
||
de $f$ et déterminer son intervalle de définition.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 862]
|
||
On considère l'équation différentielle $2xy''+y'-y=0$.
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||
1. Déterminer une solution développable en série entière, solution de
|
||
l'équation et telle que $f(0)=1$.
|
||
2. Exprimer cette fonction à l'aide des fonctions usuelles.
|
||
3. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 863]
|
||
On considère $x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=2(1+x)$.
|
||
1. Trouver les solutions homogènes de la forme $x^\alpha$ sur
|
||
$]0,+\infty[$ et donner une base de l'espace des solutions.
|
||
2. Trouver une solution particulière sous la forme
|
||
$\alpha(x)x+\beta(x)x^2$ sur chacun des intervalles
|
||
$]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, avec
|
||
$\alpha'(x)x+\beta'(x)x^2=0$.
|
||
3. Existe-t-il des solutions sur $\R$ ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 864]
|
||
On considère $y''+(1-2/x^2)y=0$ sur $]0,+\infty[$.
|
||
1. Montrer que ses solutions sont de classe $C^2$.
|
||
2. Poser $f(x)=\sin(x)/x-\cos(x)$. Montrer que $f$ est solution, se
|
||
prolonge en une fonction développable en série entière en 0, et possède
|
||
une infinité de zéros sur $]0,+\infty[$.
|
||
3. Poser $g_\omega(x)=\cos(x)/x+\omega\sin(x)$. Déterminer les $\omega$
|
||
pour lesquels $g_\omega$ est solution et montrer qu'elle a une infinité
|
||
de zéros.
|
||
4. Montrer que toute solution possède une infinité de zéros.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 865]
|
||
On considère $(t^2+1)y''-2y=0$.
|
||
1. Déterminer une solution polynomiale non nulle $\varphi$.
|
||
2. Résoudre l'équation en posant $y=\varphi z$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 866]
|
||
Soit $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+y^{2n}}$.
|
||
1. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de $f$.
|
||
2. Étudier l'existence de ses dérivées partielles d'ordre 1.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 867]
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Étudier les extrema de
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$g:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto x\ln(y)-y\ln(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 868]
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Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien,
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$f\in\mathcal S_{++}(E)$ et $v\in E$.
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1. Montrer que $\langle f(x),x\rangle>0$ pour tout $x\neq0$.
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2. Montrer que $g(x)=\frac12\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle$
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est de classe $C^1$.
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3. Montrer que $g$ possède un unique point critique $c$.
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4. Montrer que $g$ atteint en $c$ un minimum global.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 869]
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Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$ avec $\lambda>0$.
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1. Déterminer $\P(X\in2\N)$ et $\P(X\in2\N+1)$, puis les comparer.
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2. Poser $Y=(-1)^X$. Déterminer la loi et l'espérance de $Y$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 870]
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Une urne contient $n$ boules dont $p$ blanches et $n-p$ noires. On effectue
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des tirages successifs sans remise. Déterminer la loi et l'espérance du
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rang de la dernière boule blanche tirée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 871]
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Soit $N\geq2$. On tire sans remise les $N$ boules numérotées de 1 à $N$.
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On note $B_i$ le résultat du $i$-ième tirage. Pour $1\leq p\leq N$, soit
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$X_p$ le nombre de $p$-croissances, c'est-à-dire de $i$ tels que
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$B_i<B_{i+1}<\cdots<B_{i+p}$. Déterminer $\E(X_p)$ et calculer $V(X_1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 872]
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Soit $Z=X+Y$, où $X,Y$ sont les résultats de deux dés.
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1. Pour des dés équilibrés, déterminer la loi de $Z$, son espérance et sa
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variance.
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2. Peut-on truquer les dés pour que $Z$ suive la loi uniforme sur
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$\{2,\ldots,12\}$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 873]
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1. Soit $P\in\R[X]$ et $\alpha$ une racine complexe non réelle. Montrer
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que $\overline\alpha$ est aussi racine de $P$, avec la même multiplicité.
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2. Soient $X,Y$ indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,6\}$. Montrer
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que si $X',Y'$ sont indépendantes, à valeurs dans $\{1,\ldots,6\}$,
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et $X'+Y'$ a la même loi que $X+Y$, alors $X'$ et $Y'$ sont uniformes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 874]
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Soit $(a_n)_{n\geq1}$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et
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$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq3$.
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||
1. Montrer que $\sum_{n\geq2}a_n/2^n$ converge et calculer sa somme.
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||
2. On lance une pièce équilibrée et $X$ est le rang d'apparition du premier
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motif face-face. Déterminer la loi de $X$.
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3. Calculer $\E(X)$ et $V(X)$.
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||
4. Donner un équivalent de $\P(X=n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 875]
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On joue à pile ou face, avec probabilité de pile $p\in]0,1[$. On s'arrête
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quand on a obtenu deux piles, pas nécessairement consécutifs. Soit $X$ le
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nombre de faces obtenues. Montrer que $X$ est d'espérance finie et la calculer.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 876]
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||
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de Bernoulli de paramètre $1/2$,
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représentant les lancers d'une pièce équilibrée. Pour $n\geq2$, $(Y=n)$ est
|
||
l'événement où les deux premiers piles consécutifs apparaissent aux rangs
|
||
$n,n+1$ ; $(Y=0)$ signifie qu'ils n'apparaissent jamais. Soit $C_n$ l'événement
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||
qu'il n'y ait pas deux piles consécutifs parmi $(X_1,\ldots,X_n)$, avec
|
||
$\P(C_0)=1$.
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1. Montrer que $\P(Y=n)=\frac18\P(C_{n-2})$.
|
||
2. Montrer que $\P(C_n)=\frac14\P(C_{n-2})+\frac12\P(C_{n-1})$.
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3. En déduire $\P(Y=n)$ et $\P(Y=0)$, et interpréter.
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||
4. Montrer que $Y$ admet une espérance finie et calculer $\E(Y)$ de deux
|
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manières.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 877]
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Soit $n\geq2$. On tire indépendamment et uniformément dans un ensemble de
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$n$ jetons distincts jusqu'à les avoir tous obtenus. On note $T_n$ le nombre
|
||
de tirages nécessaires et $X_{n,k}$ le nombre de tirages entre l'obtention
|
||
du $(k-1)$-ième et du $k$-ième jeton distinct. Ainsi
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||
$T_n=\sum_{k=1}^nX_{n,k}$.
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1. Déterminer $\E(T_n)$ et $V(T_n)$ en fonction de
|
||
$H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ et $S_n=\sum_{k=1}^n1/k^2$.
|
||
2. Donner des équivalents de ces quantités quand $n\to+\infty$.
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||
3. Montrer que, pour $t\in[-1,1]$,
|
||
$$G_n(t)=\frac{n!}{n^n}t^n\prod_{k=1}^{n-1}\frac1{1-(k/n)t}.$$
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||
4. À l'aide de la décomposition en éléments simples de $G_n(t)/t$,
|
||
établir sa décomposition en fractions simples.
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5. En déduire une expression de $\P(T_n=m)$ pour $m\geq n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 878]
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Soit $X$ une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre
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$p\in]0,1[$. On définit $f_X(t)=t^X\sin(X/t)$.
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1. Déterminer la probabilité que $f_X$ soit prolongeable en une fonction
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de classe $C^1$ sur $\R$.
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2. Quelle est cette probabilité pour la classe $C^p$, avec $p\geq2$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 879]
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Soit $X\sim\mathcal G(p)$, avec $p\in]0,1[$, et
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$Y=\int_0^{2\pi}\sin^X(t)dt$. Montrer que $Y$ est une variable aléatoire
|
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qui admet une espérance, puis calculer celle-ci.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 880]
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Un immeuble compte 7 étages et une personne recherchée s'y trouve avec
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probabilité $p\in]0,1[$. Si elle est présente, chaque étage est
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équiprobable. On a vainement cherché dans les six premiers étages.
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||
Quelle est la probabilité qu'elle soit au dernier étage ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 881]
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On considère $n$ équipes de division 1 et $n$ équipes de division 2,
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réparties en $n$ matchs, chaque appariement étant équiprobable. On note
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$p_n$ la probabilité que chaque match oppose des équipes de divisions
|
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différentes et $q_n$ celle que chaque match oppose des équipes de même
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division.
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1. Déterminer $p_n$ et $q_n$.
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2. Étudier les suites $(p_n)$ et $(q_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 882]
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Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre
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$p\in]0,1[$, $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$.
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||
1. Donner les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$.
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2. Quelle est la probabilité que $M$ soit la matrice d'un projecteur ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 883]
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||
Soit $A=\begin{pmatrix}X&1\\0&Y\end{pmatrix}$, où $X,Y$ sont
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||
indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs $p,q$.
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1. Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable ?
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||
2. Quelle est la probabilité que $A$ soit inversible ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 884]
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||
Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre
|
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$p\in]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix}X&Y\\Y&X\end{pmatrix}$.
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||
1. Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
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||
2. Noter $U,V$ les plus grandes et plus petites valeurs propres de $M$.
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||
Calculer $\operatorname{Cov}(U,V)$ et étudier leur indépendance.
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||
3. Poser $Z=\max(X,Y)$. Calculer $\E(Z)$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 885]
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Fixer $a\in]0,1[$ et $b>0$. Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ tel que
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||
$$\P(X=i,Y=j)=\begin{cases}0&i<j,\\
|
||
e^{-b}\dfrac{b^ja^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}&i\geq j.\end{cases}$$
|
||
1. Déterminer les lois de $X,Y$, leurs espérances et variances.
|
||
2. Ces variables sont-elles indépendantes ?
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||
3. Déterminer la loi de $Z=X-Y$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 886]
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Soient $X,Y$ indépendantes avec $X\sim\mathcal G(p)$,
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||
$Y\sim\mathcal G(q)$, où $p,q\in]0,1[$. On pose $U=X/Y$.
|
||
1. Déterminer la loi de $U$.
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2. Calculer $\E(U)$.
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||
3. Pour $p=q$, montrer que $\E(U)>1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 887]
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||
Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et
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||
$S_n=X_1+\cdots+X_n$. Fixer $r>0$.
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||
1. Montrer que $\operatorname{ch}(t)\leq e^{t^2/2}$ pour $t>0$.
|
||
2. Montrer que, pour $t>0$,
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||
$$\P(S_n/n\geq r)\leq\E(e^{t(S_n/n-r)}).$$
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||
3. En déduire que $\P(S_n/n\geq r)\leq e^{-nr^2/2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 888]
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Soit $\alpha>0$.
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1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$
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de fonction génératrice $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$.
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||
2. Si $\alpha\in\N^*$, donner un équivalent de $\P(X=n)$.
|
||
3. Pour $\lambda>0$, montrer que
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||
$\P(X\geq\lambda+\alpha)\leq2\alpha/\lambda^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 889]
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||
Soient $(\lambda_n)_{n\geq0}$ des réels positifs et $(X_n)_{n\geq0}$ des
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||
variables indépendantes avec $X_n\sim\mathcal P(\lambda_n)$. Déterminer
|
||
la loi de $S=\sum_{n=0}^{+\infty}X_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 890]
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On considère une marche aléatoire sur $\Z^2$ issue de l'origine, avec
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||
déplacements indépendants et équiprobables vers l'est, l'ouest, le nord
|
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ou le sud. On note $A_n=(X_n,Y_n)$ sa position après $n$ pas.
|
||
1. Déterminer $\E(X_n),V(X_n)$ puis $\E(Y_n),V(Y_n)$.
|
||
2. Poser $Z_n=\|A_n\|_2=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$. Montrer que
|
||
$\E(Z_n)\leq\sqrt n$.
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3. Montrer que $\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\binom{2n}n$, puis déterminer
|
||
$\P(Z_n=0)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 891]
|
||
Soit $p\in]0,1[$ et $X_n\sim\mathcal B(n,p)$.
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1. Rappeler la formule de Stirling.
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||
2. Montrer que, pour tout $t\in\R$,
|
||
$$\E\left(\exp\left(t\frac{X_n-\E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}}\right)\right)
|
||
\longrightarrow e^{t^2/2}.$$
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 892]
|
||
Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$,
|
||
$x\geq0$.
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1. Montrer que $f_n(x)=1/2$ admet une unique solution $a_n\geq0$ et que
|
||
$(a_n)$ est croissante.
|
||
2. Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et
|
||
$S_n=\sum_{k=0}^nX_k$. Donner la loi, l'espérance et la variance de
|
||
$S_n$. Par Bienaymé-Tchebychev, montrer que $\P(S_n\geq n)\to0$ si
|
||
$\lambda<1$ et tend vers 1 si $\lambda>1$.
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||
3. Utiliser $\P(S_n\geq n)=f_n(n\lambda)$ pour montrer que $a_n\sim n$.
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#+end_exercice
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* Mines-Ponts PC 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 893]
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On pose $a=(5\sqrt2+7)^{1/3}$ et $b=(5\sqrt2-7)^{1/3}$. Calculer
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||
$a^3-b^3$, $ab$ et $a-b$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 894]
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||
Soit $z=\frac12(1+i\sqrt7)$. Montrer que, pour tout $n\geq1$,
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||
$2\operatorname{Re}(z^n)$ est un entier impair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 895]
|
||
Calculer
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$$\sum_{0\leq3k\leq n}\binom n{3k}\quad\text{et}\quad
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\sum_{0\leq3k\leq n}(-1)^k\binom n{3k}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 896]
|
||
Soit $(a_0,\ldots,a_n)\in K^{n+1}$. Montrer que tout $Q\in K_n[X]$
|
||
peut s'écrire sous la forme $\sum_{k=0}^na_kP^{(k)}$ si et seulement si
|
||
$a_0\neq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 897]
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||
Soit $n\in\N$.
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1. Montrer que $x\mapsto\frac{(x+1)^n-1}{x}$ est polynomiale ; noter $P$
|
||
le polynôme associé.
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2. Pour $n\geq2$, montrer que les affixes des racines de $P$ sont sur un
|
||
cercle à déterminer.
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||
3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 898]
|
||
Pour $P\in\R[X]$ non constant, soit $\Omega_P$ l'ensemble des $r\in\R$
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||
tels que $P+r$ soit scindé à racines simples sur $\R$.
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||
1. Donner un exemple tel que $\Omega_P=\varnothing$.
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||
2. Montrer que $\Omega_P$ est un intervalle ouvert.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 899]
|
||
Déterminer les polynômes $P\in\R[X]$ tels que
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$P(X)P(X-1)=P(X^2)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 900]
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||
Soient $n\geq2$ et $P=X^n-3X+7$, de racines complexes
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||
$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ comptées avec multiplicité.
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||
1. Déterminer le nombre de racines réelles distinctes de $P$.
|
||
2. Déterminer le nombre de racines complexes distinctes de $P$.
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||
3. Expliciter $Q=\prod_{i=1}^n\left(X-\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}\right)$.
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||
4. Expliciter $R=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^2)$.
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||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 901]
|
||
Soient $n\geq1$, $P\in\R_n[X]$ tel que $P(0)=1$, $P(1)=0$,
|
||
$U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et $U$ le cercle unité.
|
||
1. Calculer $\sum_{\omega\in U_n}|P(\omega)|^2$ en fonction des
|
||
coefficients de $P$.
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||
2. En déduire que $\sup_{z\in U}|P(z)|\geq\sqrt{1+1/n}$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 902]
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||
1. Pour $\theta\not\equiv0\ [\pi]$ et $n\in\N$, montrer qu'il existe
|
||
$P\in\R_n[X]$ tel que
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$$\sin((2n+1)\theta)=\sin^{2n+1}(\theta)
|
||
P\left(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\right),$$
|
||
où $P(X)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}X^{n-k}$.
|
||
2. En déduire
|
||
$$\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2(k\pi/(2n+1))\sin^2(k\pi/(2n+1))}
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||
=\frac{n(2n-1)}3,$$
|
||
puis $\sum_{k=1}^{+\infty}k^{-2}=\pi^2/6$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 903]
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On pose $E=\{Q^2+XR^2:(Q,R)\in\R[X]^2\}$.
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||
1. Montrer que $E$ est stable par produit.
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2. Comparer par inclusion $E$ et
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$G=\{P\in\R[X]:\forall x\in\R_+,\ P(x)\geq0\}$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 904]
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Soient $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\C$ et
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$P(X)=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k=\prod_{j=1}^n(X-\lambda_j)$.
|
||
Poser $\rho=\max_j|\lambda_j|$.
|
||
1. Déterminer le nombre de racines réelles strictement positives de
|
||
$X^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|X^k$.
|
||
2. Si $r\geq0$ et $r^n\geq\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|r^k$, montrer que $\rho\leq r$.
|
||
3. Montrer que $\rho\leq\max(1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)$.
|
||
4. En utilisant $Q(X)=(X-1)P(X)$, montrer que
|
||
$\rho\leq|a_0|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k+1}-a_k|$, où $a_n=1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 905]
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||
1. Montrer qu'il existe une unique famille $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ de
|
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polynômes de $\R_n[X]$ telle que $L_i(j)=\delta_{i,j}$.
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||
2. Préciser le coefficient dominant de $L_k$.
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||
3. Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que
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||
$\max_{0\leq k\leq n}|P(k)|\geq n!/2^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 906]
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Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$.
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1. Montrer que, pour $P\in\R[X]$ et $n\in\N$,
|
||
$$\Delta^n(P)=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(X+k).$$
|
||
2. En déduire que, pour $P\in\R_{n-1}[X]$,
|
||
$\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(k)=0$.
|
||
3. Déterminer $\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\sum_{k=0}^n(k^n-P(k))^2$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 907]
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Soit $P\in\R[X]$ non constant sans racine réelle, de racines complexes
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$z_1,\ldots,z_n$ comptées avec multiplicité.
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1. Pour $z\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$, montrer que
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||
$$\left|\frac{P'(z)}{P(z)}\right|^2\leq n\sum_{k=1}^n\frac1{|z-z_k|^2}.$$
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||
2. Montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que, pour $n\geq2$
|
||
et tout tel $P\in\R_n[X]$,
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||
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P'(x)^2}{P(x)^2+P'(x)^2}dx
|
||
\leq\alpha n^{3/2}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 908]
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Soit $n\geq1$. Déterminer le plus petit sous-espace de $\mathcal L(\R^n)$
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contenant toutes les symétries vectorielles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 909]
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Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $(v_1,\ldots,v_n)\in E^n$ et
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||
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$. Poser
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$w=\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k$. Montrer que
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$$\operatorname{rg}(v_1+w,\ldots,v_n+w)=n$$
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||
si et seulement si $\operatorname{rg}(v_1,\ldots,v_n)=n$ et
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||
$\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq-1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 910]
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Soit $D=\operatorname{Diag}(-1,4)$. Trouver les matrices
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$M\in M_2(\R)$ telles que $M^3-2M=D$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 911]
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||
Soit
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$$A=\begin{pmatrix}-1&2&0&8\\-1&2&4&-4\\0&0&2&-6\end{pmatrix}.$$
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1. Donner une base de $\operatorname{Im}(A)$.
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2. Donner une base de $\Ker(A)$.
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||
3. Trouver $P\in GL_3(\R)$ et $Q\in GL_4(\R)$ tels que
|
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$PAQ=J_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.
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||
4. Pour $n\geq2$, montrer que $\{M\in M_{n,3}(\R):MA=0\}$ est un
|
||
sous-espace vectoriel de dimension à déterminer.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 912]
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Soient $A\in GL_n(\R)$ et $X\in\R^n$. Montrer que
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$$X^TA^{-1}X=\frac{\det(A+XX^T)}{\det A}-1.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 913]
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||
1. Soit $a\in\R$. Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$
|
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est semblable à son inverse.
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||
2. Soit $M=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}$,
|
||
avec $a,b,c\in\R$. Expliciter $M^{-1}$ et montrer que $M-I_3$ et
|
||
$M^{-1}-I_3$ sont semblables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 914]
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||
1. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $F$ un sous-espace
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de dimension $r<n$. Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$
|
||
de $E$ telle que $e_k\notin F$ pour tout $k$.
|
||
2. Quelles sont les matrices $A\in M_d(K)$ telles que toute matrice
|
||
semblable à $A$ possède au moins une colonne nulle ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 915]
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Soit $A\in M_n(\C)$ telle que $A^2=A$ et $r=\operatorname{rg}(A)$. Poser
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||
$E=\{M\in M_n(\C):AM+MA=0\}$.
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||
1. Déterminer le nombre de sous-espaces vectoriels de $\C^n$ stables par $A$.
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||
2. Déterminer $\dim E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 916]
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Soit $B\in M_n(\C)$ dont les coefficients diagonaux sont nuls. Pour
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||
$z\in\C^*$, poser $A(z)=(z+z^{-1})I_n+B$.
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||
1. Montrer qu'il existe $R>0$ tel que $A(z)$ soit inversible si
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||
$0<|z|<R$.
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||
2. Trouver $N\geq1$ tel que $z\mapsto z^N\det(A(z))$ admette une limite
|
||
finie non nulle en 0 et préciser cette limite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 917]
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Soit $A\in M_n(K)$ de rang $r$. Poser
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$E_A=\{M\in M_n(K):AMA=0\}$. Calculer $\dim E_A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 918]
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Soient $A,B\in M_n(\R)$ et $M=\begin{pmatrix}A&-B\\B&A\end{pmatrix}$.
|
||
Montrer que $\det(M)\geq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 919]
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||
Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^n=0$ et $A^{n-1}\neq0$.
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1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^n$ tel que
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||
$(x_0,Ax_0,\ldots,A^{n-1}x_0)$ soit une base de $\R^n$.
|
||
2. Poser $C(A)=\{M\in M_n(\R):AM=MA\}$. Montrer que $C(A)$ est un
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||
espace vectoriel et que $(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ en est une base.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 920]
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||
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $\operatorname{rg}(AB-BA)=1$.
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Montrer que $\operatorname{Im}(B)$ ou $\Ker(B)$ est stable par $A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 921]
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Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$.
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||
1. Pour $\sigma\in S_n$, montrer que $\varphi_\sigma:s\mapsto s\circ\sigma$
|
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est une permutation de $S_n$.
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||
2. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f_\sigma\in\mathcal L(E)$
|
||
définie par $f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}$. Montrer que
|
||
$p_n=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}f_\sigma$ est un projecteur et
|
||
déterminer son noyau et son image.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 922]
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Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geq1$ et
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||
$(e_1,\ldots,e_n)$ une base.
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||
1. Caractériser les hyperplans de $E$ par une équation linéaire en les
|
||
coordonnées dans cette base.
|
||
2. Soient $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille libre de $\mathcal L(E,K)$ et
|
||
$\Phi:x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_n(x))$.
|
||
a) Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme.
|
||
b) En déduire qu'il existe une base $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$
|
||
telle que $f_i(\varepsilon_j)=\delta_{i,j}$.
|
||
3. Soient $f\in\mathcal L(E,K)$ et $(f_1,\ldots,f_p)$ libre. Montrer
|
||
l'équivalence entre $f\in\Vect(f_1,\ldots,f_p)$ et
|
||
$\bigcap_{i=1}^p\Ker(f_i)\subset\Ker(f)$.
|
||
4. Que dire si $(f_1,\ldots,f_p)$ est liée ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 923]
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Soient $A,B\in M_n(K)$ tels que $ABAB=0$. A-t-on nécessairement
|
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$BABA=0$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 924]
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1. Définir $u_0\in\R^*$ et
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$u_{n+1}=\frac12(u_n+1/u_n)$. Étudier la suite.
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||
2. Dans $M_p(\R)$, soit $N$ nilpotente.
|
||
a) Montrer que $A=I_p+N$ est inversible.
|
||
b) Justifier l'existence de $(B_n)$ définie par $B_0=A$ et
|
||
$B_{n+1}=\frac12(B_n+B_n^{-1})$. Étudier cette suite.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 925]
|
||
Soit $P\in\C_n[X]$. Déterminer le rang de
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||
$M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq n+1}$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 926]
|
||
Soient $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions de $\R$ dans $\R$. Montrer que
|
||
$(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe
|
||
$(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$ tel que $M=(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$
|
||
soit inversible.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 927]
|
||
Soient $K=\R$ ou $\C$, $n\geq1$ et $a_0,\ldots,a_n\in K$ distincts.
|
||
1. Soit $P\in K[X]$ de degré $n$ et $P_j(X)=P(X+a_j)$. Montrer que
|
||
$(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $K_n[X]$.
|
||
2. Soit $Q\in K_n[X]$ et $M=(Q(a_i+a_j))_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer
|
||
que $M$ est inversible si et seulement si $\deg Q=n$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 928]
|
||
Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$.
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||
1. Montrer que $\Delta$ stabilise $\R_n[X]$ et noter $\Delta_n$ sa
|
||
restriction.
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||
2. Déterminer $\Ker(\Delta_n)$ et $\operatorname{Im}(\Delta_n)$.
|
||
3. Trouver une base de $\R_n[X]$ telle que la matrice de $\Delta_n$ ne
|
||
comporte que des 0 et des 1.
|
||
4. Soit $d\in\N$.
|
||
a) Montrer qu'il existe $Q\in\R[X]$ tel que
|
||
$Q(k)=\sum_{i=0}^ki^d$ pour tout $k\in\N$.
|
||
b) Trouver de deux manières un équivalent de $Q(k)$.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 929]
|
||
Soit $d\in\N$. Poser $P_0=1$ et, pour $k\geq1$,
|
||
$P_k=X(X-1)\cdots(X-k+1)$.
|
||
1. Montrer que $(P_0,\ldots,P_d)$ est une base de $\R_d[X]$.
|
||
2. Donner la matrice de passage depuis la base canonique et montrer que
|
||
son inverse est à coefficients entiers.
|
||
3. Étudier la convergence et calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}P_d(n)/n!$.
|
||
4. Montrer qu'il existe $N_d\in\N$ tel que
|
||
$\sum_{n=0}^{+\infty}n^d/n!=N_de$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 930]
|
||
Soient $E$ un espace vectoriel et $f,g\in\mathcal L(E)$. On suppose que
|
||
$\operatorname{Im}(f)$ et $\operatorname{Im}(g)$ sont en somme directe.
|
||
Montrer que $\operatorname{Im}(f)+\operatorname{Im}(g)=\operatorname{Im}(f+g)$
|
||
si et seulement si $E=\Ker(f)+\Ker(g)$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 931]
|
||
Soient $\alpha_1<\cdots<\alpha_n$ et $a_1,\ldots,a_n\in\R^*$. On pose
|
||
$f(x)=\sum_{i=1}^na_ix^{\alpha_i}$ pour $x>0$.
|
||
1. Montrer que $f$ s'annule au plus $n-1$ fois sur $\R_+^*$.
|
||
2. Soient $t_1<\cdots<t_n$ et $A=(t_i^{\alpha_j})_{1\leq i,j\leq n}$.
|
||
Montrer que $\det(A)\geq0$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 932]
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||
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et
|
||
$u\in\mathcal L(E)\setminus\{0\}$. Montrer que $u$ est une homothétie si
|
||
et seulement si, pour tous $v,w\in\mathcal L(E)$, $u=v\circ w$ entraîne
|
||
$u=w\circ v$.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 933]
|
||
Soient $n\geq2$ et $A\in M_n(\R)$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer
|
||
que $A$ est semblable à $E_{1,n}$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 934]
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||
Soit $E$ de dimension $N\geq1$, $n=\lfloor N/3\rfloor$ et $u\in\mathcal L(E)$
|
||
tels que $u^3=0$ et $\operatorname{rg}(u)\geq N-n$.
|
||
1. Calculer $\operatorname{rg}(u^2)$ et montrer que $N=3n$.
|
||
2. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est
|
||
$\begin{pmatrix}0&I_n&0\\0&0&I_n\\0&0&0\end{pmatrix}$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 935]
|
||
Résoudre dans $M_3(\R)$ l'équation
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$$A^3=\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&-2&1\\1&-2&1\end{pmatrix}.$$
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 936]
|
||
Soit $A\in M_3(\C)$. Montrer que $A$ et $-A$ sont semblables si et
|
||
seulement si $\operatorname{tr}(A)=0$ et $\det(A)=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 937]
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||
Soit $k\in\C$ et
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$$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&k&1&1\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\in M_4(\C).$$
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||
1. À quelle condition sur $k$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
|
||
2. Si elle l'est, déterminer la dimension de
|
||
$\{M\in M_4(\C):AM=MA\}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 938]
|
||
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
|
||
$$\begin{pmatrix}0&0&0&a\\0&0&0&a\\0&0&0&a\\a&a&a&b\end{pmatrix}$$
|
||
soit diagonalisable.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 939]
|
||
Soit $E=\R^\N$ et $T:E\to E$ défini par
|
||
$T((u_n))=(\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu_k)_{n\in\N}$.
|
||
Déterminer les valeurs propres de $T$ et les dimensions de ses
|
||
sous-espaces propres.
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 940]
|
||
Soit $\varphi_n:\R_n[X]\to\R_n[X]$ définie par
|
||
$$\varphi_n(P)(x)=\int_0^{\pi/2}P(1-x\cos t)dt.$$
|
||
$\varphi_n$ est-il diagonalisable ? Déterminer
|
||
$\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Tr}(\varphi_n)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 941]
|
||
Pour $t\in\R$, poser
|
||
$$M(t)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&t\end{pmatrix}.$$
|
||
Montrer que $M(t)$ admet trois valeurs propres
|
||
$\alpha(t)<0<\beta(t)<2<\gamma(t)$. Déterminer les limites de
|
||
$\alpha(t),\beta(t)$ quand $t\to+\infty$ et un développement asymptotique
|
||
de $\gamma(t)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 942]
|
||
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$.
|
||
1. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_3(\C)$ et possède une unique
|
||
valeur propre réelle $a$, avec $a>1$.
|
||
2. Montrer que $\sum_{\lambda\in\operatorname{Sp}_\C(A)}\lambda^n\in\N$
|
||
pour tout $n\geq1$.
|
||
3. Déterminer la nature de $\sum\sin(\pi a^n)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 943]
|
||
Soit $u\in\mathcal L(\R_n[X])$ dont la matrice dans la base canonique a
|
||
pour coefficients $a_{i,i+1}=i$, $a_{i+1,i}=n-i+1$, les autres étant nuls.
|
||
1. Montrer que $u(P)=(1-X^2)P'+nXP$.
|
||
2. Si $\lambda$ est valeur propre et $P$ un vecteur propre, montrer que
|
||
$\deg P=n$ et que ses racines complexes appartiennent à $\{-1,1\}$.
|
||
3. En étudiant les multiplicités de $1$ et $-1$, déterminer tous les
|
||
vecteurs propres de $u$.
|
||
4. Montrer que $u$ est diagonalisable.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 944]
|
||
Soit $E=M_n(\C)$ et $\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\}$.
|
||
1. $\rho$ est-elle une norme sur $E$ ?
|
||
2. Si $A^p\to0$, montrer que $\rho(A)<1$.
|
||
3. Pour $0\leq k<n$ et $|\lambda|<1$, déterminer la limite de
|
||
$\binom pk\lambda^{p-k}$ quand $p\to+\infty$.
|
||
On admet qu'on peut écrire $A=D+N$ avec $DN=ND$, $D$ diagonalisable
|
||
et $N$ nilpotente. Montrer que $\rho(A)<1$ entraîne $A^p\to0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 945]
|
||
Soient $a_1,\ldots,a_n\in\C$ et $M=(m_{i,j})\in M_n(\C)$ telle que
|
||
$m_{i+1,i}=a_i$ pour $1\leq i<n$, $m_{1,n}=a_n$, les autres coefficients
|
||
étant nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$
|
||
soit diagonalisable.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 946]
|
||
Soit
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||
$$A=\begin{pmatrix}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{pmatrix}.$$
|
||
1. Calculer $A^2$ et expliciter le noyau et l'image de $A$.
|
||
2. $A$ est-elle diagonalisable ?
|
||
3. Déterminer les sous-espaces stables par $A$.
|
||
4. Déterminer la dimension de $\{C\in M_3(\C):AC=CA\}$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 947]
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||
On dit que $B\in M_2(\R)$ admet une racine carrée s'il existe
|
||
$A\in M_2(\R)$ tel que $A^2=B$.
|
||
1. Montrer que cette propriété est invariante par similitude.
|
||
2. Les matrices $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ admettent-elles une racine carrée, avec $c=\cos(2\pi/3)$ et $s=\sin(2\pi/3)$ ?
|
||
3. Déterminer l'image de $A\in GL_2(\R)\mapsto A^2$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 948]
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Soient $0<a_0<\cdots<a_n$ et la matrice
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||
$$A=\begin{pmatrix}0&a_1&a_2&\cdots&a_n\\
|
||
a_0&a_2&a_1&\cdots&0\\a_n&a_0&a_1&\cdots&0\\\vdots&&&&\vdots\end{pmatrix}.$$
|
||
1. Pour $\lambda\in\R$, montrer que $\lambda$ est valeur propre de $A$
|
||
si et seulement si $\lambda\notin\{-a_1,\ldots,-a_n\}$ et
|
||
$\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{\lambda+a_k}=1$.
|
||
2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
|
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 949]
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Soient $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB-BA=A$. On pose
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$\psi:M\mapsto MB-BM$.
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1. Montrer que $\psi$ est un endomorphisme.
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2. Montrer que $\psi(A^k)=kA^k$ pour tout $k\in\N$ et préciser
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||
$\operatorname{tr}(A)$.
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3. Montrer que si $A$ n'est pas nilpotente alors $\psi$ admet une infinité
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de valeurs propres. Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 950]
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1. Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$ telle que
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||
$|a_{i,i}|>\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$ pour tout $i$. Montrer que $A$ est
|
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inversible.
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||
2. Montrer que toutes les valeurs propres de $A$ appartiennent à
|
||
$\bigcup_{i=1}^n\{z\in\C:|z-a_{i,i}|\leq\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|\}$.
|
||
3. Soit $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$ et 0 sinon.
|
||
Déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 951]
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Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$
|
||
ayant $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.
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||
1. Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^nE_{\lambda_i}(u)$.
|
||
2. Pour chaque $i$, donner $P_i\in K_{n-1}[X]$ tel que
|
||
$P_i(\lambda_j)=\delta_{i,j}$.
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||
Caractériser $P_i(u)$.
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3. Si $F$ est stable par $u$, montrer que
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||
$F=\bigoplus_{i=1}^n(F\cap E_{\lambda_i}(u))$.
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||
4. Combien $E$ possède-t-il de sous-espaces stables par $u$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 952]
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Soient $M\in M_n(\C)$,
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$N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}$, $m\in\C$ et
|
||
$T=\begin{pmatrix}m&m^2\\0&m\end{pmatrix}$.
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||
1. La matrice $T$ est-elle diagonalisable ?
|
||
2. Pour $Q\in\C[X]$, exprimer $Q(N)$ à l'aide de $Q,M,M^2$.
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3. Montrer que $N$ est diagonalisable si et seulement si $M=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 953]
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Soient $A\in M_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $M_n(\R)$.
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||
1. Donner le spectre de $T$ en fonction de celui de $A$.
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2. Exprimer $\chi_T$ en fonction de $\chi_A$.
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3. Montrer que $T$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 954]
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Soient $A\in M_n(\C)$ et
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$M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}\in M_{2n}(\C)$.
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1. Montrer que $\dim\Ker(M-\lambda I_{2n})=\dim\Ker(A-\lambda^2I_n)$.
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||
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit
|
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diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 955]
|
||
Soient $A\in M_n(\R)$ et
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||
$B=\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}\in M_{2n}(\R)$.
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||
Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $B$ soit
|
||
diagonalisable.
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 956]
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||
1. Montrer que $M=(1_{i-j\equiv1\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$
|
||
est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
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||
2. Exprimer $A=(a_{i-j\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$ en
|
||
fonction de $M$ et $(a_0,\ldots,a_{n-1})$.
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||
3. En déduire $\det(A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 957]
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1. Soient $U,V\in M_n(\R)$. Montrer que si elles sont semblables sur
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$\C$, elles le sont sur $\R$.
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||
2. Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n$.
|
||
a) Montrer que $n$ est pair.
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||
b) Avec $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, montrer que $A$ est
|
||
semblable à la matrice diagonale par blocs ayant $n/2$ blocs $J$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 958]
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1. Soient $E$ de dimension finie et $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables
|
||
et commutant. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres
|
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communs.
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||
2. Soit $A\in M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que
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$M\mapsto AM-MA$ sur $M_n(\C)$ est diagonalisable.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 959]
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||
Soient $P\in GL_n(\C)$ et $\varphi_P:M\mapsto PMP^{-1}$.
|
||
1. Si $M$ est vecteur propre de $\varphi_P$ associé à $\lambda$, montrer
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||
que $\lambda\neq0$ et que soit $M$ est nilpotente, soit $\lambda$ est
|
||
une racine $q$-ième de l'unité pour un $1\leq q\leq n$.
|
||
2. Pour une racine $q$-ième de l'unité $\lambda$, exhiber $P$ tel que
|
||
$\lambda$ soit valeur propre de $\varphi_P$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 960]
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||
Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ à
|
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coefficients dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 961]
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||
Déterminer les matrices $A\in M_n(\R)$ telles que $A^{2026}=A^{10}$ et
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$\operatorname{Tr}(A)=n$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 962]
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||
Soient $A,B\in M_n(\C)$ tels que $A(AB-BA)=0$.
|
||
1. Montrer que $(AB)^k=A^kB^k$ pour tout $k\in\N$.
|
||
2. Soit $C\in M_n(\C)$ tel que $\operatorname{tr}(C^k)=0$ pour tout
|
||
$k\geq1$. Montrer que $C$ est nilpotente.
|
||
3. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 963]
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||
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=BA^2$. On suppose que toutes les
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||
valeurs propres de $A$ ont un module différent de 1. Montrer que $A$ et
|
||
$B$ ont un vecteur propre commun.
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||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 964]
|
||
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que $A$ et $B$ ont un
|
||
vecteur propre commun.
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||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 965]
|
||
Soit $f\in\mathcal L(E)$, où $E$ est de dimension $n$. Montrer que $f$ est
|
||
diagonalisable si et seulement s'il existe $n$ hyperplans $H_1,\ldots,H_n$
|
||
stables par $f$ tels que $H_1\cap\cdots\cap H_n=\{0\}$.
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#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 966]
|
||
Soit $n\geq2$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $\R^n$ et
|
||
$f_1,\ldots,f_n\in\R^n$ tels que $\|e_k-f_k\|<1/\sqrt n$ pour tout $k$.
|
||
Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est une base de $\R^n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 967]
|
||
Poser
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$$I=\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_{-1}^1(e^t-a-bt)^2dt.$$
|
||
Justifier l'existence de $I$ et le calculer.
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#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 968]
|
||
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
|
||
$n$, $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$ et
|
||
$f(x)=\sum_{i=1}^n\langle x,u_i\rangle u_i$.
|
||
1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
|
||
2. Montrer que $f=\operatorname{id}$ si et seulement si
|
||
$(u_1,\ldots,u_n)$ est une base orthonormée.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 969]
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||
1. Soit $P$ un polynôme scindé de $\R[X]$. À l'aide de
|
||
$x\mapsto e^{-x^2}P(x)$, montrer que $P'-2XP$ est scindé.
|
||
2. Pour $\varphi(x)=e^{-x^2}$, montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe
|
||
$H_n\in\R[X]$ tel que $\varphi^{(n)}(x)=H_n(x)\varphi(x)$. Préciser
|
||
son degré et son coefficient dominant.
|
||
3. Que dire de la position relative des racines de $H_n$ et $H_{n+1}$ ?
|
||
4. Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t^2}dt$
|
||
est un produit scalaire sur $\R[X]$.
|
||
5. Montrer que $(((-1/2)^nH_n))_{n\geq0}$ est une famille orthogonale
|
||
de polynômes unitaires pour ce produit scalaire.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 970]
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||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}(1+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt$,
|
||
pour $x=(x_1,\ldots,x_n)^T\in\R^n$.
|
||
1. Montrer que $f$ est bien définie et de classe $C^1$ sur $\R^n$.
|
||
2. Poser $u=(1,x_1,\ldots,x_n)^T$ et
|
||
$M=((i+j)!)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que $u^TMu=f(x)$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 971]
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||
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel. Une forme bilinéaire
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||
$B:E^2\to\R$ est dite positive si $B(u,u)\geq0$ pour tout $u$, négative
|
||
si $B(u,u)\leq0$, et symétrique si $B(x,y)=B(y,x)$. On pose
|
||
$C_B=\{u:B(u,u)=0\}$ et $K_B=\{u:\forall x,\ B(u,x)=0\}$.
|
||
1. Sur $\R^3$, pour $B((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1$,
|
||
déterminer $C_B,K_B$.
|
||
2. Pour $B$ symétrique, montrer l'équivalence entre $K_B=C_B$,
|
||
$C_B$ sous-espace vectoriel, et $B$ positive ou négative.
|
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 972]
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||
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que deux
|
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produits scalaires sur $E$ ayant le même groupe orthogonal sont
|
||
proportionnels.
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#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 973]
|
||
Pour $A\subset\N$, noter $1_A$ sa fonction indicatrice. Soient $a\geq1$,
|
||
$n,m\geq1$ et $U_1,\ldots,U_m$ des parties distinctes non vides de
|
||
$\{1,\ldots,n\}$ telles que $|U_i\cap U_j|=a$ pour $i\neq j$. Poser
|
||
$M=(1_{U_j}(i))_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$.
|
||
1. Calculer $M^TM$.
|
||
2. Montrer que $\{j:[M^TM]_{j,j}=a\}$ a au plus un élément.
|
||
3. Pour $X\in M_{m,1}(\R)$, calculer $X^TM^TMX$.
|
||
4. Donner $\dim\Ker(M)$.
|
||
5. Montrer que $m\leq n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 974]
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||
Soit $E$ un espace euclidien.
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||
1. Pour $F,G$ sous-espaces, montrer que $(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp$.
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||
2. Soient $p,q$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $pqp$ est
|
||
autoadjoint.
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||
3. Montrer que $x\mapsto pq(x)$ est diagonalisable sur $\operatorname{Im}(p)$.
|
||
4. Montrer que $pq$ est diagonalisable.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 975]
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||
Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien $E$.
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||
1. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si $p$ est
|
||
autoadjoint.
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||
2. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si
|
||
$\|p(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$.
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||
3. Si $p,q$ sont orthogonaux, montrer que $p\circ q$ est un projecteur
|
||
si et seulement si $p$ et $q$ commutent.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 976]
|
||
Soient $A\in M_n(\R)$ et $k\geq2$ tels que $A^k=A^T$. Montrer que
|
||
$\Ker(A)$ et $\operatorname{Im}(A)$ sont supplémentaires orthogonaux et
|
||
que $A^{k+1}$ est la matrice d'un projecteur orthogonal.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 977]
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||
Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=A^3$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que
|
||
$A^2=A$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 978]
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Soit $A\in M_2(\R)$ telle que $A^2=A^T$ et poser $M=A^TA$.
|
||
1. La matrice $M$ est-elle diagonalisable ?
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||
2. On dit que $M,N$ sont orthosemblables s'il existe $P\in O_2(\R)$ tel
|
||
que $P^{-1}MP=N$. Montrer que $A$ est orthosemblable à l'une des
|
||
matrices $0$, $I_2$, $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$,
|
||
$\dfrac12\begin{pmatrix}-1&-\sqrt3\\\sqrt3&-1\end{pmatrix}$,
|
||
$\dfrac12\begin{pmatrix}-1&\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 979]
|
||
Soient $A,B\in\mathcal S_n(\R)$ telles que $A^2=B^2$. Montrer qu'il
|
||
existe $P\in O_n(\R)$ telle que $PA=B$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 980]
|
||
Soient $n$ impair et $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB=0$. Montrer qu'au
|
||
moins l'une des matrices $A+A^T$ et $B+B^T$ n'est pas inversible.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 981]
|
||
Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $p\in\mathcal L(E)$ un
|
||
projecteur. Montrer que $\operatorname{Im}(p)\perp\Ker(p)$ si et seulement
|
||
si $\langle p(x),x\rangle\geq0$ pour tout $x\in E$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 982]
|
||
Soit $E$ euclidien et $u\in O(E)$. Si $\lambda$ est une valeur propre de
|
||
$u$, montrer que $\dim E_\lambda(u)$ est égale à sa multiplicité.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 983]
|
||
Soit $E=\R_n[X]$, muni du produit scalaire
|
||
$\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$. Pour $P\in E$, poser
|
||
$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt$.
|
||
1. Montrer que $u\in\mathcal L(E)$.
|
||
2. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle $u$ est
|
||
diagonale.
|
||
3. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$,
|
||
$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n\lambda_iP_i(x)P_i(y),$$
|
||
où $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $u$ et $(P_i)$ une base
|
||
orthonormée de vecteurs propres associée.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 984]
|
||
Soit $H_n=(1/(i+j+1))_{0\leq i,j\leq n-1}$ et
|
||
$X=(x_0,\ldots,x_{n-1})^T$. Poser
|
||
$P_X(t)=x_0+x_1t+\cdots+x_{n-1}t^{n-1}$.
|
||
1. Montrer que $X^TH_nX=\int_0^1P_X(t)^2dt$. En déduire que $H_n$ est
|
||
diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R_+^*$.
|
||
2. Soit $\beta_n$ sa plus grande valeur propre. Montrer que
|
||
$X^TH_nX\leq\beta_n\|X\|^2$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 985]
|
||
1. Soit $f:I\to\R$ convexe, $n\geq1$ et $x_1,\ldots,x_n\in I$.
|
||
Montrer que
|
||
$$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\leq
|
||
\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k).$$
|
||
2. Soit $S\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que
|
||
$(\operatorname{Tr}(S)/n)^n\geq\det(S)$ et préciser le cas d'égalité.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 986]
|
||
On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$.
|
||
1. Comparer $\operatorname{Tr}(A^2)$ et $\operatorname{Tr}(A^TA)$.
|
||
2. Montrer que $A^TA$ est diagonalisable à valeurs propres positives.
|
||
3. Comparer $\Ker(A)$ et $\Ker(A^TA)$, puis leurs rangs.
|
||
4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont mêmes valeurs propres avec mêmes
|
||
multiplicités.
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||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 987]
|
||
1. Rappeler les définitions de $\mathcal S_n^+(\R)$ et $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
|
||
2. Soit $H=(1/(i+j-1))_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que
|
||
$H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
|
||
3. Soit $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe une unique
|
||
$R\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B=R^2$. Si
|
||
$A\in\mathcal S_n(\R)$, montrer que $AB$ est diagonalisable.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 988]
|
||
On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire
|
||
$\langle M,N\rangle=\operatorname{Tr}(M^TN)$. Soit $A\in GL_n(\R)$.
|
||
1. Montrer que, pour tout $S\in\mathcal S_n^+(\R)$, il existe
|
||
$B\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $S=B^2$.
|
||
2. Montrer qu'il existe $(U,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^+(\R)$ tel
|
||
que $A=US$.
|
||
3. Pour $V\in O_n(\R)$, établir $\|A-V\|^2=\|D-W\|^2$, où $W\in O_n(\R)$ et $D$ est une matrice diagonale semblable à $A$.
|
||
4. Montrer que la distance de $A$ à $O_n(\R)$ est atteinte.
|
||
5. Montrer que $A\mapsto d(A,O_n(\R))$ est lipschitzienne.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
** Analyse
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 989]
|
||
Soit $E=\{(u_n)\in\R^\N:\sum|u_n|\text{ converge}\}$ et
|
||
$\alpha=(\alpha_n)_{n\geq0}\in\R^\N$. Pour $u\in E$, poser
|
||
$N(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_n|u_n|$. Donner une condition
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nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $N$ soit une norme sur $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 990]
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Soient $p,q>1$ tels que $1/p+1/q=1$.
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1. Pour $u,v\geq0$, montrer que $uv\leq u^p/p+v^q/q$.
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2. En déduire l'inégalité de Hölder pour deux suites finies positives.
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3. Que reconnaît-on pour $p=2$ ?
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4. Montrer l'inégalité triangulaire pour la norme $\ell^p$ sur les
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vecteurs à coordonnées positives.
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5. Montrer que l'ensemble $\ell^p$ des suites réelles telles que
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$\sum|u_n|^p$ converge est un espace vectoriel et que
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$u\mapsto(\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|^p)^{1/p}$ est une norme.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 991]
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Pour $A\subset\N$, poser $x_A=\sum_{k\in A}(9/10)^k$.
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1. Justifier la définition de $x_A$.
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2. Soit $E=\{x_A:A\subset\N\}$. Montrer que $E$ admet une symétrie.
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3. Montrer que $E$ est fermé.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 992]
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1. Soit $z=re^{i\theta}=x+iy\in\C\setminus\R_-$ avec $\theta\in]-\pi,\pi[$.
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Montrer que $\theta=2\arctan\left(\frac{y}{x+|z|}\right)$.
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2. En déduire qu'il existe une fonction continue
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$L_0:\C\setminus\R_-\to\C$ telle que $z=\exp(L_0(z))$.
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3. Déterminer toutes les fonctions continues $L$ sur ce domaine telles
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que $z=\exp(L(z))$.
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4. Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $L:\C\to\C$ telle
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que $z=\exp(L(z))$ pour tout $z$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 993]
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Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $M_n(\C)$.
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1. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $\|AB\|\leq c\|A\|\|B\|$.
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2. Pour $A\in M_n(\C)$, montrer que $(\|A^k\|^{1/k})_{k\geq1}$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 994]
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Soit $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $M_n(\C)$.
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1. Soit $A$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer que $A\in\mathcal N$.
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2. $\mathcal N$ est-il ouvert ou fermé ?
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3. Soient $A\in GL_n(\C)$ et $B\in\mathcal N$ commutant. Montrer que
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$\det(A+B)=\det(A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 995]
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1. Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre
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$\Ker(A)=\Ker(A^2)$, $\operatorname{Im}(A)=\operatorname{Im}(A^2)$,
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et $\Ker(A)\oplus\operatorname{Im}(A)=\R^n$.
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2. L'ensemble des matrices vérifiant la première propriété est-il convexe,
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fermé ou ouvert ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 996]
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Soit $a\in\C$ tel que $\operatorname{Re}(a)>0$ et $\operatorname{Im}(a)>0$.
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On définit $z_0=a$ et $z_{n+1}=\frac12(z_n+|z_n|)$. Déterminer la limite
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de $(z_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 997]
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Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_1>0$ et
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$u_{n+1}=u_n+\frac1{n u_n}$ pour $n\geq1$.
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1. Étudier la convergence de $(u_n)$.
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2. Déterminer un équivalent de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 998]
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Étudier la nature et déterminer la limite éventuelle de
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$$u_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{\sqrt{k(n-k)}}n\right).$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 999]
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Soit $\ell\in\C$. On veut montrer que
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$\left(1+\frac\ell n\right)^n\to e^\ell$.
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1. Traiter le cas $\ell\in\R$.
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2. Pour $\ell\in\C$, montrer que
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$$\left|e^\ell-\left(1+\frac\ell n\right)^n\right|
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\leq e^{|\ell|}-\left(1+\frac{|\ell|}n\right)^n$$
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et conclure.
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3. Soit $(u_n)$ complexe de limite $\ell$. Montrer que
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$(1+u_n/n)^n\to e^\ell$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1000]
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Pour $n\geq1$, poser $P_n=-1+\sum_{k=1}^nX^k$.
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1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine $u_n$ dans $\R_+$.
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2. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
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3. Déterminer un équivalent de $u_n-\ell$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1001]
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Pour $x\geq0$ et $n\geq1$, poser $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/k-1$.
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1. Montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$.
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2. Montrer que $(x_n)$ est strictement décroissante et converge.
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3. Expliciter $f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$.
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4. Déterminer $\ell=\lim x_n$.
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5. Justifier qu'il existe $c_n\in]\ell,x_n[$ tel que
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$-f_n(\ell)=f_n'(c_n)(x_n-\ell)$ et en déduire un équivalent de
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$x_n-\ell$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1002]
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Soit $k\geq1$. Étudier la convergence et calculer la somme de
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$\sum_{i\geq1}\frac1{i(i+k)}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1003]
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Pour $n\geq2$, on pose
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$$u_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2k+1}.$$
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1. La série $\sum u_n$ est-elle convergente ?
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2. Déterminer un équivalent de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1004]
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Étudier la nature de la série de terme général
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$$u_n=\frac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1005]
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Étudier la nature de $\sum\frac{\sin(\sqrt n)}n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1006]
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Soit $a>0$. Pour $n$ assez grand, poser
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$$u_n=\arccos\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{(-1)^n}{n^a}\right)-\frac\pi6.$$
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||
Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1007]
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Pour $n\geq1$, poser $a_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$. Montrer que
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$$a_n+\frac{(-1)^n\sqrt n}{2}$$
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admet une limite $\ell>0$, puis étudier $\sum1/a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1008]
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1. Pour $n\in\N$, montrer qu'il existe un unique $a_n\geq0$ tel que
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$e^{a_n}+na_n=2$.
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2. Étudier la nature des séries $\sum a_n$ et $\sum(-1)^na_n$.
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3. Déterminer $\lim_{n\to+\infty}n(1-na_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1009]
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Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\pi/2$ et
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$u_{n+1}=(-1)^n\arctan(u_n)$.
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1. Montrer que $(u_n)$ converge.
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2. Montrer que $\sum u_n$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1010]
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Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle et
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$v_n=\frac1n(u_1+\cdots+u_n)$.
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1. Si $\sum u_n$ ne diverge pas grossièrement, montrer que $\sum v_n$
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||
ne diverge pas grossièrement.
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2. Si $\sum u_n$ converge, peut-on conclure pour $\sum v_n$ ?
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3. On suppose $\sum u_n^2$ convergente. Montrer que
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$$v_n^2-2u_nv_n\leq(n-1)v_{n-1}^2-nv_n^2,$$
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puis que $\sum v_n^2$ converge et
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$\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leq4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1011]
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Soit $(u_n)$ définie par $u_0>0$ et $u_{n+1}=1/(2+u_n)$. Montrer que
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$(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ à préciser, et déterminer la
|
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nature de $\sum(u_n-\ell)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1012]
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Soit $f:\R^*\to\R$ définie par $f(x)=1+\frac12\sin(1/x)$.
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1. Montrer que $f(f(x))\geq1$ pour tout $x\neq0$.
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2. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\ell$.
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3. Pour $u_0\neq0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, montrer que $(u_n)$ est bien
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définie et converge vers $\ell$.
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4. Déterminer la nature de $\sum(\ell-u_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1013]
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Soit $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$.
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1. Si $f'(x)/f(x)\to-\infty$, montrer que $f(x+1)/f(x)\to0$ et en
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déduire que $\sum f(n)$ converge.
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2. Si $f'(x)/f(x)\to\alpha<0$, déterminer la limite de $f(x+1)/f(x)$ et,
|
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selon $\beta\in\R$, la nature de $\sum n^\beta f(n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1014]
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Soit $(u_n)_{n\in\N}\in\C^\N$ telle que $\sum|u_n|$ converge et
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$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^k=0$ pour tout $k\geq1$. Montrer que $(u_n)$
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est la suite nulle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1015]
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Soit $(q_n)_{n\in\N}$ une suite croissante d'entiers au moins égaux à 2.
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1. Si $(q_n)$ est stationnaire, montrer que
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$\sum_{n=0}^{+\infty}(q_1q_2\cdots q_n)^{-1}\in\Q$.
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2. En admettant la réciproque, montrer que $e$ et $\operatorname{ch}(1)$
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sont irrationnels.
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3. Montrer la réciproque de la première question.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1016]
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Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$.
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1. Si $S_n\to+\infty$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge si
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et seulement si $\alpha>1$.
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2. Si $S_n\to S>0$, poser $R_n=S-S_n$. Montrer que
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||
$\sum u_n/R_{n-1}^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha<1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1017]
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Étudier la fonction
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$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}\arctan(x)$ : domaine, graphe, limites et asymptotes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1018]
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1. Résoudre $\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=1$.
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2. Soient $x_1<\cdots<x_n$. Montrer que
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$x\mapsto\sum_{k=1}^n|x-x_k|$ est continue et admet un minimum.
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3. Pour $f_k(x)=|x-x_k|$, montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1019]
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Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[0,1]$. Comparer
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$\sum_{k=1}^n\arccos(\alpha_k)$ et
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$\arccos(\prod_{k=1}^n\alpha_k)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1020]
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Pour $x>0$, poser $f(x)=x^{x^{1/x}}$. Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$,
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$\lim_{x\to+\infty}f(x+1)/f(x)$ et un équivalent de $f(x)$ en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1021]
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Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les $f\in C^1(\R,\R)$ telles que
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||
$f'(x)=f(\lambda x)$ pour $\lambda=1$, $\lambda=-1$, puis $|\lambda|<1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1022]
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||
Soit $f:\R_+\to\R$ continue et surjective. Pour $y\in\R$, montrer que
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||
$y$ admet une infinité d'antécédents. Une fonction polynomiale de
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||
$\R_+$ dans $\R$ peut-elle être surjective ?
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1023]
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||
Soit $f:\R\to\R$ continue en 0 et telle que
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$$\frac{f(4x)-f(x)}x\longrightarrow\ell\quad(x\to0).$$
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||
Montrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer $f'(0)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1024]
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Soit $f:[0,1]\to\R$ dérivable, non identiquement nulle, et telle qu'il
|
||
existe $M>0$ vérifiant $|f'(x)|\leq M|f(x)|$ pour tout $x\in[0,1]$.
|
||
Montrer que $f$ ne s'annule pas.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1025]
|
||
Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et strictement positive.
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1. Pour $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique
|
||
$(a_{n,0},\ldots,a_{n,n})\in[0,1]^{n+1}$ avec
|
||
$0=a_{n,0}<\cdots<a_{n,n}=1$ et
|
||
$$\int_{a_{n,k-1}}^{a_{n,k}}f(t)dt=\frac1n\int_0^1f(t)dt.$$
|
||
2. Déterminer la limite de $\frac1n\sum_{k=0}^na_{n,k}$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1026]
|
||
Soit $a\in\R\setminus\{-1,1\}$ et
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||
$I(a)=\int_0^{\pi/2}\ln(1-2a\cos\theta+a^2)d\theta$.
|
||
1. Montrer que $I(a)$ est bien définie.
|
||
2. Calculer $I(a)$ à l'aide de sommes de Riemann.
|
||
Indication : factoriser $X^{2n}-1$ dans $\R[X]$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1027]
|
||
Pour $x\neq\pm1$, calculer
|
||
$$\int_0^{2\pi}\frac{dt}{x-e^{it}}$$
|
||
à l'aide de la décomposition en éléments simples de
|
||
$x\mapsto\frac{nx^{n-1}}{x^n-1}$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1028]
|
||
Soient $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et
|
||
$g(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1[$. Pour $n\geq1$, poser
|
||
$$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad
|
||
T_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}g(k/n).$$
|
||
1. Montrer que $(I_n)$ converge et déterminer sa limite.
|
||
2. Montrer que $(T_n)$ converge.
|
||
3. Poser $\Delta_n=I_n-\ell$. Pour $\alpha<1$, montrer que
|
||
$n^\alpha\Delta_n\to0$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1029]
|
||
Montrer qu'il existe $A,B\in\R$ tels que, pour toute fonction
|
||
$2\pi$-périodique $f\in C^1(\R,\R)$,
|
||
$$\sup_\R|f|\leq A\int_0^{2\pi}|f(t)|dt+B\int_0^{2\pi}|f'(t)|dt.$$
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1030]
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||
Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ telle que $f^2$ soit intégrable sur $\R_+$ et
|
||
$$g(x)=\frac1x\int_0^xf(t)dt\quad(x>0).$$
|
||
Déterminer $\lim_{x\to0}g(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}g(x)$, puis
|
||
montrer que $g^2$ est intégrable sur $\R_+$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1031]
|
||
1. Pour quels $z\in\C$ l'intégrale $\int_1^{+\infty}t^{-z}dt$ converge ?
|
||
On rappelle $t^z=\exp(z\ln t)$.
|
||
2. Montrer que $\sum(1/n^z-\int_n^{n+1}t^{-z}dt)$ converge pour
|
||
$\operatorname{Re}(z)>0$.
|
||
3. Étudier la convergence de $\sum1/n^z$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1032]
|
||
Pour $n\geq1$ et $x\geq0$, poser $f_n(x)=(1+x/n)^{-n}$.
|
||
1. Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\R_+$ vers une fonction $g$.
|
||
2. Montrer que $f_n\geq g$.
|
||
3. Montrer qu'il existe $\alpha_n>0$ tel que
|
||
$\|f_n-g\|_\infty=(f_n-g)(\alpha_n)$.
|
||
4. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $\R_+$.
|
||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1033]
|
||
Pour $N\in\N$ et $x\in\R\setminus\Z$, poser
|
||
$S_N(x)=\sum_{k=-N}^N\frac1{x+k}$.
|
||
1. Montrer la convergence simple de $(S_N)$ vers $S$ et que $S$ est
|
||
impaire et 1-périodique.
|
||
2. Montrer que $S$ est continue.
|
||
3. On admet $S(x/2)+S((x+1)/2)=2S(x)$. Poser
|
||
$f(x)=\pi\cot(\pi x)-S(x)$. Montrer que $f$ est continue, impaire et
|
||
1-périodique.
|
||
4. Montrer que $f$ se prolonge continûment en 0 puis sur $\R$.
|
||
5. Montrer que $f$ est majorée et atteint un maximum $M$ en $a\in\R$.
|
||
6. Montrer que $f(a/2)=M$ et en déduire que $f=0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1034]
|
||
Soit $(a_n)$ décroissante et positive, et $f_n(x)=a_nx^n(1-x)$ sur $[0,1]$.
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||
1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement.
|
||
2. Montrer que $\sum f_n$ converge normalement si et seulement si
|
||
$\sum a_n/n$ converge.
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3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément si et seulement si
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$a_n\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1035]
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Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\sqrt{x+n}$.
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1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $S$.
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2. Déterminer les limites de $S$ en 0 et en $+\infty$.
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3. Montrer que, pour $x>0$,
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$$S(x)=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{+\infty}
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\frac{e^{-tx}}{\sqrt{t}(1+e^{-t})}dt.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1036]
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Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\arctan(nx)/n^2$.
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||
1. Déterminer le domaine de définition de $S=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$
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et étudier sa continuité.
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2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1037]
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Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{1-x^n}$.
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1. Préciser son domaine de définition $D$.
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2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$.
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||
3. Pour $\psi(u)=e^{-u}/(1-e^{-u})$, trouver un équivalent de
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$\sum_{n\geq1}\psi(nu)$ quand $u\to0^+$.
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||
4. En déduire un équivalent de $f$ en $1^-$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1038]
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Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x/(x^2+n^2)$ et
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$F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$.
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1. Déterminer le domaine de définition de $F$. Est-elle de classe $C^1$ ?
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2. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$.
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||
3. La série $\sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur son domaine ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1039]
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Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=\frac{nx}{n^4+x^2}$ pour $x\geq0$ et
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||
$S=\sum_{n\geq1}f_n$.
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||
1. Montrer que la série converge simplement.
|
||
2. Montrer que $S$ est continue.
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3. Montrer que $n^4+x^2\geq\frac12(n^2+x)^2$ et en déduire
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||
$S(x)\leq\sum_{n\geq1}\frac{\sqrt{x}}{n^2+x}$.
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||
4. Montrer que $S$ est bornée.
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||
5. Montrer que $S(x)$ ne tend pas vers 0 quand $x\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1040]
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Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-x}$.
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||
1. Montrer que $\zeta$ est de classe $C^\infty$ sur $]1,+\infty[$.
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2. Déterminer ses variations (sans les limites) et étudier sa convexité.
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3. Déterminer sa limite en $+\infty$.
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||
4. Déterminer un équivalent de $\zeta$ en $1$.
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||
5. $\ln(\zeta)$ est-elle convexe ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1041]
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Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$ telle que
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$\sum_{n\in\N}f^{(n)}/n!$ converge uniformément sur tout segment de $\R$.
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Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}/n!$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1042]
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Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$.
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||
1. Donner son domaine de définition.
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||
2. Poser $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln(1+1/n)-1/n)x^n$.
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Déterminer le domaine de définition de $g$.
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3. Donner la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to1^-$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1043]
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||
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=u_1=1$ et
|
||
$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n/(n+2)$.
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||
1. Déterminer la limite de $(u_n)$.
|
||
2. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Montrer que son rayon de
|
||
convergence est strictement positif, calculer $S$ sur son domaine,
|
||
puis déterminer explicitement $u_n$ et un équivalent.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1044]
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||
Soit $(F_n)$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et
|
||
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Calculer $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$
|
||
et déterminer son rayon de convergence.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1045]
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Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et
|
||
$h(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
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1. Si $R$ est le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$, donner celui de
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$\sum a_n^3x^n$.
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2. Étudier $(a_n)$.
|
||
3. Que peut-on dire de $R$ ?
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||
4. Calculer $h(x)$.
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||
5. Établir une relation entre $a_{n+2}$ et $a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1046]
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Soit $P\in\R[X]$ de degré 2.
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1. Montrer que $e^{P(x)}$ est développable en série entière
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||
$\sum a_nx^n$ et préciser son rayon de convergence.
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2. Montrer qu'il n'existe pas d'indice $n$ tel que $a_{n+1}=a_n=0$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1047]
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||
Pour $n\geq1$, poser $a_n=(-1)^n\ln(n)$ et
|
||
$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
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||
1. Déterminer le rayon de convergence et le domaine de définition de $S$.
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||
2. Montrer, en utilisant $(1+x)S(x)$, que la série converge en $x=1$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1048]
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||
Soit $f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\ln(1+1/k)x^k$ et $R$ son rayon.
|
||
1. Calculer $f(-R)$.
|
||
2. Déterminer la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to R^-$.
|
||
3. Calculer $\int_0^1(-1)^{\lfloor1/x\rfloor}x\,dx$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1049]
|
||
Soit $(a_n)$ une suite réelle non nulle telle que
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||
$a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ pour $n\geq2$. Déterminer une fonction de
|
||
classe $C^\infty$ définie au voisinage de 0 telle que $f^{(n)}(0)=a_n$
|
||
pour tout $n\in\N$.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1050]
|
||
Soit $(a_n)$ positive telle que $\sum a_n$ converge et
|
||
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$, de rayon de convergence 1.
|
||
Montrer que $f(x)\to\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ quand $x\to1^-$.
|
||
Que dire si $\sum a_n$ diverge ?
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1051]
|
||
Soit $(a_n)$ sommable dans $\C$ et
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||
$g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n/n!$.
|
||
1. Montrer que $g$ est définie et continue.
|
||
2. Montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t}g(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$.
|
||
3. Supposons seulement que $\sum a_n$ converge. Poser
|
||
$A_n=\sum_{k=0}^na_k$, $A_{-1}=0$ et
|
||
$F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_{n-1}x^n/n!$. Montrer que $F$ est définie,
|
||
de classe $C^1$, que $\int_0^xe^{-t}g(t)dt=e^{-x}F(x)$, et que
|
||
l'égalité précédente reste vraie.
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#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1052]
|
||
Soit $f(x)=e^{-1/x}$ si $x>0$ et $f(x)=0$ si $x\leq0$.
|
||
1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de tout
|
||
$a\in\R^*$.
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#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1053]
|
||
Soient $r>0$ et $E_r$ l'ensemble des fonctions développables en série
|
||
entière sur $]-r,r[$. Pour $f\in E_r$, poser
|
||
$\Phi(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}{t+x}dt$.
|
||
1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E_r$.
|
||
2. Déterminer ses éléments propres.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1054]
|
||
Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2^nx)}{n!}$.
|
||
1. Justifier la définition de $f$ et préciser sa régularité.
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||
2. La fonction $f$ est-elle développable en série entière ?
|
||
#+end_exercice
|
||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1055]
|
||
Pour $n\in\N$, poser
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||
$I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln(t)}{1-t^2}dt$.
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||
1. Montrer que $I_n$ existe.
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||
2. Exprimer $I_n$ à l'aide d'une série.
|
||
3. Donner un équivalent de $I_n$.
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||
#+end_exercice
|
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1056]
|
||
Pour $n\geq1$, poser
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$$I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^4)^n},\qquad
|
||
J_n=\frac1{4\sqrt n}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}.$$
|
||
1. Montrer que $I_n,J_n$ sont définies.
|
||
2. Montrer que $(I_n)$ est monotone, puis déterminer sa limite.
|
||
3. Montrer que $0\leq I_n\leq J_n$.
|
||
4. Montrer que $\ln(1+\alpha)\geq\alpha/(1+\alpha)$ pour $\alpha\geq0$.
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||
5. Poser $K_n=\int_0^nt^{-3/4}(1+t/n)^{-n}dt$. Montrer que $(K_n)$
|
||
converge et calculer sa limite.
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||
6. En déduire un équivalent de $I_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1057]
|
||
Pour $n\geq1$, poser $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt$.
|
||
1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
|
||
2. Déterminer sa limite puis un équivalent de $I_n$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1058]
|
||
Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t+\cdots+t^{n-1}}$.
|
||
1. Montrer que $u_n$ est bien définie et que $\sum1/k^2$ converge.
|
||
2. Déterminer la limite de $(u_n)$.
|
||
Poser $S(n)=\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(nk+1)(nk+2)}$.
|
||
3. Montrer que $u_n=\ell+S(n)/n^2$ pour un réel $\ell$.
|
||
4. Montrer que $(S(n))$ admet une limite finie et en déduire un équivalent
|
||
de $u_n-\ell$.
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||
5. Déterminer un développement asymptotique de $u_n-\ell$ à $o(1/n^3)$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1059]
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Pour $x>-1$, poser
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||
$$f(x)=\int_0^{\pi/2}(\cos t)^xdt,\qquad
|
||
g(x)=(x+1)f(x)f(x+1).$$
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||
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]-1,+\infty[$.
|
||
2. Établir des relations entre $f(x+2),f(x)$ puis entre $g(x+1),g(x)$.
|
||
3. Montrer que $f(x+1)\sim f(x)$ quand $x\to+\infty$.
|
||
4. Étudier les variations de $x\mapsto g(x)/(x+1)$.
|
||
5. Calculer $g(n)$ pour $n\in\N$.
|
||
6. Montrer que $g$ est constante et donner un équivalent de $f(x)$ en
|
||
$+\infty$.
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||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1060]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(2+t)}{x+t}dt$.
|
||
1. Déterminer son intervalle de définition $I$.
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||
2. Étudier la continuité de $f$ sur $I$.
|
||
3. Donner ses limites aux bornes de $I$.
|
||
4. Donner un équivalent de $f$ aux bornes de $I$.
|
||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1061]
|
||
Soient
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||
$$F(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sh}(at)}{e^t-1}dt,
|
||
\qquad G(a)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2-a^2}.$$
|
||
1. Montrer que $F$ est continue sur un domaine $D$ à déterminer.
|
||
2. $F$ est-elle de classe $C^\infty$ sur $D$ ?
|
||
3. Montrer que $G$ est continue sur son domaine de définition.
|
||
4. Montrer que $F(a)=aG(a)$ pour $a\in D$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1062]
|
||
1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge.
|
||
2. Pour $x\geq0$, poser
|
||
$$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt,
|
||
\qquad G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$
|
||
Montrer que $(F+G)/2$ est constante, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$,
|
||
puis en déduire $I$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1063]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t}{1+t^2}e^{-xt}dt$.
|
||
1. Déterminer le domaine de définition.
|
||
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$.
|
||
3. Donner ses limites aux deux bornes.
|
||
4. Donner un équivalent aux deux bornes.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1064]
|
||
Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, poser
|
||
$I_n(x)=\int_0^1(1-t^2)^n\cos(tx)dt$.
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||
1. Montrer que $I_n$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $I_n'$ en
|
||
fonction de $I_{n+1}$.
|
||
2. Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n+1}(0)$ et $I_n(0)$.
|
||
3. En déduire la valeur de
|
||
$\sum_{k=0}^n(-1)^k/((2k+1)(n-k)!)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1065]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.
|
||
1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(x+1)}$ pour $x>0$ et en déduire $f(x)$.
|
||
3. Étudier la convergence et calculer
|
||
$\int_0^{+\infty}(\arctan(x)/x)^2dx$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1066]
|
||
Soit $E$ l'espace des fonctions continues et bornées de $\R$ dans $\R$.
|
||
Pour $f\in E$, poser
|
||
$$\Phi(f)(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)f(t)}{1+t^2}dt,$$
|
||
et $N(f)=\sup_{t\in\R}|f(t)|$.
|
||
1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$.
|
||
2. Montrer que $\Phi(f)$ est de classe $C^1$.
|
||
3. Pour $f_0(x)=1$ et $g=\Phi(f_0)$, calculer $g'$ et $g(1)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1067]
|
||
Soient $a,b>0$ et
|
||
$$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\cos(xt)dt.$$
|
||
1. Montrer que $F$ est bien définie.
|
||
2. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que
|
||
$$F(x)=C+\frac12\ln\left(\frac{a^2+x^2}{b^2+x^2}\right).$$
|
||
3. Poser $\psi(t)=(e^{-at}-e^{-bt})/t$. Montrer que $\psi$ se prolonge
|
||
en une fonction $C^1$ sur $\R_+$ et que $\psi'$ est intégrable.
|
||
Calculer $C$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1068]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{e^t-1}dt$.
|
||
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{x^2+n^2}$.
|
||
3. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x\to+\infty$.
|
||
4. La série de fonctions $\sum x/(x^2+n^2)$ converge-t-elle uniformément ?
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1069]
|
||
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(x+t)}{x+t}dt$.
|
||
1. Déterminer son domaine $D$.
|
||
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.
|
||
3. Déterminer ses limites aux bornes de $D$.
|
||
4. Donner des équivalents simples aux bornes de $D$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1070]
|
||
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+xt^2)}{t(1+t^2)}dt$.
|
||
1. Déterminer son domaine de définition.
|
||
2. Montrer que
|
||
$$F(x)=\frac12\int_0^x\frac{\ln t}{t-1}dt.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1071]
|
||
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)dt$.
|
||
1. Déterminer son domaine de définition.
|
||
2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine.
|
||
3. Montrer que $F$ est développable en série entière en 0 et préciser
|
||
son développement.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1072]
|
||
Pour $x\in\R$, poser $G(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2-x^2/t^2}dt$.
|
||
1. Montrer que $G$ est définie et continue sur $\R$.
|
||
2. Montrer que $G$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
|
||
3. Déterminer $G$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1073]
|
||
Pour $\alpha\in\R$, lorsque cela a un sens, poser
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$I_\alpha=\int_1^{+\infty}|\sin(t)/t^\alpha|dt$.
|
||
1. Déterminer l'ensemble $D$ des $\alpha$ pour lesquels $I_\alpha$ converge.
|
||
2. Montrer que $F:\alpha\mapsto I_\alpha$ est continue sur $D$.
|
||
3. Déterminer la limite et un équivalent de $F(\alpha)$ au bord inférieur
|
||
de $D$.
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||
#+end_exercice
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||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1074]
|
||
On sait que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$. Soit
|
||
$\varphi:\R\to\R$ continue et bornée et, pour $n\geq1$,
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$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac n\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}
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||
\varphi(y)e^{-n(x-y)^2}dy.$$
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1. Montrer que $\psi_n$ est bien définie et de classe $C^1$.
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2. Montrer que $(\psi_n)$ converge simplement sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1075]
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Soit $f\in C^{n+1}(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$. Pour $x\neq0$, poser
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$g(x)=f(x)/x$.
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1. Montrer que $g(x)=\int_0^1f'(xt)dt$.
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2. Pour $0\leq k\leq n$, déterminer $\lim_{x\to0^+}g^{(k)}(x)$ et
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||
montrer que $g$ est de classe $C^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1076]
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Soient $a<b$, $c<d$ et $f:[a,b]\times[c,d]\to\R$ continue.
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1. Justifier l'existence de
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$g(t)=\int_a^b(\int_c^tf(x,y)dy)dx$ et montrer que $g$ est $C^1$.
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2. Justifier l'existence des intégrales et montrer
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$$\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx
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=\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)dx\right)dy.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1077]
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||
Pour $x>0$, poser $f(x)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^x)dt$.
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||
Montrer que $f$ est définie et l'exprimer comme somme d'une série.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1078]
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Soit $F(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$ pour $x\in]0,1[$.
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Montrer que $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1079]
|
||
Soit $f:\R\to\R$ continue et intégrable. Montrer que
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$y'-y=f(x)$ admet une unique solution bornée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1080]
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On considère $2xy'(x)+y(x)=\frac1{1-x}$.
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1. Résoudre l'équation sur les intervalles pertinents.
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2. Montrer que sur $]-\infty,1[$ elle possède une unique solution
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de classe $C^\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1081]
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Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$.
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1. Déterminer le rayon $R$ et montrer que $S$ vérifie
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$x(x-4)y'+(x+2)y=2$ sur $]-R,R[$.
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||
2. En déduire une expression de $S(x)$ pour $x\in]0,4[$, puis calculer
|
||
$\sum_{n=0}^{+\infty}1/\binom{2n}{n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1082]
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On considère $(1-x)y'-xy=0$, avec $y(0)=1$.
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||
1. Déterminer la solution sur $]-\infty,1[$.
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2. Montrer que $y$ est développable en série entière et donner une
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récurrence pour ses coefficients.
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3. Pour $n\in\N$, soit $D_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$
|
||
sans point fixe. Montrer que $D_{n+1}=n(D_n+D_{n-1})$.
|
||
4. À l'aide des deux premières questions, donner une expression de $D_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1083]
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On considère $4xf''(x)+2f'(x)+f(x)=0$. Déterminer les solutions
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développables en série entière en 0. Avec le changement de variable
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$t=\sqrt{x}$, déterminer toutes les solutions sur $\R_+^*$ et $\R_-^*$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1084]
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On considère $t^2y''+ty'-(t^2+t+1)y=0$.
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1. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage
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de 0.
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2. Trouver des solutions de la forme $t\mapsto t^re^{\alpha t}$.
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||
3. Donner toutes les solutions.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1085]
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Déterminer les fonctions $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ telles que
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$\frac{\partial f}{\partial x}-xy\frac{\partial f}{\partial y}=0$.
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On pourra poser $(u,v)=(x,ye^{x^2/2})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1086]
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Soit $f:\R^2\to\R$ de classe $C^2$ telle que $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}=0$.
|
||
Pour $(r,\theta)\in\R^2$, poser $g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$.
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||
1. Montrer que $g$ est de classe $C^2$ et établir l'équation polaire
|
||
vérifiée par $g$ sur $\R^*\times\R$.
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2. Montrer que $F(r)=\int_0^{2\pi}g(r,\theta)d\theta$ est constante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1087]
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Soit $f:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto\frac1{xy}+x+y$.
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Déterminer ses extrema.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1088]
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Soit $A=\{(x,y)\in\R^2:x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et
|
||
$f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-2x+3y$. Déterminer $\sup f$ et $\inf f$.
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||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1089]
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Soit
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$U=\{(x,y)\in]-\pi/2,\pi/2[^2:x<0,\ y-x>\pi/2\}$ et
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$f(x,y)=\tan(y)-\tan(x)+\tan(x-y)$.
|
||
1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $U$ et le déterminer.
|
||
2. Pour un cercle $C$ du plan affine euclidien, déterminer les triangles
|
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pleins contenant $C$ d'aire minimale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1090]
|
||
Soit $T=\{(x,y):x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et
|
||
$f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-4x-3y+1$. Déterminer les extrema de $f$.
|
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1091]
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Soient
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$$A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\1&2&3\end{pmatrix},\qquad
|
||
f(X)=(1+X^TAX)e^{-\|X\|^2},\quad X\in\R^3.$$
|
||
Déterminer les extrema globaux de $f$ sur $\R^3$.
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||
#+end_exercice
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1092]
|
||
Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$ telle que
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||
$\operatorname{Sp}(H_f(x))\subset[1,+\infty[$ pour tout $x$.
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||
1. Pour $x\in\R^n$, poser $\varphi(t)=f(tx)$. Montrer que $\varphi$ est
|
||
$C^2$ et expliciter $\varphi',\varphi''$.
|
||
2. Pour $x,h\in\R^n$, comparer $h^TH_f(x)h$ et $\|h\|^2$.
|
||
3. Poser $\psi(t)=f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-t^2\|x\|^2/2$.
|
||
Montrer que $\psi$ est convexe.
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||
4. Montrer que $f$ admet un minimum global.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1093]
|
||
On considère $N$ personnes se présentant à un examen qu'elles peuvent
|
||
repasser. Chaque tentative réussit avec probabilité $p\in]0,1[$, et
|
||
chacun s'arrête au premier succès. Soit $X_k$ le nombre de tentatives de
|
||
la personne $k$, $X$ le nombre total de candidatures et $Y$ le nombre de
|
||
sessions. Les $X_k$ sont indépendantes. Déterminer les lois, espérances et
|
||
variances de $X_k$, $X$ et $Y$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1094]
|
||
Deux groupes $D_1,D_2$ ont chacun $n$ équipes. On forme aléatoirement des
|
||
matchs par paires parmi les $2n$ équipes. Soit $A_n$ l'événement que chaque
|
||
match oppose une équipe de chaque groupe.
|
||
1. Calculer $\P(A_n)$ et donner un équivalent quand $n\to+\infty$.
|
||
2. Soit $X_n$ le nombre de matchs intergroupes. Calculer $\E(X_n)$.
|
||
3. Pour $n$ pair, calculer $\P(X_n=0)$ et déterminer la loi de $X_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1095]
|
||
On répartit au hasard $n$ boules dans $n$ boîtes, chaque boule choisissant
|
||
uniformément une boîte. Soit $X_n$ le nombre de boîtes vides.
|
||
1. Calculer $\E(X_n)$ et $V(X_n)$.
|
||
2. Déterminer les limites de $\E(X_n/n)$ et $V(X_n/n)$.
|
||
3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que
|
||
$\P(|X_n/n-e^{-1}|\geq\varepsilon)\to0$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1096]
|
||
Soient $r\geq2$ et $(X_n)$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,r\}$.
|
||
Soit $A_n$ l'événement que, parmi $X_1,\ldots,X_{nr}$, chaque valeur
|
||
$k\in\{1,\ldots,r\}$ apparaisse exactement $n$ fois. Calculer $\P(A_n)$,
|
||
puis $\P(\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{p\geq n}A_p)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1097]
|
||
On lance une pièce jusqu'à obtenir deux piles. Soit $X$ le nombre de faces.
|
||
1. Déterminer la loi de $X$.
|
||
2. $X$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui.
|
||
On tire ensuite une boule parmi $X+1$ boules numérotées de 0 à $X$ et on
|
||
note $Y$ son numéro.
|
||
3. Déterminer la loi de $Y$.
|
||
4. $Y$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1098]
|
||
Soit $N\sim\mathcal G(p)$. On réalise $N$ lancers d'une pièce équilibrée
|
||
et note $X$ le nombre de faces.
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||
1. Montrer que $X$ est une variable aléatoire discrète.
|
||
2. Déterminer la loi de $X$ sachant $N=n$.
|
||
3. Pour $k\in\N$, donner le rayon et la somme de
|
||
$\sum_{n\geq k}\binom nkx^n$.
|
||
4. Déterminer la loi de $X$.
|
||
#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1099]
|
||
Soient $r\in\N$ et $Z_1,\ldots,Z_r$ indépendantes telles que $Z_1=1$ et
|
||
$Z_i\sim\mathcal G((r-i+1)/r)$ pour $2\leq i\leq r$. Poser
|
||
$C_r=Z_1+\cdots+Z_r$. Déterminer son espérance et sa variance.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1100]
|
||
Pour $s>1$, poser $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}$ et définir une
|
||
probabilité sur $(\N^*,\mathcal P(\N^*))$ par
|
||
$\P(\{n\})=1/(\zeta(s)n^s)$.
|
||
1. Pour $k\geq1$, poser $M_k=k\N^*$. Montrer que $\P(M_k)=k^{-s}$.
|
||
2. Montrer que les événements $M_{p_1},\ldots,M_{p_k}$ sont indépendants
|
||
si $p_i$ sont des nombres premiers distincts.
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||
3. Montrer que $\P(\bigcap_iM_{p_i}^c)=\prod_i(1-p_i^{-s})$.
|
||
#+end_exercice
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||
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1101]
|
||
Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique $\mathcal G(p)$,
|
||
$p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $X+Y$.
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1102]
|
||
Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$. Soient $X,Y$ indépendantes et
|
||
uniformes sur l'ensemble des parties de $E$. Déterminer la loi de
|
||
$Z=|X\cap Y|$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1103]
|
||
Soit $Z$ uniforme sur l'ensemble $U_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité.
|
||
Poser $X=\operatorname{Re}(Z)$ et $Y=\operatorname{Im}(Z)$. Calculer
|
||
$\operatorname{Cov}(X,Y)$. $X,Y$ sont-elles indépendantes ?
|
||
#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1104]
|
||
Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$,
|
||
$Z=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=ZZ^T$.
|
||
1. Déterminer les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$.
|
||
2. Déterminer la probabilité que $M$ soit une projection.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1105]
|
||
Soient $(\varepsilon_k)_{k\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$.
|
||
Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que, pour tout $\varepsilon>0$,
|
||
$$\P\left(\left|\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac kn+\varepsilon_k\right)
|
||
-\ell\right|\geq\varepsilon\right)\longrightarrow0.$$
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1106]
|
||
Soit $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et $(\varepsilon_n)$ i.i.d.
|
||
uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser
|
||
$$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad
|
||
X_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n)(1-\varepsilon_k).$$
|
||
1. Montrer que $(I_n)$ converge et calculer sa limite $\ell$.
|
||
2. Pour $\varepsilon>0$, déterminer la limite de $\P(|X_n-\ell|\geq\varepsilon)$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1107]
|
||
Soit $n\geq2$. On tire sans remise les boules numérotées de 1 à $n$ et
|
||
$X_k$ est le résultat du $k$-ième tirage. Soit $T_k$ l'indicatrice de
|
||
$X_k>\max(X_1,\ldots,X_{k-1})$ et $S_n=\sum_{k=1}^nT_k$.
|
||
1. Calculer $\P(S_n=1)$ et $\P(S_n=n)$.
|
||
2. Donner la loi de $T_k$ et l'espérance de $S_n$.
|
||
#+end_exercice
|
||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1108]
|
||
1. Calculer $I_{p,q}=\int_0^1t^p(1-t)^qdt$ pour $p,q\in\N$.
|
||
2. On choisit uniformément une urne $U_i$ parmi $p$ urnes, l'urne $U_i$
|
||
contenant $i$ boules blanches et $p-i$ noires. On tire avec remise
|
||
$2n$ boules et $A_{n,p}$ est l'événement d'obtenir $n$ blanches et
|
||
$n$ noires. Écrire $\P(A_{n,p})$ comme somme, puis calculer ses limites
|
||
quand $n\to+\infty$ et quand $p\to+\infty$.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1109]
|
||
Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ avec $X\leq Y$, $\P(X=n)>0$ et la
|
||
loi conditionnelle de $Y$ sachant $X=n$ uniforme sur $\{0,\ldots,n\}$.
|
||
1. Exprimer la loi de $Y$ en fonction de celle de $X$ et montrer que
|
||
$Y$ et $X-Y$ suivent la même loi.
|
||
2. Si $Y+1$ suit une loi géométrique de paramètre $p$, déterminer la loi
|
||
de $X$ et montrer que $Y$ et $X-Y$ sont indépendantes.
|
||
3. Réciproquement, montrer que leur indépendance entraîne que $Y+1$ est
|
||
géométrique.
|
||
#+end_exercice
|
||
|
||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1110]
|
||
Pour $k=1,\ldots,n$, l'urne $k$ contient une boule noire et $k$ boules
|
||
blanches. On tire une boule de chaque urne indépendamment. Soit $X_n$ le
|
||
nombre de boules noires tirées et $A_k$ l'événement que le tirage de l'urne
|
||
$k$ donne une boule noire.
|
||
1. Montrer que $X_n=\sum_{k=1}^n1_{A_k}$ et calculer $\E(X_n)$.
|
||
2. Calculer $V(X_n)$ et montrer $V(X_n)\leq\E(X_n)$.
|
||
3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que
|
||
$\P(|X_n-\E(X_n)|>\varepsilon\E(X_n))\leq1/(\varepsilon^2\E(X_n))$.
|
||
4. Montrer $\ln(n+2)-1\leq\E(X_n)\leq\ln(n+1)$.
|
||
5. En déduire que $X_n/\E(X_n)\to1$ en probabilité.
|
||
#+end_exercice
|
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1111]
|
||
Une puce se déplace sur $\{0,\ldots,n-1\}$, modulo $n$, depuis $k$ vers
|
||
$k+1$ ou $k-1$ avec probabilité $1/2$. On note $X_k$ sa position à
|
||
l'instant $k$ et $U_k=(\P(X_k=0),\ldots,\P(X_k=n-1))^T$.
|
||
1. Donner $A\in M_n(\R)$ telle que $U_{k+1}=AU_k$.
|
||
2. $A$ est-elle diagonalisable ? Déterminer ses sous-espaces propres.
|
||
3. Pour chaque $i$, déterminer $\lim_{k\to\infty}\P(X_k=i)$.
|
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#+end_exercice
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||
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||
#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1112]
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||
Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$,
|
||
$S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et
|
||
$u_n=\sum_{k=1}^n\binom nk\ln(k)$. Poser $f(0)=0$ et $f(x)=\ln x$ pour
|
||
$x\in]0,1]$.
|
||
1. Montrer que $\P(S_n/n\leq1/4)=O(1/n)$.
|
||
2. Exprimer $\E(f(S_n/n))$ en fonction de $u_n$.
|
||
3. Montrer que $|f(S_n/n)-f(1/2)|\leq\ln n+\ln2$.
|
||
4. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $[1/4,1]$.
|
||
5. En déduire un équivalent de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1113]
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Soit $T$ à valeurs dans $\N$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n\in\N$, et $t_n=\P(T=n\mid T\geq n)$.
|
||
1. Exprimer $\P(T\geq n+1\mid T\geq n)$ à l'aide des $t_k$.
|
||
2. Exprimer $\P(T\geq n)$ et $\P(T=n)$ à l'aide des $t_k$.
|
||
3. Montrer que $t_n\in[0,1[$ et que $\sum t_n$ diverge.
|
||
4. Réciproquement, pour $(t_n)\in[0,1[^\N$ telle que $\sum t_n$ diverge, construire $T$ telle que $\P(T=n\mid T\geq n)=t_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1114]
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On dit que $X$ est presque sûrement bornée s'il existe $c\geq0$ avec $\P(|X|\leq c)=1$ ; $X$ admet un moment d'ordre $k$ si $\E(|X|^k)<+\infty$.
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||
1. Existe-t-il des variables ayant des moments à tout ordre sans être presque sûrement bornées ?
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||
2. Soient $X,Y$ ayant des moments à tout ordre, $Y$ presque sûrement bornée et $\E(X^k)=\E(Y^k)$ pour tout $k\in\N$. Montrer que $X$ est presque sûrement bornée et que $X,Y$ ont même loi.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1115]
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Soit $(p_n)_{n\in\N}\subset]0,1[$ telle que $\sum p_n$ converge. Soient $(X_n)$ indépendantes avec $X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Poser $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\lim S_n$.
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1. Exprimer $(S\geq m)$ en fonction des événements $(S_n\geq m)$ et en déduire que $S$ est une variable aléatoire.
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2. Montrer que $S$ est finie presque sûrement.
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3. Montrer que $S$ est d'espérance finie et la calculer.
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4. Donner la loi de $S$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1116]
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Soient $X,Y$ réelles et $(X_n),(Y_n)$ définies sur le même espace probabilisé, avec $X_n\to X$ et $Y_n\to Y$ en probabilité.
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1. Si $|x+y|\geq\varepsilon$, montrer que $|x|\geq\varepsilon/2$ ou $|y|\geq\varepsilon/2$.
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2. Montrer que $X_n+Y_n\to X+Y$ en probabilité.
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3. Pour $(U_n)$ i.i.d. de Bernoulli($p$), poser $V_k=U_k+U_{k+1}$. Montrer que $n^{-1}\sum_{i=1}^nV_i\to2p$ en probabilité.
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4. Montrer que $\P(|X|>M)\to0$ quand $M\to+\infty$.
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5. Montrer que $X_nY_n\to XY$ en probabilité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1117]
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Soit $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$, $p\in]0,1[$. Poser $P_k=\prod_{i=1}^kX_i$, $R_n=\sum_{k=1}^nP_k$ et $R=\sum_{k\geq1}P_k$.
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1. Donner loi, espérance et variance de $P_k$.
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2. Montrer que $R$ est discrète et donner sa loi.
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3. Montrer que $R_n,R$ sont d'espérance finie et que $\E(|R_n-R|)\to0$.
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4. Montrer que $(R_n\to R)$ est un événement.
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5. Montrer que $\P(R_n\to R)=1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1118]
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Soient $X,Y$ indépendantes et $A=\begin{pmatrix}X&0\\2&Y\end{pmatrix}$.
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1. Pour $n\geq2$, avec $X\sim\mathcal B(n,1/4)$ et $Y\sim\mathcal B(n,3/4)$, calculer les probabilités que $A$ soit inversible, diagonalisable.
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2. Même question avec $X\sim\mathcal G(p_1)$, $Y\sim\mathcal G(p_2)$, $p_1,p_2\in]0,1[$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1119]
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Soient $p\in]0,1[$ et $(\varepsilon_k)_{k\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$. Soit $r(n)$ le reste modulo $3$ et $X_{n+1}=r(X_n+2-\varepsilon_n)$, avec $X_0\in\{0,1,2\}$. Poser $V_n=(a_n,b_n,c_n)^T=(\P(X_n=0),\P(X_n=1),\P(X_n=2))$.
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1. Justifier $a_n+b_n+c_n=1$.
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2. Pour $Q=\begin{pmatrix}0&p&1-p\\1-p&0&p\\p&1-p&0\end{pmatrix}$, montrer $V_{n+1}=QV_n$.
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3. Montrer que $Q$ est diagonalisable. La suite $(V_n)$ converge-t-elle ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1120]
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Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.
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1. Si $X_1$ est uniforme sur $\{1,\ldots,N\}$, calculer $\P(M_n<N)$ et montrer $\E(|M_n-N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$.
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2. Si $X_1$ prend ses valeurs dans $0<x_1<\cdots<x_N$ et $\P(X_1=x_N)>0$, montrer $\E(|M_n-x_N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1121]
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Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,N\}$. Poser $S_n=\sum X_k$, $m=\E(X_1)$, $V_n=(S_n-nm)/(\sqrt n\,\sigma(X_1))$ et $M_n(t)=\E(e^{tV_n})$. Montrer $M_n(t)\to e^{t^2/2}$ pour tout $t\in\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1122]
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Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $S_0=0$, $S_n=S_{n-1}+X_n$ et $A_n=|S_n|$.
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1. Déterminer la loi de $(S_n+n)/2$, puis $\E(S_n)$ et $\V(S_n)$.
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2. Déterminer $A_n(\Omega)$.
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3. Montrer $\E(A_{n+1})=\E(A_n)+\P(S_n=0)$. Indication : $|x+y|=|x|+\operatorname{sgn}(x)y$ pour $x\in\Z$, $y\in\{-1,1\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1123]
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Soient $(\varepsilon_n)_{n\geq2}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $X_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k+\varepsilon_k}$ et $I_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$.
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1. Montrer qu'il existe $M\geq0$ tel que $|X_n-I_n|\leq M$.
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2. Donner un équivalent simple de $I_n$.
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3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $\P(|2X_n/\ln^2 n-1|\geq\varepsilon)\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1124]
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Pour $n\geq1$, soient $X_n,Y_n$ indépendantes uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$ et $Z_n=|X_n-Y_n|$.
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1. Calculer $\E(Z_n)$ et $\V(Z_n)$.
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2. Déterminer le comportement asymptotique de ces suites.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1125]
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Pour $X$ réelle à image finie, poser $L_X(t)=\E(e^{tX})$. Montrer que $L_X$ caractérise la loi de $X$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1126]
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Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(2/3)$. Pour $k\geq1$, poser $A_k=(X_{2k-1}X_{2k}=0)$ et $T=\min\{k\geq1:X_{k-1}=X_k=0\}$.
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1. Montrer $\P(\bigcap_{k\geq1}A_k)=1$ et en déduire $\P(T\in\N^*)=1$.
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2. Donner une récurrence d'ordre 2 sur $\P(T=n)$.
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3. Déterminer $\E(T)$, éventuellement à l'aide d'une fonction génératrice.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1127]
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On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p\in]0,1[$. Soit $X$ le rang du premier pile. Sachant que le premier pile est au $k$-ième lancer, choisir $Z$ uniformément entre $1$ et $k$.
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1. Donner la loi de $X$.
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2. Poser $Y=1/(X(X+1))$. Montrer que $Y$ est d'espérance finie et la calculer.
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3. Donner la loi de $Z$.
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4. Calculer $\E(Z)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1128]
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1. Soit $\alpha>0$. Montrer qu'il existe une variable $X$ à valeurs dans $\N$ telle que $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$ pour tout $t\in[-1,1]$.
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2. Donner un équivalent de $\P(X=n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1129]
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Poser $g(t)=\frac{e^t}{1+e-t}$.
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1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ telle que $g=G_X$ sur $[-1,1]$.
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2. La variance de $X$ est-elle définie ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1130]
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Soient $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $Y$ à valeurs dans $\N^*$, indépendant des $X_n$. Poser $W=\sum_{i=1}^Y X_i$.
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1. Relation entre les fonctions génératrices de $X_1$ et $X_1+\cdots+X_n$.
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2. Pour $s\geq0$, calculer $\E(s^W\mathbf1_{Y=n})$ et en déduire $G_W=G_Y\circ G_{X_1}$.
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3. Calculer $\E(W)$ en fonction de $\E(X_1),\E(Y)$.
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4. Si $X_1,Y$ admettent des variances, calculer $\V(W)$.
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5. Si $X_1\sim\mathcal B(p)$, donner la loi de $W$ pour $Y\sim\mathcal G(q)$, puis pour $Y\sim\mathcal P(\lambda)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1131]
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Soient $N\geq2$, $b\in\{0,\ldots,N\}$. Une urne contient initialement $b$ boules bleues et $N-b$ rouges. À chaque tour, tirer une boule et la remplacer par une boule de l'autre couleur. Soit $X_n$ le nombre de boules bleues après $n$ tours.
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1. Exprimer $\P(X_{n+1}=i)$ en fonction de la loi de $X_n$.
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2. Calculer $\E(X_n)$ et sa limite.
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3. Pour $G_n(s)=\E(s^{X_n})$, trouver une relation entre $G_{n+1},G_n,G_n'$.
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4. En déduire une récurrence sur $\V(X_n)$.
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#+end_exercice
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* Centrale MP-MPI 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1132]
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Soient $a=2^{1/3}$ et $L=\Q[a]$.
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1. Définir un polynôme irréductible dans $K[X]$ et énoncer Bézout. Montrer que $X^3-2$ est irréductible sur $\Q$.
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2. Montrer que $L$ est un $\Q$-espace vectoriel et un corps. En donner la dimension et une base.
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3. Poser $B=1+a+a^2$. Montrer que $f:x\mapsto Bx$ est un automorphisme de $L$. Donner ses polynômes caractéristique et minimal.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1133]
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1. Montrer que tout idéal non nul de $K[X]$, pour $K\subset\C$ un sous-corps, possède un unique générateur unitaire.
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2. Pour un nombre algébrique $\alpha$, montrer qu'il existe un unique polynôme minimal unitaire $\mu_\alpha\in\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0\iff\mu_\alpha\mid P$ pour tout $P\in\Q[X]$.
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3. Quels rationnels sont algébriques ? Donner leur polynôme minimal.
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4. $\sqrt2$ est-il algébrique ? Donner son polynôme minimal.
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5. Soient $\alpha,\beta$ algébriques de degrés $m,n$. Ordonner les $(\alpha^i\beta^j)_{0\leq i<m,0\leq j<n}$ en un vecteur $V$ et montrer qu'il existe $A,B\in M_{mn}(\Q)$ tels que $AV=\alpha V$, $BV=\beta V$. En déduire que $\alpha-\beta$ et $\alpha\beta$ sont algébriques.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1134]
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1. Soient $G$ un groupe et $x\in G$ d'ordre fini. Rappeler $o(x)$ et montrer $x^k=1_G\iff o(x)\mid k$ pour $k\in\Z$.
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2. Si $n\geq3$ et $a$ impair, montrer $a^{2^{n-2}}\equiv1\pmod{2^n}$. Le groupe $(\Z/2^n\Z)^\times$ est-il cyclique ?
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3. En admettant que $(\Z/p\Z)^\times$ est cyclique pour $p$ impair premier, montrer que $(\Z/p^n\Z)^\times$ est cyclique pour $n\geq2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1135]
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Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples, de degré $n\geq2$.
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1. Énoncer et démontrer Rolle dans $\R$.
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2. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples.
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3. Montrer que $P$ n'a pas deux coefficients successifs nuls.
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4. Montrer qu'aucun coefficient nul de $P$ n'est encadré par deux coefficients de même signe.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1136]
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Déterminer les racines de $X^2+X-6$ dans $\R$, de $X^2+X+1$ dans $\Z/7\Z$, puis dans $\Z/21\Z$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1137]
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1. Si $A\in M_n(\C)$ est non inversible, montrer qu'il existe $B\neq0$ telle que $AB=BA=0$.
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2. Montrer que $A\in M_n(\C)$ n'est pas inversible ssi il existe $B\neq0$ telle que $(A+B)^k=A^k+B^k$ pour tout entier $k\neq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1138]
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1. Énoncer et démontrer le petit théorème de Fermat.
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2. Soit $\Omega$ l'ensemble des premiers $p$ tels qu'il existe $A\in M_2(\Z)$, $A\neq I_2$, vérifiant $\sum_{k=1}^pA^k=pI_2$. Montrer $\{2,3\}\subset\Omega$.
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3. Si $p\in\Omega\setminus\{2,3\}$, montrer que $\det(A)\equiv0$ ou $1\pmod p$.
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4. Déterminer $\Omega$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1139]
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On note $T_n^+(\C),T_n^-(\C)$ les matrices triangulaires supérieures, inférieures inversibles. Les mineurs principaux de $A$ sont les déterminants des sous-matrices extraites sur les $k$ premières lignes et colonnes. Poser (P1) : $A=LU$ avec $L\in T_n^-(\C),U\in T_n^+(\C)$ ; (P2) : tous les mineurs principaux sont non nuls.
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1. Rappeler la caractérisation du rang par les matrices carrées extraites.
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2. Montrer que toute matrice vérifiant (P1) ou (P2) est inversible.
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3. Montrer que l'ensemble des matrices vérifiant (P2) est ouvert dans $M_n(\C)$.
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4. Montrer que (P1) et (P2) sont équivalentes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1140]
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Soit $V$ complexe de dimension $n\geq2$ et $A\subset\mathcal L(V)$ un sous-espace stable par composition, transitif : $V=\{a(x):a\in A\}$ pour tout $x\neq0$.
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1. Énoncer et démontrer le théorème du rang.
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2. Montrer $\dim A\geq2$.
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3. Pour $b\in A\setminus\{0\}$, poser $W=b(V)$ et $B=\{(b\circ u)|_W:u\in A\}$. Montrer que $B$ est stable par composition et transitif sur $W$.
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4. Montrer que $A$ contient un élément non nul non inversible.
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5. Montrer que $A$ contient un élément de rang $1$.
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6. Montrer $A=\mathcal L(V)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1141]
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Soit $E$ réel de dimension finie $n\geq2$, $\varphi\in\mathcal L(E,\R)$ non nulle, $a\neq0$, $f(x)=x+\varphi(x)a$.
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1. Montrer que $f$ est un endomorphisme.
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2. Déterminer ses éléments propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1142]
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Soit $f\in\mathcal L(\C^n)$ tel que $f^2$ soit diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes.
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1. Si $\det(f^2)\neq0$, trouver un polynôme annulateur de $f$ et montrer que $f$ est diagonalisable.
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2. Si $\det(f^2)=0$ et $\Ker(f^2)=\Ker f$, montrer que $f$ est diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1143]
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Pour $M\in M_n(\C)$, poser $\rho(M)=\max_{\lambda\in\Sp(M)}|\lambda|$.
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1. Montrer que $\rho(M)$ est bien défini.
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2. Soit $A\in GL_n(\R)$ et $X_{k+1}=2X_k-X_kAX_k$. Pour une norme sous-multiplicative, montrer $\|X_{k+1}-A^{-1}\|\leq\|A\|\|X_k-A^{-1}\|^2$.
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3. Montrer que si $X_k\to A^{-1}$, alors $\rho(AX_0-I_n)<1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1144]
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1. Montrer qu'une matrice est diagonalisable ssi elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
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Soit $D=\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}$.
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2. Si $D$ est diagonalisable, montrer que $A,B$ le sont.
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3. Montrer qu'il existe $P=\begin{pmatrix}P_1&P_2\\0&P_3\end{pmatrix}$ inversible tel que $P^{-1}DP$ soit diagonale. En déduire qu'il existe $M$ telle que $C=MB-AM$.
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4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A,B,C$ pour que $D$ soit diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1145]
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Soit $N\in M_n(K)$ nilpotente.
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1. Que dire de $\Sp(N)$ et $\chi_N$ ?
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2. Si $P(0)=0$, montrer $P(N)$ nilpotente.
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3. Si $P(0)\neq0$, montrer $P(N)$ inversible.
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4. Si $P(0)=0$ et $P'(0)\neq0$, montrer que pour tout $k\geq2$, il existe $U_k,V_k\in K^{k-2}[X]$ vérifiant $U_k(0)=V_k(0)=0$ et $X^k\mid U_k\circ P(X)-X$, $X^k\mid P\circ V_k(X)-X$. En déduire qu'il existe une unique matrice nilpotente $A$ telle que $P(A)=N$.
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5. Pour $P_k=(1+X/k)^k-1$, soit $N_k$ l'unique matrice nilpotente telle que $P_k(N_k)=N$. La suite $(N_k)$ converge-t-elle ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1146]
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1. Rappeler le lemme de décomposition des noyaux et en déduire $\C^n=\bigoplus_{\lambda\in\Sp(M)}\Ker(M-\lambda I_n)^{m(\lambda)}$, en précisant $m(\lambda)$.
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2. Si $M\in M_3(\R)$ est diagonalisable, montrer qu'il existe $B\in M_3(\R)$ tel que $M=B^3$.
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3. Faire de même si $M$ possède une valeur propre non réelle.
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4. Décrire les matrices réelles $3\times3$ qui sont des cubes de matrices réelles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1147]
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Soit $E$ de dimension $n$, $f\in\mathcal L(E)$. On dit que $f$ est un $p$-cycle pour $a$ si $(f^i(a))_{0\leq i<p}$ est génératrice.
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1. Montrer que les valeurs propres de $f$ sont les racines de $\pi_f$.
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2. Si $f$ est un $p$-cycle, montrer $p\geq n$ et $\operatorname{rg}(f)\geq n-1$.
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3. Montrer $\pi_f=\chi_f$.
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4. Montrer que $f$ est cyclique ssi $\pi_f=\chi_f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1148]
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Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$.
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1. Montrer que les racines de $\pi_u$ sont ses valeurs propres.
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2. Si $f$ est circulaire d'ordre $p$, montrer $p\geq n$, $\operatorname{rg}(f)=n$ et $\chi_f=\pi_f$.
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3. Pour $f\in GL(E)$, montrer que $f$ est circulaire ssi $\chi_f$ divise $X^p-1$ pour un certain $p\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1149]
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Montrer que le produit de deux fonctions de carré intégrable sur $\R$ est intégrable et que ces fonctions forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions intégrables.
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On munit $E$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_\R P(x)Q(x)e^{-x^2}\,dx$. Poser $\psi_0(x)=e^{-x^2/2}$ et $L(\psi)=-\psi'+x\psi$ pour $\psi\in C^\infty(\R,\R)$.
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1. Montrer que $L$ est un endomorphisme de $C^\infty(\R,\R)$.
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2. Pour tout $n$, montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n$ de degré $n$ tel que $L^n(\psi_0)=P_n\psi_0$, puis un réel $\lambda_n$ tel que $-(L^n(\psi_0))''+x^2L^n(\psi_0)=\lambda_nL^n(\psi_0)$.
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3. Montrer que $(P_n)$ est orthogonale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1150]
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Pour $u=(u_n)_{n\geq0}$, poser $D(u)=(u_{n+1}-u_n)_{n\geq0}$ et $F=\{u\in\R^\N:\sum_{n\geq0}u_n^2<+\infty\}$. Pour $u,v\in F$, poser $\langle u,v\rangle=\sum_{n\geq0}u_nv_n$.
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1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel et que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
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2. $D$ est-elle injective ? surjective ? Déterminer ses valeurs propres et espaces propres.
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3. Déterminer $\{\langle D(u),u\rangle/\langle u,u\rangle:u\in F\setminus\{0\}\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1151]
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1. Définir la somme directe et démontrer la caractérisation pour deux sous-espaces.
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Soient $E$ de dimension $m$, $B:E\times E\to\R$ bilinéaire symétrique et une base $(e_i)$ telle que $B(e_i,e_i)=1$. Poser $b_{ij}=B(e_i,e_j)$, $\sigma_i(v)=v-2B(v,e_i)e_i$, $\varepsilon_1=e_1$ et $\varepsilon_i=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_{i-1}(e_i)$.
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2. Montrer que $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$ est une base.
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3. En déduire la matrice de $\tau=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_m$ dans la base $(e_i)$ (indication : utiliser la matrice $C$ définie par $c_{ij}=2b_{ij}$ si $i<j$, $0$ sinon).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1152]
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1. Rappeler la définition d'un produit scalaire euclidien.
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Soient $a<b$, $\omega\in C^0(]a,b[,\R_{+}^{*})$ et $L^2(]a,b[)=\{f\in C^0(]a,b[,\R):\int_a^b f(x)^2\omega(x)\,dx<+\infty\}$, avec $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\omega(x)\,dx$.
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2. Montrer que c'est un produit scalaire.
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3. Montrer que pour tout $n$, il existe un unique polynôme unitaire $p_n$ de degré $n$ orthogonal à $\R_{n-1}[X]$.
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4. Montrer que $p_n$ est scindé à racines simples dans $]a,b[$.
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5. Montrer l'existence et l'unicité d'une formule de quadrature à $n+1$ points exacte pour les polynômes de degré au plus $2n+1$ mais pas pour tous ceux de degré $2n+2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1153]
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Soit $E$ euclidien.
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1. Si $p$ est un projecteur, montrer $E=\operatorname{Im}(p)\oplus\Ker(p)$ et donner $\operatorname{tr}(p)$.
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2. Pour des projecteurs orthogonaux $p_1,\ldots,p_k$, poser $m=(p_1+\cdots+p_k)/k$. Montrer que $m$ est projecteur ssi tous les $p_i$ sont égaux.
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3. Si $H=\{A_1,\ldots,A_k\}\subset GL_n(\R)$ est finie et stable par produit, montrer que $\operatorname{tr}(A_1+\cdots+A_k)$ est un multiple entier de $k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1154]
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Soient $a\in\R$, $n\geq1$ et $A_n=\begin{pmatrix}1&-a/n\\a/n&1\end{pmatrix}$.
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1. Trouver $r_n,\theta_n$ tels que $A_n=r_nR(\theta_n)$.
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2. Calculer $\lim_{n\to+\infty}A_n^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1155]
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Soit $A\in\mathcal A_n(\R)$ et $\Phi(M)=\operatorname{tr}(M)A-M^T$ sur $M_n(\R)$.
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1. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme.
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2. Montrer que $\Phi$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et sous-espaces propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1156]
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1. Si $M\in\mathcal A_n(\R)$ et $n$ est impair, montrer que $0$ est la seule valeur propre réelle de $M$.
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2. Montrer que $\chi_M$ et $n$ ont même parité.
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3. Déterminer $\mathcal A_n(\R)\cap O_n(\R)$ pour $n=2$ puis $n=3$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1157]
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Poser $\widetilde O_n(\R)=\{M\in O_n(\R):-1\notin\Sp(M)\}$ et $\varphi(M)=(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$.
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1. Rappeler la réduction des isométries.
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2. Déterminer l'adhérence de $\widetilde O_n(\R)$.
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3. Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\widetilde O_n(\R)$ sur $\mathcal A_n(\R)$ et déterminer sa réciproque.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1158]
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1. Pour $E$ euclidien, montrer l'équivalence entre $f$ isométrie, $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x,y$, et l'image d'une base orthonormée par $f$ est une base orthonormée.
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2. Si $A\in S_n^+(\R)$, montrer $\operatorname{tr}(\Omega A)\leq\operatorname{tr}(A)$ pour tout $\Omega\in O_n(\R)$.
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3. Réciproquement, sous cette inégalité, poser $\varphi(t)=\operatorname{tr}(Ae^{tV})$ avec $V\in\mathcal A_n(\R)$ et montrer que $\varphi$ a un extremum local en $0$.
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4. En déduire $A\in S_n^+(\R)$.
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5. Si $G$ est un sous-groupe compact de $GL_n(\R)$ contenant $O_n(\R)$, montrer $G=O_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1159]
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1. Montrer $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$.
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2. Soit $q:M_n(\R)\to\R$ invariante par similitude et associée à une forme bilinéaire symétrique $\beta$, avec $q(M)=\beta(M,M)$. Vérifier que $\operatorname{tr}(M^2)$ et $\operatorname{tr}(M)^2$ vérifient ces hypothèses et montrer l'unicité de $\beta$.
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3. Pour $A=A_1+iA_2$ avec parties réelles $A_1,A_2$, prolonger $q$ par $\widetilde q(A)=q(A_1)-q(A_2)+2i\beta(A_1,A_2)$. Montrer qu'elle est associée à une forme bilinéaire symétrique complexe et invariante par similitude.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1160]
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1. Rappeler la définition de la densité et montrer $GL_n(\R)$ dense dans $M_n(\R)$.
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2. Soit $N:M_n(\R)\to\R$ telle que $N(A)\geq0$, $N(\lambda A)\leq|\lambda|N(A)$, $N(A+B)\leq N(A)+N(B)$. Montrer que $N$ est lipschitzienne.
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3. Déterminer les $N$ vérifiant ces propriétés et invariantes par similitude.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1161]
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Soit $H$ l'ensemble des parties $X\subset\R$ telles que toute fonction continue $X\to\R$ soit uniformément continue. $X$ est espacée s'il existe $\delta>0$ tel que $(x-\delta,x+\delta)\cap X=\{x\}$ pour tout $x\in X$.
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1. Démontrer Heine.
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2. Donner un exemple explicite montrant $]0,1]\notin H$.
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3. Montrer que toute partie espacée appartient à $H$.
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4. Construire $X\in H$ et $f:X\to\R$ continue telle que $f(X)\notin H$.
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5. Montrer que tout élément de $H$ est fermé dans $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1162]
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Soit $(E,\|\cdot\|)$ normé.
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1. Rappeler les définitions de segment, ensemble convexe, frontière, et montrer que $\operatorname{conv}(A)$ (intersection des convexes contenant $A$) est convexe et contient $A$.
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2. Si $K\subset E$ est convexe compact et $x\in K\setminus\partial K$, $x\neq0$, poser $D=\operatorname{Vect}(x)$. Montrer $D\cap K=[y,z]$ pour $y,z\in\partial K$.
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3. Si $K$ est compact convexe d'intérieur non vide, montrer $K=\operatorname{conv}(\partial K)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1163]
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1. Définir la convexité d'une fonction et la caractériser par $f'$ lorsqu'elle est dérivable.
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2. Pour $\ell^p=\{x\in\R^\N:\sum|x_n|^p<+\infty\}$, montrer que c'est un espace vectoriel normé pour $\|x\|_p=(\sum_{n\geq0}|x_n|^p)^{1/p}$.
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3. Trouver une suite $(x_k)$ dont le sous-espace engendré est dense dans $\ell^p$, puis une partie dénombrable dense.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1164]
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Soient $E$ normé, $X$ compact et $f:E\to E$ continue. Que peut-on dire de $f(X)$ ? On suppose ensuite $f(X)\subset X$ et $\|f(x)-f(y)\|\geq\|x-y\|$ sur $X$.
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1. Pour $a\in X$, poser $u_0=a$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer qu'une sous-suite converge vers $a$.
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2. Montrer $\|f(a)-f(b)\|=\|a-b\|$ pour tous $a,b\in X$, puis que $f$ est bijective.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1165]
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Pour $K=\R$ ou $\C$, munir $K^n$ de la norme euclidienne et noter $\|\!|\!|M\|\!|\!|_K=\sup_{\|x\|_K=1}\|Mx\|_K$.
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1. Montrer que c'est une norme sur $M_n(K)$.
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2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$, puis que les normes subordonnées réelle et complexe coïncident pour $M\in M_n(\R)$.
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3. Si $\|\!|\!|N-I_n\|\!|\!|_\R<1$, montrer que les valeurs propres $\lambda$ vérifient $|\lambda-1|<1$, puis que $N$ est inversible.
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4. Montrer $\sum_{k\geq0}(I_n-N)^k=N^{-1}$ et la borne correspondante. Montrer ensuite $\Re(\lambda)>0$, donc $\det N>0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1166]
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Munir $\C^n$ d'une norme et considérer sa norme subordonnée sur $M_n(\C)$.
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1. La définir, montrer que c'est une norme sous-multiplicative.
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2. Pour $A$ inversible, $A+\widetilde A$ inversible, $Ax_0=b$ et $(A+\widetilde A)x_p=b$, établir
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$$\frac{\|x_0-x_p\|}{\|x_p\|}\leq\kappa(A)\frac{\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|}{\|\!|\!|A\|\!|\!|},\qquad \kappa(A)=\|\!|\!|A\|\!|\!|\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|.$$
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3. Si $\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|<1/\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|$, $b\neq0$ et $(A+\widetilde A)x_p=b+\widetilde b$, établir la borne d'erreur avec $\widetilde A,\widetilde b$. Montrer qu'il peut y avoir égalité pour des choix optimaux.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1167]
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1. Définir un polynôme simplement scindé, en donner et démontrer une caractérisation. Dans la suite $P=X^3+aX+b\in\C[X]$.
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2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b$ pour que $P$ soit simplement scindé.
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3. Si $a,b\in\R$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\{(x,y)\in\R^2:y^2=P(x)\}$ soit connexe par arcs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1168]
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1. Énoncer et démontrer l'égalité des accroissements finis.
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2. Pour $f(x)=\sin(x)/x$ sur $\R^*$, montrer que son prolongement en $0$ est $C^\infty$ et que toutes ses dérivées sont bornées.
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3. Soient $T>0$, $N\geq1$, $h=T/N$, $(\varepsilon_k)_{0\leq k<N}\subset\R$, $y_0=z_0$ et $y_{k+1}=y_k+hf(y_k)$, $z_{k+1}=z_k+hf(z_k)+\varepsilon_k$. Montrer $|z_k-y_k|\leq e^{Tk}\sum_{i=0}^{k-1}|\varepsilon_i|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1169]
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Montrer l'existence et calculer $\int_0^1\frac{\ln(1-x^2)}{x^2}\,dx$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1170]
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1. Définir les convergences simple et uniforme, puis montrer que la limite uniforme de fonctions continues sur $[0,1]$ est continue.
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2. Si $f_n\in C([0,1])$ converge simplement vers une fonction continue et si $(f_n(x))_n$ est croissante pour tout $x$, montrer que la convergence est uniforme.
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3. Poser $P_0=0$ et $P_{n+1}(x)=P_n(x)+(x-P_n(x))^2/2$. Montrer que $(P_n)$ converge uniformément vers $\sqrt{x}$ sur $[0,1]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1171]
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Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\frac{\ln(1+n^2x^2)}{n^2\ln(1+n)}$ et $S=\sum_{n\geq1}u_n$.
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1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$.
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2. Montrer que $S$ est continue sur $D$.
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3. Montrer que $\sum u_n'$ converge sur $D$.
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4. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $D$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1172]
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Pour $n\geq1$, soit $\varphi_n$ nulle hors de $[1/(n+1),1/n]$, affine sur chaque moitié de cet intervalle et de valeur $1/n$ au milieu. Fixer une bijection $f:\N\to\Q$.
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1. Montrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.
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2. Montrer que $u_n(t)=\sum_{k\in\N}\varphi_n(t-f(k))2^{-k}$ est continue.
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3. Pour $m_n(t)=\min\{k\in\N:f(k)+1/(n+1)\leq t\leq f(k)+1/n\}$, montrer $\sum_{n\geq1}2^{-m_n(t)}\leq2$.
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4. Montrer que $\sum u_n$ converge uniformément sur $\R$.
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5. Montrer que cette série ne converge pas normalement sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1173]
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Soit $(a_n)$ telle que $a_n>-1$ et $\sum a_n^2$ converge. Poser $p_n=\prod_{k=1}^n(1+a_k)$.
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1. Rappeler le théorème de convergence radiale d'Abel.
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2. Montrer que $(p_n)$ converge vers une limite strictement positive si et seulement si $\sum a_n$ converge.
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3. Construire $(b_n)$ avec $b_n=O(a_n^2)$ telle que, pour $x\in[0,1]$,
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$$\left|\ln(1+a_nx^n)-\ln(1+a_n)+\frac{a_n}{1+a_n}(1-x^n)\right|\leq b_n(1-x^n).$$
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4. Si $\sum a_n$ converge, montrer $\prod_{n\geq0}(1+a_nx^n)\to\prod_{n\geq0}(1+a_n)$ quand $x\to1^-$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1174]
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Pour $k\in\N$, poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$ et $W=\sum_{k\geq0}f_k$.
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1. Montrer que $W$ est définie sur $\R$ et continue. Poser $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}f_k$ ; montrer $|R_n(t)|\leq2/(n+1)!$.
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2. Pour $x\in\R$, poser $I_n=]x+\pi/(n!)^2,x+3\pi/(n!)^2[$. Montrer que, pour $y\in I_n$, $|W_{n-1}(x)-W_{n-1}(y)|\leq4\pi/(n\,n!)$.
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3. Montrer qu'il existe $x_n\in I_n$ tel que $|f_n(x)-f_n(x_n)|=1/n!$.
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4. En déduire que $W$ n'est dérivable en aucun point.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1175]
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Déterminer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{n\geq0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1176]
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1. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.
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2. Pour $r\in\N$, déterminer le rayon de convergence de $\sum_{k\geq0}\frac{k^r}{k!}x^k$.
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3. Si $\alpha_n$ est le nombre de partitions de $\{1,\ldots,n\}$ et $\alpha_0=1$, calculer $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$.
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4. Montrer $\alpha_{n+1}=\sum_{i=0}^n\binom ni\alpha_i$.
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5. Calculer le rayon de convergence de $\sum\alpha_i x^i$.
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6. Calculer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{i\geq0}\frac{\alpha_i}{i!}x^i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1177]
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1. Soient $f,g:\R\to\R$ continues par morceaux avec $f=o(g)$ à $+\infty$. Donner et démontrer des conditions suffisantes pour que $\int_x^{+\infty}f(t)\,dt=o(\int_x^{+\infty}g(t)\,dt)$.
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2. Pour $H(x)=e^{x^2}\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$, montrer que $H$ est développable en série entière sur $\R$ et donner son développement.
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3. Étudier les variations, la convexité et les limites de $H$ en $\pm\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1178]
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1. Montrer qu'une série entière de rayon $R$ converge normalement sur tout disque fermé de rayon $r<R$.
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On suppose ensuite $a_n=O(1/n)$ et $F(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n\to0$ quand $x\to1^-$, et on pose $g=\mathbf1_{[1/2,1]}$, $N(x)=\lfloor-\ln2/\ln x\rfloor$.
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2. Montrer $\sum_{n\geq0}a_ng(x^n)=\sum_{n=0}^{N(x)}a_n$ pour $x\in[0,1[$.
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3. Si $P\in\R[X]$, $P(0)=0$, montrer que $\sum a_nP(x^n)$ converge et tend vers $0$ quand $x\to1^-$.
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4. Pour $P_1\leq g\leq P_2$ sur $[0,1]$, avec $P_1(0)=P_2(0)=0$, établir l'inégalité de comparaison donnée par $\sum|a_n|(P_2(x^n)-P_1(x^n))$ et vérifier que le majorant est fini.
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5. Montrer qu'on peut choisir $P_i=X+X(1-X)Q_i$ avec $\int_0^1(Q_2-Q_1)\leq\varepsilon$.
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6. En déduire que $\sum a_n$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1179]
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1. Énoncer le théorème du produit de Cauchy pour les séries entières.
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2. Si $A,B$ partitionnent $\N$, poser $A(x)=\sum_{a\in A}x^a$, $B(x)=\sum_{b\in B}x^b$. Montrer qu'elles sont définies sur $]-1,1[$ et calculer $A(x)+B(x)$.
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3. Poser $r_A(n)=\operatorname{card}\{(p,q)\in A^2:p+q=n,\ p\neq q\}$. Montrer $\sum r_A(n)x^n=A(x)^2-A(x^2)$.
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4. Si $r_A(n)=r_B(n)$ pour tout $n$, montrer $A(x)-B(x)=(1-x)(A(x^2)-B(x^2))$.
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5. Poser $D=A-B$ et supposer $0\in A$. Montrer $D(x)=D(x^{2^N})\prod_{k=0}^{N-1}(1-x^{2^k})$.
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6. En déduire que $A$ est l'ensemble des entiers dont l'écriture binaire comporte un nombre pair de $1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1180]
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Soit $d_n$ le nombre de dérangements de $\{1,\ldots,n\}$.
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1. Montrer $|\mathfrak S_n|=n!$.
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2. Pour $D(z)=\sum_{n\geq0}d_nz^n/n!$, montrer $n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}$.
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3. Montrer que son rayon de convergence est au moins $1$, puis calculer $D(t)e^t$.
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4. En déduire $d_n=n!\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!$.
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Pour $S_p(n)$ le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ sur $\{1,\ldots,p\}$, poser $S(x,y)=\sum_{n,p\geq0}S_p(n)x^ny^p/(n!p!)$.
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5. Montrer que, pour $y\in]-1,1[$, cette série en $x$ a un rayon strictement supérieur à $1/e$.
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6. Montrer $p^n=\sum_{k=0}^p\binom pkS_k(n)$.
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7. Montrer $S(x,y)=\exp(y(e^x-1))$ pour $(x,y)\in]-1/e,1/e[\times]-1,1[$.
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8. En déduire $S_p(n)=\sum_{k=0}^p(-1)^{p-k}\binom pk k^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1181]
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Soient $(a_n)\in\C^\N$, $(b_n)\in(\R_+^*)^\N$, avec $a_n/b_n\to\ell\in\C$. Poser $f(z)=\sum a_nz^n$, $g(z)=\sum b_nz^n$ et noter $R,R'$ leurs rayons de convergence.
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1. Rappeler la définition du rayon de convergence.
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2. On suppose $R'=1$ et $\sum b_n$ diverge. Montrer $R\geq R'$, donner une condition suffisante sur $\ell$ pour $R=R'$, puis montrer $g(x)\to+\infty$ et $f(x)/g(x)\to\ell$ lorsque $x\to1^-$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1182]
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1. Démontrer l'interversion limite-intégrale dans le cas de convergence uniforme.
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2. Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ de rayon infini. Pour $r>0$, calculer $\int_0^{2\pi}f(re^{it})e^{-ipt}\,dt$. En déduire que si $f$ est bornée sur $\C$, elle est constante.
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3. S'il existe une suite $(z_k)\to0$ avec $f(z_k)=0$ pour tout $k$, montrer que $f$ est nulle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1183]
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Soit $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t/n)}{t(1+t^2)}\,dt$ pour $n\geq1$.
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1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
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2. Donner un équivalent simple quand $n\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1184]
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1. Rappeler le développement en série entière de $\arctan$ et son rayon de convergence.
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2. Poser $I=\int_0^1\frac{\arctan(t)}{\sqrt t}\,dt$. Exprimer $I$ sous forme de somme.
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3. Calculer $J=\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{4k+3}$ et en déduire $I$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1185]
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Considérer $(E):y''+y=c$, où $c\in C^0(\R,\R)$ est $2\pi$-périodique.
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1. Énoncer Cauchy-Lipschitz linéaire et exprimer une solution particulière sous forme intégrale.
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2. Si $f\in C^2(\R,\R)$ vérifie $f''+f\geq0$, montrer $f(t)+f(t+\pi)\geq0$.
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3. Sur les fonctions continues $2\pi$-périodiques, utiliser $\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,dt$ pour montrer l'équivalence : $c\in\operatorname{Vect}(\cos,\sin)^\perp$ ; toute solution est $2\pi$-périodique ; $(E)$ admet une solution $2\pi$-périodique.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1186]
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1. Énoncer Cauchy linéaire.
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2. Étudier son application à $(E):xy''+y'+y=0$, après mise sous forme normalisée, notamment en $x=0$.
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3. Chercher une solution développable en série entière et déterminer son rayon de convergence. Préciser son domaine et vérifier l'équation.
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4. Justifier que les solutions sur $]0,+\infty[$ forment un espace vectoriel de dimension $2$. Cauchy s'applique-t-il en $x_0=0$ ?
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5. Existe-t-il une seconde solution non proportionnelle à $f$ ? On pourra chercher $g=f\ln x+h$ avec $h$ en série entière et comparer les comportements en $0^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1187]
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Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie.
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1. Rappeler la formule d'intégration le long d'un arc.
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2. Soit $A\neq\varnothing$, $f:A\to A$ $k$-lipschitzienne avec $k\in[0,1[$. Pour $x_0=x$, $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer la convergence vers l'unique point fixe.
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3. Soit $\Omega$ ouvert contenant $0$ et $f:\Omega\to E$ de classe $C^1$, avec $f(0)=0$, $df(0)=\operatorname{id}$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour $r\in]0,\alpha]$, $(f-\operatorname{id})(B_r)\subset B_{r/2}$ et $f-\operatorname{id}$ est $1/2$-lipschitzienne sur $B_r$.
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4. En déduire $B_{r/2}\subset f(B_r)$.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1188]
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Soient $n,p,k\in\N$ tels que $0<k\leq p\leq nk$.
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1. Expliciter la fonction génératrice de la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.
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2. Montrer $\frac1{(1-x)^k}=\sum_{r\geq0}\binom{r+k-1}{k-1}x^r$ pour $x\in]-1,1[$.
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3. On lance $k$ fois un dé équilibré à $n$ faces numérotées de $1$ à $n$. Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $p$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1189]
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$n$ personnes passent sous un échafaudage ; chacune est touchée par une goutte avec probabilité $p\in]0,1[$. Soient $X$ et $Y$ les nombres de personnes touchées et non touchées.
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1. Donner leurs lois et dire si elles sont indépendantes.
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2. Si le nombre $N$ de personnes suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$, donner les lois de $X,Y$, puis $\E(X)$ et $\V(X)$.
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3. Montrer que $X,Y$ sont indépendantes.
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4. Calculer $\operatorname{Cov}(X,N)$. $X,N$ sont-elles indépendantes ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1190]
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Soit $\mathfrak S_n$ l'ensemble des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ et $T$ l'ensemble des transpositions.
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1. Montrer que $\mathfrak S_n$ est engendré par $T$.
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Pour $p\geq1$, choisir uniformément $2p$ entiers dans $\{1,\ldots,n\}$, notés $X_1,Y_1,\ldots,X_p,Y_p$, et poser $S=(X_1Y_1)\circ\cdots\circ(X_pY_p)$.
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2. Décrire l'espace probabilisé.
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3. La variable aléatoire $S$ peut-elle suivre une loi uniforme sur $\mathfrak S_n$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1191]
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Une plateforme mobile part de $0$ sur $\Z$ et à chaque étape avance de $+1$ avec probabilité $p$, de $-1$ avec $q=1-p$. Soit $X_n$ sa position à l'étape $n$.
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1. Calculer $\P(X_n=0)$.
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2. Déterminer la loi de $X_n$.
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3. Calculer $\operatorname{Cov}(X_n,X_k)$ pour $k\leq n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1192]
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1. Énoncer et démontrer la loi faible des grands nombres.
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2. Soit $A=\Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2:(a,b)\in\Z^2\}$. Montrer que $A$ est un anneau et déterminer ses inversibles, puis montrer que $A$ est dense dans $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1193]
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1. Rappeler la définition d'une distribution de probabilités sur $\N$.
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2. Soit $(u_n)$ réelle avec $u_0=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(u_n-u_{n+1})$ soit une distribution. Soit alors $X$ de loi $\P(X=n)=u_n-u_{n+1}$.
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3. Étudier les liens logiques entre $\E(X)<+\infty$ et l'existence de $\rho\in]0,1[$ tel que $u_n=O(\rho^n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1194]
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1. Rappeler la loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et donner son espérance et sa variance.
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2. Si $X_1,\ldots,X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal P(1)$, donner la loi de leur somme $S_n$.
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3. Pour $a<b$, poser $x_{n,k}=(k-n)/\sqrt n$ et $I_n=\{k\in\N:x_{n,k}\in[a,b]\}$.
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a. Montrer que $\min I_n=i_n$ et $\max I_n=j_n$ existent pour $n$ assez grand et que $[a,b]\subset\bigcup_{k=i_n-1}^{j_n}[x_{n,k},x_{n,k+1}[$.
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b. On admet que les fonctions en escalier construites à partir de $\sqrt n\,\P(S_n=k)$ convergent uniformément sur $[a,b]$ vers $\eta(t)=e^{-t^2/2}/\sqrt{2\pi}$. En déduire $\P((S_n-n)/\sqrt n\in[a,b])\to\int_a^b\eta(t)\,dt$.
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c. Démontrer le résultat admis en utilisant Stirling.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1195]
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Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$, $\lambda>0$.
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1. Montrer que $X$ est intégrable et calculer son espérance.
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2. Calculer $\varphi_X(t)=\E(e^{itX})$.
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3. Pour $k\in\N$, montrer $\int_{-\pi}^{\pi}\exp(k(e^{it}-1-it))\,dt=2\pi k^k e^{-k}/k!$.
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4. En admettant $\int_\R e^{-u^2/2}\,du=\sqrt{2\pi}$, retrouver Stirling.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1196]
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1. Rappeler l'inégalité triangulaire dans $\C$ et son cas d'égalité.
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2. Si $X\geq0$ est d'espérance nulle, que peut-on dire de $X$ ? Le démontrer.
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3. Si $X$ est de variance finie et $\V(X)=0$, que peut-on dire ? Le démontrer.
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Soit $X$ à valeurs dans $\Z$ et à support fini, $(X_i)$ i.i.d. de même loi, $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$, $g_n(t)=\E(e^{itS_n})$ et $f(t)=\E(e^{itX})$.
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4. Montrer que $f,g_n$ sont bien définies et continues, et préciser le lien entre elles.
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5. Montrer $\P(S_n=k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)^ne^{-ikt}\,dt$.
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6. Si $\P(X=0),\P(X=1)>0$, montrer $|f(t)|<1$ pour $t\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$, donner un DL à l'ordre 2 de $|f(t)|^2$ en 0 et établir $\sup_{k\in\Z}\P(S_n=k)\leq c/\sqrt n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1197]
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Soit $\sigma_n$ uniforme sur le groupe $\mathfrak S_n$. Les orbites de $x$ sont $O(x,\sigma)=\{\sigma^k(x):k\in\Z\}$.
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1. Rappeler la définition d'une partition et montrer que les orbites partitionnent $\{1,\ldots,n\}$.
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2. Noter $C_n$ le nombre d'orbites, $N_{k,n}$ le nombre d'orbites de taille $k$ et $L_i$ la taille de l'orbite de $i$. Déterminer la loi de $L_1$, calculer $\E(C_n)$ et en donner un équivalent.
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3. Calculer $\V(C_n)$ et son équivalent, montrer $C_n/\ln n\to1$ en probabilité, puis montrer $N_{k,n}$ converge en loi vers $\mathcal P(1/k)$ pour tout $k\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1198]
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Soit $A\in S_n^{++}(\R)$, de valeurs propres ordonnées $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, et une base orthonormée de vecteurs propres $(e_i)$. Soit $X=\sum x_ie_i$ de norme $1$.
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1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien.
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2. Pour $\lambda_i>0$, montrer $(\sum x_i^2)^2\leq(\sum\lambda_ix_i^2)(\sum x_i^2/\lambda_i)$.
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3. Construire $U$ telle que $\P(U=\lambda_i)=x_i^2$.
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4. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$.
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5. En déduire $1\leq(X^TAX)(X^TA^{-1}X)\leq(\lambda_1+\lambda_n)^2/(4\lambda_1\lambda_n)$.
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#+end_exercice
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* Centrale PSI 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1199]
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Soient $n\geq2$ et $E=M_n(\R)$.
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1. Calculer $E_{i,j}E_{p,\ell}$.
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2. Pour $K,L\in E$, poser $u_{K,L}(M)=KM-ML$. Calculer $\operatorname{tr}(u_{K,L})$.
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3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $u_{K,L}=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1200]
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1. Pour $M_0=(m_{ij})$ et $M_x=(m_{ij}+x)$, montrer qu'il existe $\alpha\in\R$ tel que $\det(M_x)=\alpha x+\det(M_0)$.
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2. Pour $A_{a,b,c}=(a_{ij})$ définie par $a_{ii}=a$, $a_{ij}=b$ si $i<j$ et $a_{ij}=c$ si $i>j$, calculer son déterminant si $b\neq c$, puis si $b=c$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1201]
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Soit $A\in M_n(\R)$ triangulaire supérieure de diagonale $(1,2,\ldots,n)$. Étudier les solutions de $M^2=A$.
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1. Résoudre pour $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$.
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2. Pour $n=2$ et $A$ quelconque satisfaisant les hypothèses, donner le nombre de solutions.
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3. Pour $n$ quelconque, donner le nombre de solutions et dire si elles sont toutes triangulaires supérieures.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1202]
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1. Dans la base canonique $(e_1,e_2)$ de $\R^2$, soit $p$ le projecteur sur $\operatorname{Vect}(e_1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(e_1+e_2)$. Donner sa matrice $A$ et déterminer les $B$ telles que $AB-BA=B$.
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2. Pour $f\in\mathcal L(E)$, poser $\psi_f(g)=f\circ g-g\circ f$. Si $\psi_f(g)=g$ pour un $g\neq0$, montrer $\psi_f(g^k)=kg^k$ pour $k\geq1$, puis en déduire qu'une puissance de $g$ est nulle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1203]
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Dans la base canonique $\varepsilon$ de $\R^3$, poser $e_1=\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $e_2=-\varepsilon_1/4+\varepsilon_2/4$, $e_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2$, et soit $f$ représenté par $\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}$.
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1. Montrer que $e=(e_1,e_2,e_3)$ est une base et déterminer la matrice de $f$ dans cette base.
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2. $f$ est-il diagonalisable ? Montrer $\R^3=\Ker(f^2)\oplus\Ker(f-2\operatorname{id})$ et donner des bases de ces noyaux.
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3. Si $g^2=f$, que dire de la matrice de $g$ dans la base $e$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1204]
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Soit $S=\begin{pmatrix}5&-3\\3&-5\end{pmatrix}$.
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1. Montrer que $S$ est semblable à une matrice diagonale et la préciser.
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2. Montrer qu'elle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
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3. À l'aide de $\Phi(M)=\operatorname{diag}(1,2)M-M\operatorname{diag}(1,2)$, trouver $A,B$ telles que $S=AB-BA$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1205]
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Soit $M\in M_n(\R)$ nilpotente.
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1. Montrer $M^n=0$.
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2. Soient $\lambda_1\neq\lambda_2$ et $n=m_1+m_2$, avec $m_i\geq1$. Poser $A=\operatorname{diag}(\lambda_1I_{m_1}+N_1,\lambda_2I_{m_2}+N_2)$, où $N_1,N_2$ sont nilpotentes. Exprimer $\chi_A$ avec $\chi_{N_1},\chi_{N_2}$ et donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1206]
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Soit $A\in GL_n(\C)$.
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1. Définir le polynôme minimal $\pi_A$ et exprimer $\pi_{A^{-1}}$ en fonction de $\pi_A$.
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2. Pour $P=\sum_{k=0}^da_kX^k$, poser $P^*=\sum_{k=0}^da_{d-k}X^k$. Pour $n=2$, donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A,\pi_A^*$ pour que $A$ soit semblable à $A^{-1}$.
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3. Pour $n\geq3$ et $A$ diagonalisable, montrer que cette condition n'est plus suffisante, puis donner une condition nécessaire et suffisante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1207]
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Munir $\R_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$.
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1. Vérifier que c'est un produit scalaire.
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2. Montrer que la distance de $X^n$ à $\R_{n-1}[X]$ est atteinte en un unique $P_n\in\R_{n-1}[X]$. Écrire $P_n=\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$ et $f(t)=1/(t+n+1)-\sum_{j=0}^{n-1}a_j/(t+j+1)$.
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3. Calculer $f(k)$ pour $k=0,\ldots,n-1$.
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4. Montrer qu'il existe $Q\in\R_n[X]$ tel que $Q(t)=\prod_{j=0}^n(t+j+1)f(t)$ sur $\R_+$.
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5. En déduire la distance cherchée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1208]
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Soient $E,F$ euclidiens et $f\in\mathcal L(E,F)$.
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1. Pour $y\in F$, montrer qu'il existe un unique $(x,z)\in(\Ker f)^\perp\times(\operatorname{Im}f)^\perp$ tel que $y=f(x)+z$.
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2. Associer à $y$ le $x$ de cette décomposition. Montrer que l'application obtenue est linéaire et déterminer son noyau et son image.
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3. Montrer que $g\circ f$ et $f\circ g$ sont des projecteurs et les caractériser.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1209]
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1. Montrer que $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)$ est un produit scalaire sur $M_3(\R)$.
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2. Soit $F$ l'espace des matrices dont la troisième ligne est nulle. Calculer $d(M,F)$.
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3. Si $A\in SO_3(\R)$, calculer $d(A,F)$ puis $d(SO_3(\R),F)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1210]
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1. Décrire $O_2(\R)$ et $SO_2(\R)$ et montrer que tout élément de $SO_2$ est produit de deux éléments de $O_2\setminus SO_2$.
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2. Soit $E$ euclidien de dimension $4$ et $u$ une isométrie sans vecteur propre. En étudiant $M+M^T$, montrer qu'il existe un plan stable par $u$, puis une base orthonormée où $u$ a une forme bloc-diagonale $\operatorname{diag}(R_1,R_2)$ avec des rotations planes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1211]
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Soient $E$ euclidien et $p,q$ des projecteurs orthogonaux.
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1. Montrer que $p$ est autoadjoint et $1$-lipschitzien.
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2. Montrer que $\chi_{p+q}$ est scindé dans $\R[X]$ et $\Sp(p+q)\subset[0,2]$.
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3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $p+q$ soit un projecteur.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1212]
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Sur $\R_n[X]$, poser $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}P(t)Q(t)\,dt$ et $\varphi(P)=(1-X^2)P''+(2X-1)P'$.
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1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
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2. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme autoadjoint et en déduire une unique base propre $(P_0,\ldots,P_n)$ avec $P_k$ unitaire de degré $k$.
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3. Expliciter les $P_k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1213]
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Soient $E$ euclidien, $e$ une base orthonormée et $u$ un endomorphisme dont la matrice $M$ commute avec $M^T$.
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1. Montrer que la matrice $N$ de $u$ dans toute autre base orthonormée vérifie $N^TN=NN^T$.
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2. Montrer que si $F$ est stable par $u$, alors $F^\perp$ l'est aussi.
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3. Si $u$ est trigonalisable, montrer qu'il est diagonalisable et autoadjoint.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1214]
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1. Si $u$ est autoadjoint sur un espace euclidien et $\lambda_1$ sa plus petite valeur propre, montrer $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
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2. Soient $D=\operatorname{diag}(0,1,\ldots,p-1)$, $J$ la matrice de tous les $1$ et $M=D+\frac1nJ$. Montrer pour $x=(x_1,\ldots,x_p)^T$ que $\langle u(x),x\rangle=s^2/n+\sum_{k=1}^{p-1}kx_{k+1}^2$, où $s=\sum x_i$, puis encadrer $\lambda_1$ dans $[0,p-1]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1215]
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Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal L(E)$.
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1. Justifier l'existence d'une base orthonormée.
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2. Montrer l'équivalence entre $\langle f(x),y\rangle=-\langle x,f(y)\rangle$ pour tous $x,y$ et l'existence d'une base orthonormée dans laquelle la matrice de $f$ est antisymétrique.
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3. Montrer que le rang de $f$ est pair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1216]
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1. Si $A=P DQ$ avec $P,Q$ orthogonales et $D$ diagonale à coefficients positifs, montrer que les valeurs propres de $A^TA$ sont les coefficients diagonaux de $D^2$.
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2. Pour toute matrice réelle $A$, montrer $\Sp(A^TA)\subset\R_+$.
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3. Montrer que $\operatorname{rg}(A)$ est le nombre de valeurs propres non nulles de $A^TA$, comptées avec multiplicité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1217]
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Une contraction d'un espace euclidien est un endomorphisme $f$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x$.
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1. Si $f$ est autoadjoint, montrer l'équivalence entre être une contraction et $|\lambda|\leq1$ pour tout $\lambda\in\Sp(f)$.
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2. Pour $P\in\R[X]$, montrer $\|P(f)(x)\|\leq\sup_{\lambda\in\Sp(f)}|P(\lambda)|\,\|x\|$.
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3. Si $f$ est un automorphisme de matrice $M$, montrer qu'il existe $S$ symétrique définie positive telle que $M^TM=S^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1218]
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Poser $B_n(\R)=\{A\in M_n(\R):\chi_A=\prod_{i=1}^n(X-a_{ii})\}$.
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1. Montrer que $B_n(\R)$ est non vide.
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2. Si $A$ est symétrique de valeurs propres $\alpha_i$, montrer $\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_i\alpha_i^2$ et déterminer $B_n(\R)\cap S_n(\R)$.
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3. Déterminer $B_n(\R)\cap\mathcal A_n(\R)$.
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4. Si $V$ est un sous-espace de matrices inclus dans $B_n(\R)$, déterminer sa dimension maximale.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1219]
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Pour $A=(a_{ij})\in M_n(\R)$, poser $N(A)=\sum_{i,j}|a_{ij}|$ et $\|x\|_1=\sum_i|x_i|$.
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1. Montrer que $N$ est une norme et que $\|Ax\|_1\leq N(A)\|x\|_1$.
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2. Pour $0<\alpha<1$, poser $K_\alpha=\{A:N(A-I_n)\leq\alpha\}$ et $\psi(A)=\det(A^{-1})$. Vérifier que $\psi$ est bien définie, bornée sur $K_\alpha$ et y atteint ses bornes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1220]
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Soit $n\geq2$.
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1. Pour $M\in M_n(\C)$, rappeler la formule du déterminant et montrer que $GL_n(\C)$ est ouvert.
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2. Montrer dense l'ensemble $D=\{M:|\Sp(M)|=n\}$.
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3. Pour $M$, poser $C(M)=\{Q:QM=MQ\}$. Déterminer $\dim C(D)$ pour $D\in D$.
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4. Pour $a=(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\C^n$, soit $F(a)\in M_n(\C)$ la matrice dont la dernière colonne est $(a_0,\ldots,a_{n-1})^T$, la sous-diagonale est formée de $1$ et les autres coefficients sont nuls. Montrer que $F=\{PF(a)P^{-1}:a\in\C^n,\ P\in GL_n(\C)\}$ est un ouvert dense de $M_n(\C)$ contenant $D$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1221]
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1. Pour la norme euclidienne canonique sur $\R^n$, montrer que la norme d'opérateur associée est une norme matricielle.
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2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$.
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3. En déduire que les normes d'opérateur réelle et complexe coïncident sur $M_n(\R)$.
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4. Si $B=\{M:\|M-I_n\|_R<1\}$, montrer que $|\lambda-1|<1$ pour toute valeur propre de $M\in B$.
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5. Si $G$ est un sous-groupe de $GL_n(\R)$ inclus dans $B$, montrer $\Sp(A)=\{1\}$ pour tout $A\in G$, puis que $G=\{I_n\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1222]
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1. Rappeler les définitions d'un segment, d'une partie convexe et de la frontière.
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2. Pour $A\subset E$, poser $\operatorname{Conv}(A)$ égal à l'intersection des convexes contenant $A$. Montrer que $\operatorname{Conv}(A)$ est convexe et contient $A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1223]
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Pour $n\geq2$, poser $u_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$.
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1. Par comparaison série-intégrale, donner un équivalent de $u_n$.
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2. Montrer que $v_n=u_n-\frac12\ln^2n$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1224]
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Soient $u_n\geq0$, $u_0>0$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$, et supposons $\sum u_n$ divergente.
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1. Si $\alpha\leq1$, étudier $\sum\ln(1-u_n/S_n)$, puis en déduire la nature de $\sum u_n/S_n$ et de $\sum u_n/S_n^\alpha$.
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2. Si $\alpha>1$, en utilisant $u_n=S_n-S_{n-1}$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1225]
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1. Définir la sommabilité d'une famille $(a_{i,j})_{(i,j)\in\N^2}$.
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2. Étudier la sommabilité pour $a_{i,j}=1/(i^2+j^2+1)$.
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3. Pour $x,y>0$, poser $F(x,y)=\sum a_{i,j}x^iy^j$, et $D=\{(x,y):F(x,y)<+\infty\}$, $L=\{(\ln x,\ln y):(x,y)\in D\}$. Représenter $D,L$ pour les cas $a_{i,j}=1$, $a_{i,j}=2^i\delta_{i,j}$ et $a_{i,j}=\binom{i+j}{i}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1226]
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Soit $f\in C^1(\R,\R)$ et $S=\{\varphi\in C^2(\R,\R):\varphi''=|\varphi+f|\}$.
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1. Montrer $e^t\geq1+t$.
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2. Pour $f=\exp$, montrer qu'il existe une unique solution $\varphi\in S$ telle que $\varphi(0)=\varphi'(0)=-1$.
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3. Si $f$ n'est pas constante, existe-t-il une solution périodique ? bornée ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1227]
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Soit $f\in C^2(\R)$ telle que $f''>0$.
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1. Montrer que $f$ n'est pas majorée. Peut-elle être minorée ?
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2. Montrer que $f$ admet un minimum ssi $f'(a)=0$ pour un certain $a$.
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3. Si $f(x)/|x|\to+\infty$ quand $x\to\pm\infty$, montrer que $f'$ est une bijection de $\R$ sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1228]
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Soit $F=C^\infty([0,+\infty[,\R)$ et $E=\{f\in F:f(0)=0,\ \lim_{x\to+\infty}f^{(m)}(x)\in\R\ \forall m\in\N\}$.
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1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
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2. Poser $\Phi(f)(x)=f'(x)-f'(0)$. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif.
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3. Pour $g(x)=(x+1)\sin(\pi\sqrt{x+1})-\pi x/2$, montrer que, pour $m\geq2$, $g^{(m)}(x)=P_m(1/\sqrt{x+1})\sin(\pi\sqrt{x+1})+Q_m(1/\sqrt{x+1})\cos(\pi\sqrt{x+1})$ avec $P_m,Q_m\in\R[X]$. Résoudre $\Phi(f)=g'$ dans $E$ et déterminer si $\Phi$ est surjectif.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1229]
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Soit $f\in C^1(\R)$ $T$-périodique et $\int_0^T f(t)\,dt=0$.
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1. Poser $g(x)=\int_x^{+\infty}f(t)/t^2\,dt$ pour $x>0$. Montrer que $g$ est bien définie, $C^1$, et calculer $g'$.
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2. Montrer que toute primitive de $f$ est bornée sur $\R_+$.
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3. Trouver $a$ tel que $g(x)=a/x+O(\ln x)$ quand $x\to0^+$.
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4. $g$ est-elle intégrable sur $\R_+$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1230]
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Soit $A=\{f\in C^1([0,1]): f'(x)=x^2+f(x)^2,\ f(0)=0\}$.
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1. Montrer qu'un $f\in C^0([0,1])$ appartient à $A$ ssi $f(x)=x^3/3+\int_0^xf(t)^2dt$. Poser $f_0(x)=x^3/3$ et itérer cette relation pour définir $f_n$.
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2. Montrer $f_n(x)\leq(2/5)x^3$ et $0\leq f_{n+1}(x)-f_n(x)\leq f_{n+1}(1)-f_n(1)$.
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3. Étudier $(f_n)$ et en déduire que $A$ est non vide.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1231]
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Poser $u_0(x)=x$ et $u_{n+1}(x)=2\sqrt{u_n(x)/(1+u_n(x))}$ pour $x>0$.
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1. Montrer que $(u_n)$ converge simplement sur $]0,+\infty[$.
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2. Poser $U_n(x)=(1+u_n(x))/(2\sqrt{u_n(x)})$. Montrer $|U_{n+1}(x)-1|\leq\frac12|U_n(x)-1|$.
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3. Montrer la convergence uniforme sur tout segment inclus dans $]0,+\infty[$.
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4. Est-elle uniforme sur tout $]0,+\infty[$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1232]
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Soit $\varphi(x)=\sum_{n\geq1}1/(n(n+x))$ pour $x\geq0$.
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1. Montrer que $\varphi$ est bien définie, continue et décroissante.
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2. Calculer sa limite en $+\infty$.
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3. Montrer $\varphi(x)=O(1/\sqrt{x})$.
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4. Avec $H_n=\sum_{k=1}^n1/k=\ln n+\gamma+o(1)$, exprimer $\varphi(n)$ et en déduire un équivalent.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1233]
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Soit $E$ l'espace des fonctions lipschitziennes $\R\to\R$ et $F=\{f\in E:f(0)=0\}$. Pour $t\in[0,1[$, poser $\Phi(f)(x)=f(x)-f(tx)$.
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1. Montrer que $E$ est un sous-espace de $C^0(\R,\R)$, que $F$ en est un sous-espace et donner un supplémentaire.
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2. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif de $F$.
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3. Si $g=\Phi(f)$, montrer $f(x)=\sum_{k\geq0}g(t^kx)$. Qu'en déduire sur $\Phi$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1234]
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Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=1/(n^2+n^4x^2)$ et $S=\sum_{n\geq1}f_n$.
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1. Montrer que $S$ est définie et $C^\infty$ sur $\R^*$.
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2. $S$ est-elle $C^1$ sur $\R$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1235]
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Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}1/(x^{\sqrt n}n^{3/2})$.
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1. Déterminer son domaine de définition.
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2. Montrer que $f$ est continue sur $[1,+\infty[$ et dérivable sur $]1,+\infty[$.
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3. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1236]
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Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(1+1/(n^2x^2))$.
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1. Déterminer son domaine et ses variations.
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2. Étudier sa continuité.
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3. Donner un équivalent lorsque $x$ tend vers la borne supérieure du domaine.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1237]
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Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(1+n^2x^2)$.
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1. Déterminer son domaine de définition.
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2. Montrer que $f$ est continue sur son domaine.
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3. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que $f(x)\sim a/x^2$ quand $x\to+\infty$.
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4. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ et calculer son intégrale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1238]
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Poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$, $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$, $R_n=\sum_{k=n+1}^\infty f_k$ et $W=\sum_{k=0}^\infty f_k$.
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1. Énoncer et démontrer le théorème de continuité des séries de fonctions.
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2. Montrer que $W,R_n$ sont définies et continues sur $\R$, puis que $|R_n|\leq2/(n+1)!$.
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3. Montrer $|W_n'(x)|\leq2n!$.
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4. À l'aide d'une suite convenable, montrer que $W$ n'est dérivable en aucun point.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1239]
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Sur $]-\pi/2,\pi/2[$, poser $f(x)=(1+\sin x)/\cos x$.
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1. Montrer que $f$ satisfait une équation différentielle d'ordre 1.
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2. Poser $P_0=1+X$. Montrer qu'il existe des polynômes unitaires $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tels que $f^{(n)}(x)=P_n(\sin x)/\cos^{n+1}x$.
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3. Pour $a_n=P_n(0)$, relier $a_1$ à $a_0$ puis exprimer $a_{n+1}$ à l'aide de $\sum_{k=0}^n\binom nk a_ka_{n-k}$.
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4. Pour $A(t)=\sum_{n\geq0}a_nt^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire les $a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1240]
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Soient $a_n>0$ et $S_n=\sum_{k=1}^na_k$.
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1. Si $(a_n)$ est majorée, poser $f(x)=\sum_{n\geq1}S_nx^n$, $g(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$. Déterminer leurs rayons de convergence, établir une relation entre $f,g$, puis expliciter $f$ si $a_n=1/n$.
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2. Si $a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+1/S_n$, calculer le rayon de convergence de $\sum S_nx^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1241]
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Soient $\alpha,\lambda\in\R$, $|\lambda|<1$, et $F=\{f\in C^1(\R): f'=\alpha f+f(\lambda x)\}$.
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1. Montrer $F\subset C^\infty(\R)$.
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2. Déterminer les fonctions non nulles de $F$ développables en série entière.
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3. Si $f\in F$ et $f(0)=0$, montrer $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$, puis en déduire une propriété de $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1242]
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Pour $a>-1/2$, poser $I_a(x)=\int_0^1(1-t^2)^{a-1/2}\cos(xt)\,dt$.
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1. Montrer que l'intégrande pondérateur est intégrable.
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2. Montrer que $I_a$ est $C^2$ et relier $I_a'',I_a,I_{a+1}$.
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3. Montrer que $I_a$ est développable en série entière sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1243]
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Soient $u_0=a>0$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$.
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1. Étudier la limite de $(u_n)$.
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2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
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3. Poser $v_n=1/u_{n+1}-1/u_n$. La série converge-t-elle en $x=1$ et $x=-1$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1244]
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Pour $n,k\in\N$, poser $u_{n,k}=k^n/k!$ et noter $A_n=\sum_{k\geq0}u_{n,k}$.
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1. Montrer la convergence et exprimer $A_{n+1}$ en fonction des $A_i$.
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2. Montrer $0\leq A_n/n!\leq e$.
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3. Trouver une équation différentielle satisfaite par $f(x)=\sum_{n\geq0}A_nx^n/n!$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1245]
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Soit $\varphi:[n_0,+\infty[\to\R_+^*$ continue décroissante telle que $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)$ diverge.
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1. Pour $\alpha\geq0$, déterminer la nature de $\sum_{n\geq2}1/(n(\ln n)^{1-\alpha})$.
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2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)x^n$.
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3. Montrer que cette somme tend vers $+\infty$ quand $x\to1^-$ et qu'elle est équivalente à $\int_{n_0}^{+\infty}\varphi(t)x^t\,dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1246]
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Poser $N_0=1$, $N_k=\frac1{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)$, $F_P(x)=\sum_{k\geq0}P(k)x^k/k!$ et $P_j=j!N_j$.
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1. Pour $P_j$, déterminer le rayon de convergence de $F_{P_j}$ et sa somme.
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2. Pour $P\neq0$, déterminer le rayon de convergence de $F_P$ et montrer qu'il existe un unique $Q_P$, de même degré que $P$, tel que $F_P(x)=Q_P(x)e^x$.
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3. Poser $I_k=\int_0^1N_k(t)\,dt$. Pour $k\geq2$, montrer $1/(6k^2)\leq|I_k|\leq1/(6k)$ et déterminer le rayon de convergence de $\sum I_kx^k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1247]
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Poser $I_n=\int_0^n(1-t/n)^n\ln(t)\,dt$ et $J_n=\int_0^1u^n\ln(1-u)\,du$.
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1. Montrer que $I_n$ converge et tend vers $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt$.
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2. Montrer que $J_n$ converge et vaut $-\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}1/k$.
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3. En déduire $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt=-\gamma$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1248]
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Poser $I_n=\int_0^\infty(1+t^3)^{-n}\,dt$, $u_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$, $v_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln(n+1)$.
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1. Montrer que $u_n,v_n$ convergent vers une même limite $\gamma$.
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2. Montrer $I_{n+1}/I_n=1-1/(3n)$.
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3. Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $I_n\sim C/n^{1/3}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1249]
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Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\,dt$.
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1. Déterminer son domaine, de la forme $]a,+\infty[$.
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2. Sur $J=]a+1,+\infty[$, poser $\varphi(x)=xf(x)f(x-1)$. Montrer $\varphi(x+1)=\varphi(x)$ et que $\varphi(x)/x$ est décroissante.
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3. Calculer $\varphi(n)$ et montrer que $\varphi$ est constante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1250]
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Définir $f(x)=\sin(x^2)/x^2$ pour $x>0$ et $f(0)=1$. Poser $S(x)=\int_0^\infty f(\lfloor t/x\rfloor x)\,dt$.
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1. Montrer que $S(x)$ converge pour tout $x>0$.
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2. Si $x_n\to0^+$, montrer $S(x_n)\to\int_0^\infty f(t)\,dt$.
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3. Pour $G(x)=\sum_{n\geq1}\sin(n^2x)/n^2$, exprimer $G(x)$ à l'aide de $S(\sqrt{x})$ et déterminer un équivalent en $0^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1251]
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Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.
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1. Montrer que $f$ est définie sur $\R_+$ et que $|f(x)|\leq1/x$ pour $x>0$.
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2. Montrer que $f$ est $C^1$ sur $]0,+\infty[$, puis calculer $f'$ et $f$.
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3. Montrer la continuité en $0$ et en déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1252]
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Poser $f(x)=\int_0^\infty\arctan(tx)e^{-t}\,dt$.
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1. Montrer que $f\in C^3(\R)$.
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2. Montrer que $f(x)$ a le signe de $x$ et $|f(x)|\leq|x|$.
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3. Pour $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer $x_n\to0$. Trouver $\alpha$ tel que $x_{n+1}^\alpha-x_n^\alpha$ ait une limite non nulle pour $x_0>0$, puis en déduire un équivalent de $x_n$ si $x_0\neq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1253]
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Soit $f(x)=\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$.
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1. Montrer que $f$ est définie et continue, calculer $f(0)$.
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2. Montrer $f(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\sin u)\,du$ et que $f\in C^2(\R)$.
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3. Montrer que $f$ admet un développement en série entière en $0$ et l'expliciter.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1254]
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Pour $p\in\N$, poser $I_p(x)=\int_0^\infty e^{-(2p+1)t}\cos(xt)\,dt$.
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1. Montrer que $\int_0^\infty\cos(xt)/\cosh(t)\,dt$ est définie et poser $G(x)=\int_0^\infty\cos(xt)/\sinh(t)\,dt$.
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2. Calculer $I_p$.
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3. Exprimer $G(x)$ à l'aide des $I_p(x)$.
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4. Montrer que $G$ est développable en série entière en zéro.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1255]
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Soient $\varphi(x)=\int_x^\infty\sin(t)/t\,dt$ et $\psi(x)=\int_x^\infty\cos(t)/t\,dt$ pour $x>0$, avec $\psi'(x)=-\cos(x)/x$ admis.
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1. Montrer $\varphi$ est $C^1$ et $\varphi'(x)=-\sin(x)/x$.
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2. Montrer que $f(x)=\varphi(x)\cos x-\psi(x)\sin x$ résout $y''+y=1/x$.
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3. Montrer que $g(x)=\int_0^\infty e^{-tx}/(1+t^2)\,dt$ résout aussi cette équation.
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4. En déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1256]
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Pour $\alpha>0$, poser $I(\alpha)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^\alpha)\,dt$.
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1. Rappeler que la limite uniforme de fonctions continues est continue.
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2. Montrer que $I(\alpha)$ est bien définie.
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3. Écrire $I(\alpha)$ comme somme d'une série.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1257]
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Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et $u_n=\int_0^1f(x)^n\,dx$.
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1. Si $f(1)>1$, montrer qu'il existe $c>1$ et $a<1$ tels que $f(t)\geq c$ pour $t\in[a,1]$.
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2. Montrer que si $\sum u_n$ converge, alors $f(1)=0$.
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3. Si $f\in C^1([0,1])$, montrer que $\sum u_n$ converge ssi $f(1)=0$, puis calculer $\sum_{n\geq0}u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1258]
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Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues $f:\R_+^*\to\R$ pour lesquelles $x^\alpha f(x)\to0$ pour un certain $\alpha\geq0$.
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1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $C^0(\R_+^*,\R)$.
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2. Pour $f\in E$, poser $\varphi_f(x)=e^x\int_x^\infty e^{-t}f(t)\,dt$. Montrer que c'est l'unique solution dans $E$ de $y'-y+f=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1259]
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Soit $f(x,y)=(x-xy)\sqrt y-yx^2$, $K=[-1,1]\times[0,1]$, $O=]-1,1[\times]0,1[$.
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1. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$.
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2. Déterminer ses extrema locaux sur $O$.
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3. Déterminer maximum et minimum sur $K$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1260]
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Soit $F(x,y)=\sin(x)\cosh(y)-\sin(y)\cosh(x)$ et $\Delta=\{(x,x):x>0\}$.
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1. Montrer $F\in C^2(\R^2)$.
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2. Montrer que le gradient s'annule sur $\Delta$ en des points $(x_n,x_n)$ avec $x_n\in[n\pi+\pi/4,n\pi+\pi/2]$.
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3. $F$ possède-t-elle des extrema sur $\Delta$ ? sur $\R^2$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1261]
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Soit $f(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2-xy$.
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1. Déterminer le plan tangent au graphe en $(0,0,f(0,0))$ et préciser sa position locale.
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2. Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\R^2$, et déterminer sa valeur et ses points d'atteinte.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1262]
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Soit $(\Omega,\P)$ fini et $F$ l'espace des fonctions $\Omega\to\R$. Poser $\Phi(X,Y)=\E(XY)$. Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire ssi $\P(\{\omega\})>0$ pour tout $\omega\in\Omega$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1263]
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Deux joueurs $A,B$ jouent à tour de rôle. À son tour, $A$ gagne avec probabilité $p$, $B$ avec probabilité $q$ ; en cas de victoire, l'autre joue au tour suivant, en cas de défaite le même joueur rejoue. Soit $X_n$ l'identité du joueur au tour $n$, et $U_1=(1/3,2/3)^T$.
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1. Déterminer $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
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2. Diagonaliser $A$ et en déduire la loi de $X_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1264]
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Soient $A,B,C$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,p)$ et $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A&B&C\\A&B&C\end{pmatrix}$.
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1. Calculer les probabilités que $M$ soit inversible, nilpotente ou matrice d'un projecteur.
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2. Déterminer la loi, l'espérance et la variance du nombre de valeurs propres de $M$, puis la probabilité que $M$ soit diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1265]
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Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. géométriques de paramètre $p\in]0,1[$. Poser $I_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.
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1. Montrer que $I_n$ est géométrique.
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2. Calculer $\E(I_n)$ et $\V(I_n)$.
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3. Montrer que l'événement où $(I_n)$ est constante à partir d'un certain rang est de probabilité $1$.
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4. Montrer que $M_n$ admet une espérance.
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5. Déterminer la limite de $\E(M_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1266]
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1. Résoudre $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+\frac12U_n$.
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2. Soient $(X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$ et $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+X_nU_n$.
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a. Montrer que, pour tout $\omega$, $(U_n(\omega))$ admet une limite dans $\R_+\cup\{+\infty\}$.
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b. Pour $A=\{\omega:(U_n(\omega))\text{ admet une limite finie}\}$, montrer $\P(A)=0$.
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c. Donner un équivalent de $\E(U_n)$.
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#+end_exercice
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* Centrale PC 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1267]
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1. Montrer $2^nn!\leq(2n)!$ et $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$.
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2. Pour $X$ uniforme sur $\{-1,1\}$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$.
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3. Pour $x\in[-1,1]$, montrer $e^{tx}\leq\frac{1+x}{2}e^t+\frac{1-x}{2}e^{-t}$.
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4. Si $X\in[-1,1]$ et $\E(X)=0$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$, puis $\P(|X|\geq\lambda)\leq2e^{-\lambda^2/2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1268]
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1. Montrer que $E=\{(a_n):\sum a_n^2<+\infty\}$ est un espace préhilbertien pour $\langle a,b\rangle=\sum a_nb_n$.
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2. Pour $X\in\N$ de loi $(u_k)$, dire que $(\star)$ signifie $u_k>0$, $\E(X^2)<+\infty$ et $\sum_{k\geq0}(u_k-u_{k-1})^2/u_k<+\infty$, avec $u_{-1}=0$.
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a. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$, montrer $(\star)$ et calculer $S(X)\V(X)$, où $S(X)$ est la série ci-dessus.
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b. Pour $X$ vérifiant $(\star)$, montrer que $\sum_n(u_n-u_{n-1})(n-\E(X))$ converge et que $S(X)\V(X)\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1269]
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Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ de valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.
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1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz.
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2. Pour $x\in\R^n$, montrer $(\sum x_k^2)^2\leq(\sum\lambda_kx_k^2)(\sum x_k^2/\lambda_k)$.
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3. Si $\sum x_i^2=1$, construire $I$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ avec $\P(I=i)=x_i^2$ et poser $U=\lambda_I$. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$.
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4. En déduire $\|X\|^4\leq\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}\|X\|^4$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1270]
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Trouver tous les polynômes $P\in\R[X]$ tels que $P(X)P(X+1)=P(X^2+X+1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1271]
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Poser $P_n=(X+1)^n-(X-1)^n$.
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1. Résoudre $z^n=1$, puis $z^n=\omega^n$.
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2. Trouver degré et coefficient dominant de $P_n$.
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3. Calculer $\sum_{k=1}^n\cot(k\pi/n)$.
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4. Calculer $\prod_{k=1}^n\cot(k\pi/(2n+1))$ à l'aide de $P_{2n+1}$, puis en déduire $\sum_{k=1}^n\cot^2(k\pi/n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1272]
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Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n$ et $Q=\sum_{k=0}^na_{n-k}X^k$ son symétrique.
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1. Quel est le degré de $Q$ ?
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2. Déterminer les $P$ tels que $P(\mathbb U)\subset\mathbb U$. Indication : considérer $f(z)=Q(1/z)z^q$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1273]
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Pour $n\geq2$, montrer $(H_n)$ : pour tous $P,Q\in\C[X]$ de degrés $n,n-1$, il existe $a\in\C$ tel que $P-aQ$ ait une racine multiple.
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1. Vérifier $(H_2)$ et supposer les résultats établis jusqu'à $n$.
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2. Si $P,Q$ ont une racine commune, montrer $(H_{n+1})$.
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3. Sinon, poser $R=P'Q-PQ'$. Si $\alpha$ est racine de multiplicité $m$ de $P-aQ$, montrer que sa multiplicité dans $R$ vaut $m-1$, puis conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1274]
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Soit $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$. Calculer $\det(\cos((j-1)\alpha_i))_{1\leq i,j\leq n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1275]
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1. Pour $n\geq2$, déterminer le sous-espace de $M_n(\C)$ engendré par les matrices nilpotentes.
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2. En déduire que tout hyperplan de $M_n(\C)$ contient une matrice inversible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1276]
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Soit $\mathcal N=\{M\in M_n(\C):M^p=0\text{ pour un }p\}$ et $(E_{i,j})$ la base canonique.
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1. Montrer que si $M\in\mathcal N$, alors $M^n=0$.
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2. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.
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3. Si $i\neq j$, montrer que $I_n-E_{i,j}$ est inversible et calculer son inverse.
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4. Déterminer une base de $\Ker\operatorname{tr}$.
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5. Montrer $\Ker\operatorname{tr}=\operatorname{Vect}(\mathcal N)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1277]
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Soient $E$ réel et $p_1,\ldots,p_n\in\mathcal L(E)$ vérifiant $p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Poser $F_i=\operatorname{Im}p_i$ et supposer les $F_i$ de dimension finie.
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1. Montrer que les $F_i$ sont en somme directe ssi $\dim(\sum_iF_i)=\sum_i\dim F_i$.
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2. Pour $a\in\R^n$, poser $u_a=\sum_i a_ip_i$. Calculer $u_a^k$ et caractériser quand $u_a$ est un projecteur.
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3. Si $\sum_i p_i=\operatorname{id}$, montrer $E=\bigoplus_iF_i$.
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4. Exprimer $\Ker p_i$ à l'aide des $F_j$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1278]
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1. Montrer que, pour $A\in M_n(\R)$ et $\lambda\geq0$, $\det(A^2+\lambda I_n)\geq0$.
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2. Si $n$ est impair et $B$ inversible, montrer $A^2+B^2\neq-I_n$.
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3. Si $n$ est pair, donner $A,B$ telles que $A^2+B^2=-I_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1279]
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Pour $n\geq2$ et $M\in M_n(\C)$, montrer que $M$ n'est pas inversible ssi il existe $P\in GL_n(\C)$ tel que $P+zM$ soit inversible pour tout $z\in\C$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1280]
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Soient $A,B\in M_n(\R)$ avec $\operatorname{rg}(B)=1$ et $A^3=B$.
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1. Donner une relation entre $\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{tr}(B)$.
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2. Si $\operatorname{tr}(B)=0$, montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1281]
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Soient $E$ complexe de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$. Poser $\C[u]=\{P(u):P\in\C[X]\}$ et $S_u=\{f\in\C[u]:f\text{ est une symétrie}\}$. Si $u$ est diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes, calculer $\dim\C[u]$ et $\operatorname{card}(S_u)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1282]
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Soit $A\in M_n(\C)$ et $\varphi_A(B)=AB$.
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1. Si $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$, montrer $\varphi_A$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_A}=\chi_A^2$.
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2. Si $D$ est diagonale, montrer $\varphi_D$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_D}=\chi_D^n$.
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3. Étendre à $A$ diagonalisable, puis à toute matrice $A\in M_n(\C)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1283]
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Soient $n\geq1$, $A\in M_n(\R)$ et $B=\begin{pmatrix}4A&2A\\-3A&-A\end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $A$ l'est sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1284]
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Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique : $a_{ij}\geq0$ et chaque ligne somme à $1$.
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1. Montrer que $1$ est valeur propre et que toute valeur propre $\lambda$ vérifie $|\lambda|\leq1$.
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2. Montrer que $A^p$ est stochastique et étudier la convergence de $(A^p)$.
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3. Pour $\lambda\in]-1,1]$ et $N$ nilpotente, montrer que $((\lambda I_n+N)^p)_p$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1285]
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Soient $U=\begin{pmatrix}A&A\\0&A\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}A&0\\0&A\end{pmatrix}$. On suppose $A$ diagonalisable et $U,V$ semblables.
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1. Montrer qu'il existe un polynôme $\pi$ scindé à racines simples tel que $A\pi'(A)=0$.
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2. Montrer $A=0$.
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3. Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse de diagonalisabilité de $A$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1286]
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Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $\mathcal A\subset GL(E)$ tel que, pour $u\neq v$ dans $\mathcal A$, $u\circ v=-v\circ u$.
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1. Si $n$ est impair, montrer que $\mathcal A$ a au plus un élément.
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2. Si $\mathcal A$ a au moins deux éléments, montrer que pour $u\in\mathcal A$, toute valeur propre $\lambda$ entraîne la valeur propre $-\lambda$ de même multiplicité.
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3. Si $n=2$, trouver une base où la matrice de $u$ est $\operatorname{diag}(\lambda,-\lambda)$.
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4. Montrer que $\mathcal A$ a au plus trois éléments.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1287]
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1. Montrer que $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$ est un produit scalaire sur $E=\{f\in C^0(]0,1],\R):f^2\text{ est intégrable}\}$.
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2. Pour $F(x,y)=\int_0^1(\ln t-tx-y)^2dt$, calculer $\inf_{(x,y)\in\R^2}F(x,y)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1288]
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Soient $E$ euclidien de dimension $3$, $H$ un plan, $u\neq0$ normal à $H$, $f$ une isométrie et $s$ la réflexion orthogonale par rapport à $H$. Poser $h=f\circ s\circ f^{-1}$. Montrer que $h$ est une réflexion et préciser ses éléments caractéristiques.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1289]
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1. Pour $A,B\in M_n(\R)$, montrer que si $0$ est valeur propre de $AB$, alors c'est une valeur propre de $BA$.
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2. Même question pour une valeur propre non nulle.
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3. Comparer les spectres et dimensions des espaces propres de $AA^T$ et $A^TA$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1290]
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Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ et $U\in M_n(\R)$ tels que $AU=U^TA$. Poser $\langle X,Y\rangle=X^TAY$.
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1. Montrer que c'est un produit scalaire.
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2. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ et $D$ diagonale telles que $P^TAP=I_n$ et $P^{-1}UP=D$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1291]
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Soient $x_0,\ldots,x_{n-1}>0$, $A=\frac1n\sum x_k$ et $G=(\prod x_k)^{1/n}$.
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1. Montrer $\exp(t/A-1)\geq t/A$ pour $t>0$, puis $A\geq G$. L'inégalité vaut-elle pour des $x_k\geq0$ ?
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2. Si $S\in S_n^+(\R)$, montrer $\det(S)^{1/n}\leq\operatorname{tr}(S)/n$.
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3. Pour $A\in M_n(\R)$, montrer $\det(A)^2\leq(\frac1n\sum_{i,j}a_{ij}^2)^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1292]
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Soit $F=\{A\in S_n^+(\R):a_{ij}<0\text{ si }i\neq j\}$.
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1. Pour $a_{ii}=a$ et $a_{ij}=-b$ hors diagonale, caractériser l'appartenance à $F$.
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2. Si $A\in F$ et $X^TAX=0$, montrer $X\in\Ker(A)$.
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3. En déduire $a_{ii}>0$ pour tout $i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1293]
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Dire que $A\in M_n(\R)$ est de type $m$ si $A^m=A^T$.
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1. Déterminer les matrices de type $m$ pour $m=0,1$.
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2. Si $A$ est de type $m$, poser $B=A^{m+1}$. Montrer $B^m=B$ et $B$ symétrique, puis que $B$ est un projecteur orthogonal.
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3. Si $A$ est inversible et de type $m$, montrer $A\in O_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1294]
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1. Pour $\omega\in M_{n,1}(\R)$, montrer $\omega\omega^T\in S_n^+(\R)$ et est de rang $0$ ou $1$.
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2. Pour $B\in S_n(\R)$ de spectre $(x_1,\ldots,x_n)$, construire une base $(f_k)$ telle que $Bf_k=x_kf_k$, $\sum f_kf_k^T=I_n$ et $B=\sum x_kf_kf_k^T$.
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3. Si $B\in S_n^+(\R)$, montrer qu'il existe $\Omega$ telle que $B=\Omega\Omega^T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1295]
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1. Montrer que $S\in M_n(\R)$ est symétrique définie positive ssi $S=P^TP$ pour un $P$ inversible.
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2. Montrer que $A$ est diagonalisable ssi il existe $S$ symétrique définie positive tel que $A^T=S^{-1}AS$.
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3. L'assertion reste-t-elle vraie si l'on remplace $S$ par un $P$ inversible quelconque ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1296]
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Poser $\|M\|=\sqrt{\operatorname{tr}(M^TM)}$.
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1. Montrer que c'est une norme et qu'elle est invariante par multiplication à gauche et à droite par des matrices orthogonales.
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Soient $A,B$ symétriques, de valeurs propres ordonnées $\lambda_i(A),\lambda_i(B)$, et $D_A,D_B$ les diagonales correspondantes.
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2. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ tel que $\|A-B\|=\|D_AP-PD_B\|$, puis que $\|A-B\|^2=\sum_{i,j}p_{ij}^2(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$.
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3. Pour $f_{A,B}(M)=\sum_{i,j}m_{ij}(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$, montrer qu'elle est bornée sur les matrices bistochastiques.
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4. Par une transformation élémentaire, montrer que $f(M)\geq f(I_n)$ pour toute matrice bistochastique.
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5. En déduire $\sum_i(\lambda_i(A)-\lambda_i(B))^2\leq\|A-B\|^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1297]
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Soit $u$ autoadjoint sur un espace euclidien, de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.
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1. Montrer que $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$ et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
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2. Si $v$ est autoadjoint de spectre $\mu_1\leq\cdots\leq\mu_n$, montrer $\Sp(u+v)\subset[\lambda_1+\mu_1,\lambda_n+\mu_n]$.
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3. Montrer $|\lambda_1-\mu_1|\leq\sup_{\|x\|=1}\|u(x)-v(x)\|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1298]
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1. Si $\mu_1<\cdots<\mu_n$, $x_i\neq0$, $D=\operatorname{diag}(\mu_i)$ et $M=\begin{pmatrix}D&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement strict des valeurs propres de $M$ et $D$.
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2. Pour $S$ symétrique de valeurs propres $\mu_i$ et $N=\begin{pmatrix}S&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement large.
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3. Pour des variables $R_i$ à moment d'ordre $2$, avec matrice de covariance $\Sigma_n$ et $U=(u_i)^T$, montrer $\V(\sum_i u_iR_i)=U^T\Sigma_nU$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1299]
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Pour $C$ convexe fermé d'un espace vectoriel réel de dimension finie, $x$ est extrémal si $x=(y+z)/2$ avec $y,z\in C$ entraîne $x=y=z$.
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1. Déterminer les points extrémaux de $\{x\in\R^n:\sum|x_k|\leq1\}$.
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2. Déterminer ceux de la boule unité d'un espace euclidien.
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3. Montrer que tout convexe fermé borné non vide en dimension finie possède un point extrémal.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1300]
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Soit $E$ l'espace des fonctions continues bornées $\R\to\R$, muni de la norme uniforme. Pour $|a|<1$, poser $T(f)(x)=f(x)-af(\ell x)$.
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Montrer que $T$ est un automorphisme continu de $E$ et que $T^{-1}$ est continue.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1301]
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Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $T(f)(x)=\int_0^xf(t)\,dt$, muni de la norme uniforme.
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1. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu.
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2. Calculer $\|T\|$.
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3. Montrer $|T^n(f)(x)|\leq x^n\|f\|_\infty/n!$.
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4. En déduire une borne pour $\|T^n\|$ et la déterminer.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1302]
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Poser $A_n=\min\{p\geq1:\sum_{k=1}^p1/k\geq n\}$. Montrer que $A_n$ est bien défini et donner la limite et un équivalent de $(A_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1303]
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Soit $u_0=1$, $u_{n+1}e^{u_{n+1}}=u_n/2$.
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1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie et déterminer sa limite.
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2. Montrer que $\sum u_n$ converge.
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3. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $u_n\sim c/2^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1304]
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Pour $n\geq1$, considérer $x=1+\ln(n+x)$.
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1. Montrer qu'il existe une unique solution $x_n\geq0$.
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2. Montrer $x_n\to+\infty$ et donner un équivalent.
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3. Déterminer la limite de $x_n-\ln n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1305]
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Soient $u_0=\alpha>0$ et $u_{n+1}=u_n^2+u_n$.
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1. Montrer $u_n\to+\infty$.
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2. Poser $v_n=2^{-n}\ln u_n$. Montrer que $(v_n)$ converge vers $\beta$.
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3. Montrer $|v_n-\beta|=o(2^{-n})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1306]
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Soit $\theta\in]0,\pi/2[$, $x_0=\cos\theta$, $y_0=\sin\theta$, et
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$$x_{n+1}=\frac{2+2y_n+x_n}{3+2x_n+2y_n},\qquad y_{n+1}=\frac{2+2x_n+y_n}{3+2x_n+y_n}.$$
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1. Montrer que $(x_n,y_n)$ est bien définie et reste sur le quart de cercle unité.
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2. Montrer sa convergence et déterminer sa limite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1307]
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Étudier la convergence de $\sum\sin\left(\frac{\pi n!}{\sum_{k=0}^nk!}\right)$ et de $\sum\sin(\pi n!e)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1308]
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Soient $\ell\in\N$ et $f\in C^1([\ell,+\infty[,\R)$.
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1. Montrer $\sum_{k=\ell+1}^nf(k)=\int_\ell^nf(t)\,dt+\int_\ell^n(t-\lfloor t\rfloor)f'(t)\,dt$.
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2. Si $f'$ est intégrable sur $[\ell,+\infty[$, comparer la nature de $\sum_{k\geq\ell}f(k)$ et de $\int_\ell^\infty f$.
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3. Déterminer la nature de $\sum\cos(\ln n)/n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1309]
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Soit $\mathcal C$ l'ensemble des suites croissantes à valeurs dans $\N\setminus\{0,1\}$. Pour $u\in\mathcal C$, poser $v_n=\sum_{k=0}^n1/(u_0\cdots u_k)$.
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1. Étudier la limite de $v_n$ si $u$ est constante, $u_n=n+2$, puis $u_n=2n+2$.
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2. Montrer pour tout $u$ que $v_n$ converge avec limite dans $]0,1]$.
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3. Montrer que $u\mapsto\lim v_n$ est injective.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1310]
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Soient $\alpha,\beta\in\R$, $a_1=1$ et, pour $n\geq2$, $a_n\sum_{k=1}^{n-1}a_k^\alpha=n^{-\beta}$.
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1. Montrer $a_n>0$.
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2. Si $\sum a_n^\alpha$ diverge, montrer $a_n^\alpha=o(n^{-\alpha\beta})$.
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3. En déduire que si $\alpha\beta>1$, cette série converge.
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4. Montrer que si $\alpha\beta\leq1$, alors $a_n=o(n^{-\beta})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1311]
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1. Pour $\lambda\geq0$, montrer $\int_0^\pi\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}$.
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2. Calculer cette intégrale.
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3. Pour $\alpha\geq0$, étudier $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^\alpha\sin^2x}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1312]
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Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+)$ décroissante vers $0$ et $g(u)=f(u)\sin u$.
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1. Montrer que $\int_0^\infty g(u)\,du$ converge.
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2. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ ssi $g$ l'est.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1313]
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Soient $f,g$ continues et de carré intégrable sur $\R$. Montrer que $fg$ est intégrable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1314]
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Étudier et représenter le graphe de $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{\cos^n(x)\sin(nx)}n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1315]
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1. Donner un équivalent simple de $u_n=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln n)$.
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2. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x(1-x)^n/\ln(n+1)$. Déterminer le domaine de $F=\sum f_n$ et étudier la convergence uniforme et normale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1316]
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Soient $a>0$ et $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$ décroissante avec $f(x)\sim a\ln x$. Déterminer le domaine de $u(x)=\sum_{n\geq0}f(n)e^{-nx}$ et les limites aux bornes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1317]
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Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(n)x^n$.
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1. Donner le rayon de convergence.
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2. Pour $0<x<1$, montrer $-x\ln(1-x)-1\leq(1-x)f(x)\leq-x\ln(1-x)$ et trouver un équivalent en $1^-$.
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3. Montrer que $f$ admet une limite en $-1^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1318]
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Soit $(a_n)\subset\C$ telle que $na_n\to0$.
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1. Si $u_n\to0$, montrer $\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u_k\to0$.
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2. Montrer que $\sum a_nz^n$ converge pour $|z|<1$.
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3. Si $f(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$ et $f(x)\to\ell$ quand $x\to1^-$, montrer que $\sum a_n$ converge et vaut $\ell$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1319]
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Poser $I_0=1$, et $I_n$ le nombre d'involutions de $\{1,\ldots,n\}$.
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1. Montrer $I_n=I_{n-1}+(n-1)I_{n-2}$.
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2. Montrer que $\sum I_nx^n/n!$ converge pour $|x|<1$.
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3. Pour $F(x)=\sum I_nx^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire une expression de $I_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1320]
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Soit $f(x)=\sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n$.
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1. Donner son rayon et son domaine de définition.
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2. Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$ et calculer $f(-1/4)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1321]
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Soient $n\geq1$, $1\leq k\leq n$ et $S_{n,k}$ le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal $n$ en $k$ parties.
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1. Montrer $S_{n,k}=S_{n-1,k-1}+kS_{n-1,k}$.
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2. Pour $k\geq1$, déterminer le rayon de convergence de $A_k(x)=\sum_{n\geq k}S_{n,k}x^n/n!$.
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3. Exprimer $A'_{k+1}$ à l'aide de $k,A_k,A_{k+1}$.
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4. Montrer $A_k(x)=(e^x-1)^k/k!$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1322]
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Soit $f(x)=e^{-x^2}$ et $I=\int_0^\infty f(x)\,dx$.
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1. Justifier la convergence de $I$ et, pour $|x|<1$, celle de $\sum x^{n^2}$. Poser $g(x)=\sum_{n\geq0}x^{n^2}$.
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2. Donner un équivalent de $g(x)$ en $1$ faisant intervenir $I$.
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3. Soit $h\in C^0(\R_+,\R)$ décroissante avec convergente non nulle intégrale sur $\R_+$. Pour $\theta\geq0$, étudier $\sum_{n\geq1}h(n\theta)$, puis donner son équivalent quand $\theta\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1323]
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Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ de rayon $R>0$, et $S_n(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k$.
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1. Calculer $\int_0^{2\pi}e^{ik\theta}\,d\theta$ pour $k\in\Z$.
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2. Pour $0<r<R$, calculer $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|S_n(re^{i\theta})|^2\,d\theta$.
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3. Étudier la convergence de $\sum|a_k|^2r^{2k}$ et calculer sa somme si elle converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1324]
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1. Pour $A\in M_n(\C)$, poser $Q(X)=X^n\chi_A(1/X)$ et $R=\sup_{\lambda\in\Sp(A)}1/|\lambda|$. Montrer, pour $|z|<R$, $\frac{Q'(z)}{Q(z)}=-\sum_{k\geq0}\operatorname{tr}(A^{k+1})z^k$.
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2. Déterminer les matrices $A$ telles que $\operatorname{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\geq1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1325]
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Pour $n\geq1$, poser $I_n=\frac1{n!}\int_0^nt^ne^{-t}\,dt$. Montrer que $(I_n)$ possède une limite $\ell$ et que $\ell\in[0,1/2]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1326]
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Pour $n\geq1$, $\alpha>1$, poser $I_n(\alpha)=\int_0^\infty(1+t^\alpha)^{-n}\,dt$.
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1. Montrer que $I_n(\alpha)$ est définie.
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2. Relier $I_{n+1}(\alpha)$ à $I_n(\alpha)$ et en déduire une expression.
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3. Déterminer la limite de $I_n(\alpha)$.
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4. Montrer qu'il existe $K(\alpha)>0$ tel que $I_n(\alpha)\sim K(\alpha)n^{-1/\alpha}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1327]
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Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+n)}\,dt$.
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1. Montrer l'existence et établir $u_n=\ln(1+1/n)+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl((n+k)\ln(1+1/(n+k))-k\ln(1+1/k)\bigr)$.
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2. Montrer $1-\frac1{2n}\leq n\ln(1+1/n)\leq1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}$.
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3. Montrer $\sum_{k\geq1}(1/k-1/(k+n))\sim\ln n$.
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4. Déterminer un équivalent de $u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1328]
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Soient $F=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0,f(1)=1\}$, $g\in F$ croissante, $g'(1)=0$. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=g(nx)e^{1-x}$ si $x\in[0,1/n]$, et $0$ sinon.
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1. Montrer $f_n\in F$.
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2. Poser $I_n=\int_0^1|f_n-f'_n|$. Calculer $\ell=\lim I_n$ et donner un équivalent de $I_n-\ell$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1329]
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Poser $F(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\arctan(x\tan\theta)}{\tan\theta}\,d\theta$.
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1. Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $C^1$.
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2. Calculer $F(x)$.
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3. Après justification de convergence, calculer $\int_0^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,d\theta$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1330]
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Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+x)}\,dt$.
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1. Déterminer son domaine, ses variations et ses limites aux bornes.
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2. Calculer $f(1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1331]
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Poser $f(x)=\int_1^\infty\frac{dt}{t^x(1+t)}$.
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1. Déterminer son domaine.
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2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et donner $f^{(n)}$.
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3. Donner des équivalents en $0$ et en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1332]
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Pour $x\in[0,\pi/2]$, poser $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1+2t\cos x+t^2)}t\,dt$.
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1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$.
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2. Donner une expression simple de $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1333]
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Étudier $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1-x\cos t+t^2)}t\,dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1334]
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Poser $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xe^{it}}{x^2+t^2}\,dt$.
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1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$.
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2. Montrer $f(x)=\int_\R\frac{e^{ixu}}{u^2+1}\,du$ et en déduire sa limite en $0$.
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3. Calculer le laplacien de $G(x,t)=x/(x^2+t^2)$.
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4. Montrer que $f\in C^2(\R_+^*)$ et résout une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
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5. Donner une expression simple de $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1335]
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Soit $f\in C^1([0,1],\R_+^*)$. Pour $x>0$, poser $F(x)=\int_0^1f(t)^x\,dt$ et $G(x)=F(x)^{1/x}$.
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1. Montrer $G\in C^1(\R_+^*)$.
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2. Déterminer les limites de $G$ en $0^+$ et $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1336]
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Soit $f(x,y)=x^2y^2+\frac12(x+y)^2+xy+\frac34$.
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1. Déterminer les points critiques et leur nature.
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2. $f$ admet-elle des extrema globaux ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1337]
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1. Soient $P,Q\in\R[X]$, $Q$ de degré $2$ à racines distinctes $r_1,r_2$. Montrer que $P/Q$ est développable en série entière et préciser le rayon.
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2. Sur $U=(\R\setminus\{-1\})\times]0,\pi/2[$, poser $f(x,t)=\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\tan t\right)$. Étudier ses extrema.
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3. Pour $t$ fixé, montrer que $x\mapsto f(x,t)$ est développable en série entière en $0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1338]
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Sur $\R^2\setminus\Delta$, avec $\Delta=\{(x,x)\}$, poser $f(x,y)=(h(x)-h(y))/(x-y)$.
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1. Si $h\in C^1$, montrer que $f$ se prolonge continûment à $\R^2$.
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2. Si $h\in C^2$, montrer que ce prolongement est $C^1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1339]
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Soit $n\geq1$, $f\in C^1(\R^2,\R)$. Dire que $f$ vérifie $H_n$ si $f(tx,ty)=t^nf(x,y)$ pour tous $x,y$ et $t\geq0$.
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1. Montrer que $H_n$ équivaut à $x\partial_xf+y\partial_yf=nf$.
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2. Si $n\geq2$, montrer $\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$.
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3. Montrer que $f$ ne s'annule qu'en $(0,0)$ ssi $|f(x,y)|\to+\infty$ lorsque $\|(x,y)\|\to+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1340]
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Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ radiale : $f(x)=\varphi(\|x\|)$ pour $x\neq0$.
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1. Montrer $\Delta f(x)=\varphi''(\|x\|)+\frac{n-1}{\|x\|}\varphi'(\|x\|)$.
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2. Déterminer les fonctions radiales harmoniques de classe $C^2$ sur $\R^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1341]
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Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ telle que le spectre de sa hessienne soit inclus dans $[1,+\infty[$ en tout point.
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1. Montrer $y^TH_f(x)y\geq\|y\|^2$.
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2. En déduire $f(x)\geq f(0)+\nabla f(0)^Tx+\|x\|^2/2$.
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3. Montrer que $f$ admet un minimum, puis qu'il est unique.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1342]
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Soit $n\geq3$. Placer successivement $n$ billes, uniformément et indépendamment, dans trois boîtes initialement vides. Soit $N$ le nombre de boîtes vides.
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1. Calculer $\E(N)$.
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2. Donner la loi de $N$.
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3. En déduire le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ dans $\{1,2,3\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1343]
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Une urne contient une boule blanche et une noire. À chaque tirage, remettre la boule tirée en ajoutant deux boules : une de sa couleur et une noire. Soit $T_n$ le nombre de boules blanches après $n$ tirages.
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Préciser $X_n=T_n-T_{n-1}$ et sa loi, calculer $\E(T_n)$ et donner un équivalent en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1344]
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Soient $n=2q+1$, $A_k$ les racines $n$-ièmes de l'unité d'arguments $2k\pi/n$, et $B_k$ l'intersection de $(A_0A_k)$ avec la droite $x=-1$. Si $W_n$ est uniforme sur $\{1,\ldots,n-1\}$, poser $Z_n=2\cot(\pi W_n/n)$.
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1. Montrer que l'ordonnée de $B_k$ vaut $2\cot(k\pi/n)$.
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2. Calculer $\E(Z_n)$.
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3. Donner un équivalent de $\E(|Z_n|)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1345]
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Soit $n\geq2$ et $\mathcal P_n$ l'ensemble des parties de $\{1,\ldots,n\}$.
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1. Si $A$ est uniforme sur $\mathcal P_n$, donner la loi de $|A|$.
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2. Pour $A,B$ uniformes indépendantes, calculer $\P(A\cap B=\varnothing)$.
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3. Pour $n$ parties uniformes indépendantes $A_1,\ldots,A_n$, poser $Z=|\bigcap_iA_i|$. Donner $\E(Z)$ et la loi de $Z$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1346]
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On lance indéfiniment une pièce équilibrée et numérote les séries de lancers identiques consécutifs. Soit $N_n$ le numéro de la série contenant le lancer $n$.
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1. Donner $N_n(\Omega)$, $\P(N_n=1)$ et $\P(N_n=n)$.
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2. Relier $\P(N_n=k)$ aux probabilités $\P(N_{n-1}=i)$.
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3. Donner la fonction génératrice de $N_n$ et son espérance.
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4. Calculer $\V(N_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1347]
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Soit $X\geq0$ à support fini et $k\geq1$. Montrer $\E(X^k)=\int_0^\infty kt^{k-1}\P(X>t)\,dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1348]
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Soit $\mathfrak S_n$ uniforme, $n\geq2$, et $X_i(\sigma)=1$ si $\sigma(i)=i$, $0$ sinon.
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1. Donner la loi de $X_i$. Les $X_i$ sont-elles indépendantes ?
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2. Pour $Y$ le nombre de points fixes, calculer espérance et variance.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1349]
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Soit $f\in C^1([0,1])$ et $B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkf(k/n)x^k(1-x)^{n-k}$.
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1. Montrer que $f$ est lipschitzienne.
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2. Réécrire $B_n(x)-f(x)$ comme somme pondérée des écarts.
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3. Pour $X_i$ i.i.d. Bernoulli($x$), poser $X_n=(\sum X_i)/n$. Donner loi, espérance, variance et montrer $\V(X_n)\leq1/(4n)$.
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4. Montrer $\E(f(X_n))=B_n(x)$.
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5. Pour $\varepsilon>0$, majorer la contribution des indices avec $|x-k/n|\geq\varepsilon/M$ par $2\|f\|_\infty\P(|X_n-x|\geq\varepsilon/M)$.
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6. En déduire $B_n\to f$ uniformément.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1350]
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Soit $X$ à valeurs dans $\N$ et $(X_n)$ i.i.d. de même loi. Pour $n\geq2$, poser $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Dire que $X$ est implosive si $\E(X)=+\infty$ et $\E(Y_n)<+\infty$ pour un certain $n$.
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1. Si $\P(X=k)=1/\sqrt{k+1}-1/\sqrt{k+2}$, montrer que $X$ est implosive et donner son indice d'implosion.
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2. Poser $u_n=a/(n\ln^2n)$ pour $n\geq2$. Choisir $a$ pour que $(u_n)$ soit une loi et montrer que la variable associée n'est pas implosive.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1351]
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Soient $(X_n)$ i.i.d. avec $\P(X_n=1)=p$, $\P(X_n=-1)=q=1-p$, et $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
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1. Étudier $\sum\P(S_n=0)$.
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2. Pour $t>0$, montrer $\P(S_n>a)\leq e^{-ta}(qe^{-t}+pe^t)^n$.
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3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $\sum\P(S_n\in A)$ converge pour toute partie bornée $A\subset\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1352]
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Soit $M_n=(X_{ij})$ avec coefficients i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et $\Delta_n=\det M_n$.
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1. Calculer $\E(\Delta_n)$.
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2. Montrer $\V(\Delta_n)=n!$.
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3. Donner une condition suffisante sur $(a_n)\subset\R_+$ pour que $\P(\Delta_n\geq a_n)\to0$.
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4. Calculer $\E(\operatorname{tr}(M_n^k))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1353]
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1. Pour des variables bornées $(X_1,\ldots,X_n)$, montrer que leur matrice de covariance est dans $S_n^+(\R)$.
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2. Réciproquement, toute matrice de $S_n^+(\R)$ est-elle matrice de covariance d'un n-uplet de variables réelles bornées ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1354]
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Soient $(X_n)$ indépendantes, de même espérance $m$ et variance $\sigma^2$, et $\overline X_n=n^{-1}\sum_{k=1}^nX_k$. Soit $f:\R\to\R$ continue bornée.
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1. Montrer $\P(|f(\overline X_n)-f(m)|>\varepsilon)\to0$.
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2. Montrer $\E(f(\overline X_n))\to f(m)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1355]
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Soit $Y_n\sim\mathcal G(1/n)$.
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1. Pour $x>0$, déterminer si elle existe la limite de $\P(Y_n/n\leq x)$.
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2. Pour $f$ continue bornée sur $\R_+$, déterminer si elle existe la limite de $\E(f(Y_n/n))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1356]
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Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$, $E_k=\bigcup_{i=1}^n(X_i=k)$ et $Y_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.
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1. Montrer $Y_n=\sum_{k\geq0}\mathbf1_{E_k}$.
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2. Pour $m\in\N$, poser $R_m=\sum_{k=m+1}^\infty\mathbf1_{E_k}$. Montrer $\E(R_m)\leq n\P(X_1\geq m+1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1357]
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1. Pour $n\geq2$, montrer qu'une matrice $A\in M_n(\C)$ est de rang $1$ ssi elle s'écrit $A=UV^T$ avec $U,V\in\C^n\setminus\{0\}$.
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2. Pour $(X,Y)$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}^2$, poser $A=(\P(X=i,Y=j))$.
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a. Montrer que $\operatorname{rg}(A)=1$ ssi $X,Y$ sont indépendantes.
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b. Montrer que l'indépendance équivaut à $\E(e^{sX+tY})=\E(e^{sX})\E(e^{tY})$ pour tous $s,t\in\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1358]
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Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $T\in\N$ indépendante de chaque famille finie $(X_1,\ldots,X_n)$; poser $S_T=\sum_{i=1}^T X_i$. Supposer $X_1,T$ intégrables.
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1. Exprimer $G_{X_1+\cdots+X_n}$ en fonction de $G_{X_1}$.
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2. Montrer $G_{S_T}(s)=G_T(G_{X_1}(s))$ pour $s\in[0,1]$.
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3. Montrer $\E(S_T)=\E(X_1)\E(T)$.
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4. Application : des poules pondent un nombre d'œufs de loi de Poisson ; chaque œuf éclot avec probabilité $p$.
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#+end_exercice
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* Autres Écoles MP-MPI 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1359]
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[IMT] $f:\N\to\N$, $f(m+1)>f(f(m))$. Montrer par récurrence $m\geq p\Rightarrow f(m)\geq p$, puis $f(m)\geq m$, que $f$ est croissante et conclure $f=\operatorname{id}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1360]
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[IMT] Factoriser $X^n-1$ et $1+X+\cdots+X^{n-1}$ dans $\C[X]$, puis calculer $\sum_{k=1}^{n-1}\sin(2k\pi/n)$ et $\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1361]
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[IMT] Pour $A,B\in M_n(\R)$, calculer la trace de $\varphi:M\mapsto AMB$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1362]
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[IMT] Montrer que $A^2=A$ ssi $\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{rg}(I_n-A)\leq\operatorname{tr}(I_n-A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1363]
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[IMT] Soient $P_1,P_2$ deux plans distincts de $\R^3$ et $S$ l'espace des endomorphismes les laissant stables. Montrer que $S$ est un sous-espace, étudier si les plans sont supplémentaires et montrer qu'ils ont un vecteur propre commun à tout $u\in S$. Trouver une base où les matrices de $S$ sont de la forme $\begin{pmatrix}a&0&0\\b&c&d\\0&0&e\end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1364]
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Diagonaliser la matrice $A$ de taille $4$ dont tous les coefficients valent $1$, ainsi que $B$ à diagonale $16$ et hors-diagonale $1$. Déterminer $\pi_B$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1365]
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[CCINP] Pour $a,b,c,d\in\C$, $M=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}$. Calculer $MM^T$, en déduire $\det M$, son rang selon $a^2+b^2+c^2+d^2$, puis son spectre et discuter la diagonalisabilité si $b^2+c^2+d^2=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1366]
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[CCINP] Soient $a,b\in\R$, $A$ la matrice de taille $n$ à diagonale $b$ et hors-diagonale $a$, et $J$ la matrice de tous les $1$. Montrer que $A,J$ sont diagonalisables, déterminer les éléments propres de $J$, donner une condition d'inversibilité de $A$ et exprimer $A^{-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1367]
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[IMT] Soient $A\in M_{3,2}(\R)$, $B\in M_{2,3}(\R)$. Montrer $\operatorname{rg}(AB)\leq2$, discuter l'inversibilité. Si $AB=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$, déterminer les $x$ possibles et discuter la diagonalisabilité de $BA$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1368]
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[CCINP] Pour $n\geq2$, $f(P)=(X^2+X)P(1)+(X^2-X)P'(1)$ sur $\R_n[X]$. Déterminer noyau, image, valeurs propres, espaces propres et diagonalisabilité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1369]
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[IMT] Pour des endomorphismes $u,v$ d'un espace de dimension finie, montrer que toute valeur propre de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1370]
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[IMT] Si $A^2+A+I_n=0$ pour $A\in M_n(\R)$, montrer $n$ pair et calculer $\det A,\operatorname{tr}A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1371]
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[IMT] Soit $A\in M_n(\R)$ avec $n$ valeurs propres distinctes. Si $A$ est diagonale, montrer $\R[A]$ égale les matrices diagonales. En général, construire $M_i$ tels que $A^p=\sum_i\lambda_i^pM_i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1372]
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[IMT] Soit $M$ à diagonale nulle et coefficients hors diagonale égaux à $1$. Déterminer son spectre puis montrer qu'aucune forme linéaire $\varphi$ ne donne une valeur propre de $A$ pour toute matrice $A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1373]
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[IMT] Pour $f\in\mathcal L(E)$, $\dim E=n$, déterminer $\dim\{g:f\circ g=g\circ f=0\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1374]
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[IMT] Si $\operatorname{tr}(A)\neq0$, montrer que $M\mapsto\operatorname{tr}(M)A-\operatorname{tr}(A)M$ est diagonalisable et déterminer ses espaces propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1375]
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[IMT] Soit $M\in M_2(\R)$, $\det M=0$, $M^T=M^2$. Montrer $M^4=M$, que $M$ est semblable à $\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix}$, $b\in\{0,1\}$, puis discuter $b=0$, l'idempotence, diagonalisabilité et trigonalisabilité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1376]
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[CCINP] Pour $E$ réel de dimension $4$ et $\pi_f=(X^2+1)(X^2+4)$, décomposer les noyaux, trouver $x,y$ tels que $f^2(x)=-x$, $f^2(y)=-4y$, montrer $(x,f(x),y,f(y))$ base et écrire la matrice.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1377]
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[CCINP] Soit $A$ stochastique. Montrer $1\in\Sp(A)$ et $|\lambda|\leq1$. Si la diagonale est strictement positive, montrer $|\lambda-w|\leq1-w$ pour un $w\in]0,1]$, puis situer le spectre dans un disque fermé de rayon $<1$ tangent au cercle unité en $1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1378]
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[IMT] Sur $C^1([0,1])$, $\langle f,g\rangle=\int_0^1xfg$. Montrer que c'est un produit scalaire et calculer le projeté de $1$ sur $\operatorname{Vect}(x,x^2)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1379]
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[CCINP] Sur $\R_n[X]$, $\langle P,Q\rangle=\sum_{i=0}^nP(a_i)Q(a_i)$ pour $a_i$ distincts. Montrer que c'est un produit scalaire. Pour $H=\{P:\sum\alpha_iP(a_i)=0\}$, $\alpha\neq0$, donner $\dim H$ et calculer $d(Q,H)$ pour le générateur unitaire $Q$ de $H^\perp$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1380]
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[CCINP] Soient $u$ isométrique et $v=\operatorname{id}-u$. Montrer $\operatorname{Im}v\perp\Ker v$. Pour $f_n(x)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k(x)$, établir la décomposition puis la convergence simple vers le projecteur orthogonal sur $\Ker v$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1381]
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[CCINP] Montrer successivement que toute matrice positive admet une racine carrée positive, que $M^TM$ est positive, que toute matrice positive est de la forme $M^TM$, et que $A$ est diagonalisable réelle ssi $A^T=SAS^{-1}$ pour un $S$ symétrique définie positive.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1382]
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[IMT] Si $f$ est autoadjoint sur un espace euclidien, montrer que $\langle f(x),x\rangle=0$ pour tout $x$ entraîne $f=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour $\|f(x)\|^2=\langle x,f(x)\rangle$ pour tout $x$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1383]
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[IMT] Si $f\in\mathcal L(E,F)$ est continue entre espaces normés, montrer $\Ker f$ fermé. La réciproque est-elle vraie ? Montrer qu'elle l'est pour $F=\R$ ou $\C$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1384]
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[IMT] Sur $C^1([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser $A=\{f:f(0)=0,\int_0^1f\geq1\}$. Montrer que $A$ est fermé non vide, que $\|f\|_\infty>1$ sur $A$, et calculer $d(0,A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1385]
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[IMT] Pour $n\notin\{0,1\}$, montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $x_n+e^{x_n}=n$, avec $\frac12\ln n<x_n<\ln n$. Donner un équivalent et un développement à deux termes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1386]
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[IMT] Étudier les séries de termes généraux $1/(n\ln n)^2$, $(\ln n/n)^2$, et la queue alternée $\sum_{k>n}(-1)^k/(k\ln k)^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1387]
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[CCINP] Soit $u_0>0$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Étudier $(u_n)$ et les séries $\sum(-1)^nu_n,\sum u_n^2,\sum u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1388]
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[IMT] Pour $x>0$, poser $I(x)=\int_x^{7x}(1-e^{-t})/t^2\,dt$. Déterminer les limites en $0^+$ et $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1389]
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[IMT] Pour $f(t)=\ln(t)/(1-t)$, montrer que $\int_0^1f$ et $\int_0^11/f$ convergent puis que leur produit est au moins $1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1390]
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[IMT] Montrer que $\int_0^\infty\cos(t^2)\,dt$ existe et est strictement positive.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1391]
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[CCINP] Poser $f(x)=\int_x^1e^t/t\,dt$.
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1. Montrer $f(x)\geq-\ln x$ et sa limite en $0^+$.
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2. Pour tout $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique $u_n\in]0,1]$ tel que $f(u_n)=n$ et déterminer sa limite.
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3. Montrer $I=\int_0^1(e^t-1)/t\,dt$ converge et $u_n\sim e^{I-n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1392]
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[CCINP] Pour $|x|<1$, $f_x(\theta)=\sum_{n\geq1}x^n\cos(n\theta)/n$. Étudier convergence et régularité, calculer $f_x(0),f_x(\pi)$, montrer $f'_x=-x\sin\theta/(1-2x\cos\theta+x^2)$, en déduire $f_x$ et calculer $\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2)d\theta$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1393]
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[CCINP] Poser $f_n(x)=\cos^n(x)\sin(nx)/n$. Montrer $\sum f_n$ converge simplement, que sa somme est $C^1$ sur $\R\setminus\pi\Z$ et de dérivée $-1$, puis l'expliciter.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1394]
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[IMT] Pour $f(x)=\sum_{n\geq0}n^3x^n/n!$, déterminer le rayon et exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1395]
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Soit $a_1=a_0>0$, $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}/n$.
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1. Montrer que $(a_n)$ croît, que $a_n=a_1+2\sum_{k=2}^na_{k-2}/k$, et qu'elle diverge; établir $a_n\leq n^2a_1$.
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2. Pour $f(x)=\sum a_nx^n$, trouver le rayon et vérifier $(1-x)y'=(1+2x)y$.
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3. Résoudre l'équation et en déduire $a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1396]
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[IMT] Poser $a_n=\int_0^\infty(\cosh t)^{-n}dt$. Montrer l'existence, étudier $(a_n)$, la série alternée $\sum(-1)^na_n$ et le rayon de $\sum a_nx^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1397]
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[IMT] Poser $a_n=\int_0^1t^n/\sqrt{1-t^3}\,dt$. Montrer l'existence, calculer la limite et le rayon de $\sum a_nx^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1398]
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[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty(1+x^3)^{-n}dx$. Montrer l'existence et la limite, puis calculer la somme de $\sum_{k\geq1}(-1)^kI_k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1399]
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[IMT] Poser $\psi(x)=\int_0^\infty\sin(xt)e^{-t}/t\,dt$. Montrer $\int_0^\infty\cos(xt)e^{-t}dt=1/(1+x^2)$, puis que $\psi$ est $C^1$ et calculer $\psi',\psi$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1400]
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[CCINP] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}e^{ixt}/\sqrt t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f(0)$, établir une équation différentielle et en déduire une expression.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1401]
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[IMT] Poser $f(x)=e^{-x^2/2}\int_0^xe^{-t^2/2}dt$. Montrer $C^\infty$, trouver une équation différentielle et le développement en série entière.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1402]
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[IMT] Soit $f$ continue et $f(x)=1-\int_0^x(x+t)f(x-t)dt$. Poser $F(x)=\int_0^xf(t)dt$. Montrer $f\in C^1$, $F''+xF'+2F=0$, $F(0)=0,F'(0)=1$, puis expliciter $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1403]
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[IMT] Soient $q\leq0$ continue et $y''+qy=0$. Montrer $y^2$ convexe, qu'une solution ayant deux zéros distincts est nulle, que toute solution bornée est nulle et, si $y(0)=y_0>0,y'(0)=0$, que $y\geq y_0$ et est convexe.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1404]
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[IMT] Résoudre sur $\R_+^*$ $x^2y''+y=0$, d'abord avec $y=x^\alpha$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1405]
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[CCINP] Soit $y\in C^3(\R)$ vérifiant $(E):y^{(3)}-5y''+7y'-3y=0$.
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1. Montrer que $y$ vérifie $(E)$ si et seulement si $Y'=AY$, où $Y=(y,y',y'')^T$ et $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$.
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2. Pour $M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$, trouver $P\in GL_3(\R)$ tel que $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$.
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3. Poser $Z=P^{-1}Y$, établir l'équation vérifiée par $Z$, la résoudre puis en déduire les solutions de $(E)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1406]
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[CCINP] Pour $A(-1,1),B(0,1),C(0,-1),D(-1,-1)$ et $f(x,y)=-2x^3+x^2-y^2+5$, montrer que $f$ est bornée sur le rectangle et déterminer ses extrema.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1407]
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[IMT] Un lion chasse un jour sur deux : après avoir mangé, il ne chasse pas le lendemain ; sinon il chasse et mange avec probabilité $1/2$. La veille du jour 1 il n'a pas mangé.
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1. Probabilité qu'il ne mange pas durant les $n$ premiers jours.
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2. Probabilité de son premier repas le jour $n$.
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3. Si $p_i$ est la probabilité qu'il mange le jour $i$, établir une récurrence et l'expliciter.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1408]
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[CCINP] Marche aléatoire sur $\Z$ depuis $0$, vers la gauche avec probabilité $p$, vers la droite avec $q=1-p$. Noter $r_n$ la probabilité d'être en $0$ au temps $n$, et $s_n$ celle du premier retour à $0$ au temps $n$.
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1. Calculer $r_n$.
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2. Pour $F(x)=\sum_{n\geq0}r_nx^n$, $G(x)=\sum_{n\geq1}s_nx^n$, étudier les domaines et continuité.
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3. Montrer $F(t)G(t)=F(t)-1$ sur $[0,1[$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1409]
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[CCINP] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. À chaque tirage, choisir une urne au hasard, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ si la boule était blanche, $U_2$ sinon. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir $p_{n+1}=-6p_n/35+4/7$ et résoudre.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1410]
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[IMT] Soient $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $Y$ indépendantes avec $\P(Y=n)=p(1-p)^n$.
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1. Calculer $\E(Y),\V(Y),\P(X\neq0,Y\neq0)$.
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2. Pour $M_{a,b}=\begin{pmatrix}-a&a&0\\2a&0&0\\0&0&b\end{pmatrix}$, déterminer le spectre.
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3. Calculer $\P(M_{X,Y}$ inversible).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1411]
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[IMT] Soient $X,Y\sim\mathcal G(p)$ et $Z\sim\mathcal P(\lambda)$ indépendantes. Soit $M_n\in M_n(\R)$ la matrice symétrique dont les coefficients $(1,1)$ et $(n,n)$ valent $X$, les coefficients $(1,n)$ et $(n,1)$ valent $Y$, les autres coefficients diagonaux valent $Z$, et les autres coefficients sont nuls. Calculer $\P(M_n\in S_n^{++}(\R))$ puis $\E(M_n)$.
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#+end_exercice
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* Autres Écoles PSI 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1412]
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[Navale] Pour $n\geq2$, montrer qu'un hyperplan de $M_n(\C)$ ne contenant aucune matrice inversible contient toutes les nilpotentes, puis en déduire que tout hyperplan contient une matrice inversible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1413]
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[CCINP] Soient $p,q\in\mathcal L(E)$ avec $p+q=\operatorname{id}$ et $\operatorname{rg}(p)+\operatorname{rg}(q)\leq\dim E$. Rappeler la définition d'un projecteur et montrer que $p,q$ sont des projecteurs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1414]
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[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $\varphi(X)=X+\operatorname{tr}(X)A$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme, bijectif si $\operatorname{tr}(A)\neq-1$, puis déterminer rang et image lorsque $\operatorname{tr}(A)=-1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1415]
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[ENSEA] Pour $T=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&0&1&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}$, déterminer rang, valeurs propres sans calculer $\chi_T$, et diagonalisabilité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1416]
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[IMT] Sur $E=\C^3$, définir $f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3$, $f_a(e_2)=0$.
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1. Déterminer image et noyau, puis sa matrice.
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2. Calculer $A^2$ et en déduire des propriétés de $f_a$.
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3. $A$ est-elle inversible ou diagonalisable ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1417]
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[ENSEA] Pour $a\neq b$, décomposer $\frac{nx+\lambda}{(x-a)(x-b)}$ en éléments simples. Montrer ensuite que $\Phi(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et déterminer ses éléments propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1418]
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[ENSEA] Poser $\Phi(P)=P(X+1)$ sur $\R_n[X]$. Vérifier que c'est un endomorphisme, étudier sa diagonalisabilité et ses éléments propres, donner sa matrice, calculer ses puissances et discuter son inversibilité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1419]
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[CCINP] Soit $u\in\mathcal L(\R^3)$ avec $u^3+u=0$.
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1. Montrer $\operatorname{Im}(u^2+\operatorname{id})\subset\Ker u$ et que $\Ker(u^2+\operatorname{id})$ et $\Ker u$ sont en somme directe.
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2. Montrer que $0$ est sa seule valeur propre réelle.
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3. En déduire que les deux noyaux sont non nuls et qu'il existe une base où $u$ a la matrice $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1420]
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[IMT] Si $A\in M_n(\R)$ est diagonalisable, montrer $(\operatorname{tr}A)^2\leq\operatorname{rg}(A)\operatorname{tr}(A^2)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1421]
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[CCINP] Si $f^3+f=0$, montrer $\Ker f$ et $\operatorname{Im}f$ supplémentaires et, en dimension finie, que $\operatorname{rg}f$ est pair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1422]
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[IMT] Soient $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ distincts.
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1. Construire les polynômes de Lagrange $L_i$ avec $L_i(\lambda_j)=\delta_{ij}$.
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2. Pour $A\in\C[X]$, $B=\prod_{k=0}^n(X-\lambda_k)$, montrer que $\Phi(P)$ égale le reste de $AP$ modulo $B$ définit un endomorphisme de $\C_n[X]$.
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3. Montrer que les $L_i$ forment une base propre et donner les valeurs propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1423]
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[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $B=\begin{pmatrix}0&A\\A&I_n\end{pmatrix}$.
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1. Exprimer $\det B$ en fonction de $\det A$.
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2. Déterminer $\chi_B$ et relier les spectres.
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3. Rappeler deux critères de diagonalisabilité et montrer $B$ diagonalisable ssi $A$ l'est.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1424]
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[IMT] Pour $u,v\in\mathcal L(E)$, montrer qu'une valeur propre non nulle de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$. En dimension finie, montrer l'égalité des spectres. Donner un contre-exemple sur $\R[X]$ avec $u(P)=XP$, $v(P)=P'$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1425]
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[IMT] Déterminer les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $\operatorname{tr}(M)=3$ et $M^5=M^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1426]
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[CCINP] Soit $u$ en dimension $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes, et $Z(u)=\{v:uv=vu\}$.
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1. Montrer que $Z(u)$ est un espace vectoriel et que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v\in Z(u)$.
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2. Déterminer leurs dimensions et montrer qu'une base propre de $u$ existe.
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3. Montrer que $v\in Z(u)$ ssi sa matrice dans cette base est diagonale, déterminer $\dim Z(u)$ et en donner une base parmi $\operatorname{id},u,\ldots,u^{n-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1427]
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[CCINP] Pour $A=B^2$.
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1. Combien $I_n$ a-t-elle de racines carrées diagonales réelles ?
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2. Montrer que $-I_{2n+1}$ a des racines carrées complexes mais aucune réelle.
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3. La matrice nulle a-t-elle des racines carrées non nulles ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1428]
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[CCINP] Déterminer les $M\in M_n(\R)$ vérifiant $M^3=4M$ et $\operatorname{tr}(M)=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1429]
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[IMT] Dans une base orthonormée directe d'un espace euclidien de dimension $3$, déterminer la matrice de la rotation d'angle $2\pi/3$ autour de l'axe dirigé par $(e_1-e_2+e_3)/\sqrt3$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1430]
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[CCINP] Soient $(e_1,\ldots,e_n)$ unitaires dans un espace préhilbertien réel, avec $\|x\|^2=\sum_i\langle x,e_i\rangle^2$ pour tout $x$.
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1. Montrer que la famille est orthonormale.
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2. Montrer que l'espace est de dimension $n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1431]
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[CCINP] Si $u$ est orthogonal sur un espace euclidien et $v=\operatorname{id}-u$, montrer $\Ker v=(\operatorname{Im}v)^\perp$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1432]
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[IMT] Pour $M\in GL_n(\R)$, poser $A=M^TM$.
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1. Montrer $A\in S_n^{++}(\R)$ et qu'il existe $S\in S_n^{++}$ tel que $A=S^2$.
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2. En déduire une décomposition $M=OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique définie positive.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1433]
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[IMT] Soit $F_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$. Montrer $\inf_{P\in F_n}\int_0^1|P(t)|dt>0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1434]
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[IMT] Pour $n\geq1$, $u_n=\frac{1\cdot3\cdots(2n+1)}{2\cdot4\cdots2n}$. Montrer $u_n\to0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1435]
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[IMT] Pour $n\geq2$, $f_n(x)=nx^3+n^2x-2$.
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1. Montrer qu'il existe un unique $u_n\in(0,1)$ tel que $f_n(u_n)=0$.
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2. Étudier la monotonie et la limite de $u_n$.
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3. Donner un équivalent de $u_n-\ell$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1436]
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[IMT] Soit $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=(u_n+u_n^2)/2$. Étudier $(u_n)$ et la série $\sum u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1437]
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[IMT] Pour $u_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\sin(nt)\,dt$.
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1. Établir la convergence de $(u_n)$.
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2. Montrer $u_{n+1}-u_n=1/(n+1)-u_{n+1}$.
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3. Déterminer la nature de $\sum u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1438]
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[ENSEA] Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que $f(x)-\int_0^1f(t)dt=1$ pour tout $x$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1439]
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[CCINP] Sur $E=C^0([0,1])$, poser $\Phi(f)(0)=f(0)$ et $\Phi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x>0$.
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1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme.
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2. Montrer que $0$ n'est pas valeur propre et déterminer l'espace propre associé à $1$.
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3. Déterminer toutes les valeurs propres et leurs espaces propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1440]
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[CCINP] Poser $f_n(x)=x^2/(x^2+n^2+\sin x)$.
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1. Montrer la convergence simple sur $\R$ et donner la limite.
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2. Étudier la convergence uniforme sur $[-a,a]$, puis sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1441]
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[CCINP] Poser $f(t)=\sum_{n\geq1}\frac{t^n}{1+t^n}$. Déterminer son domaine, sa continuité et un équivalent lorsque $t\to1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1442]
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[Navale] Poser $u_n(x)=e^{-xn}$.
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1. Étudier la convergence de la série en fonction de $x$.
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2. Montrer que sa somme est continue sur $\R_+^*$.
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3. Déterminer sa limite à $+\infty$ et un équivalent en $0^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1443]
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[CCINP] Si $\varphi\in C^0(\R)$ et $|\varphi(x)|\leq C/(1+x^2)$, poser $f(x)=\varphi(x)+\sum_{n\geq1}(\varphi(x+n)+\varphi(x-n))$.
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1. Montrer que $f$ est définie, continue et $1$-périodique.
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2. Pour $g$ continue $1$-périodique, montrer $\varphi g$ intégrable et $\int_\R\varphi g=\int_0^1fg$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1444]
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[IMT]
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1. Montrer que la convergence uniforme de $\sum g_n$ implique $g_n\to0$ uniformément.
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2. Pour $f_n(x)=nx^2e^{-\sqrt{nx}}$ sur $\R_+$, déterminer la limite simple et étudier la convergence uniforme de $(f_n)$, puis de $\sum f_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1445]
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[CCINP]
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1. Décomposer $\frac1{1+x^3}=\frac a{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$ et en déduire une primitive sur $]-1,1[$.
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2. Déterminer le rayon de $\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{3n+1}/(3n+1)$, sa somme, puis $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(3n+1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1446]
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[ENSEA] Poser $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\,dx$.
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1. Déterminer rayon et somme de $\sum_{n\geq0}x^{n+1}/(n+1)$.
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2. Montrer $0\leq I_n\leq\pi/4$ et en déduire une minoration du rayon de $\sum I_nx^n$.
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3. Montrer $I_n+I_{n+2}=1/(n+1)$ et en déduire le rayon.
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4. Montrer $\sum I_n$ diverge et $\sum(-1)^nI_n$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1447]
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[CCINP] Poser $I_{k,n}=\int_0^\infty t^ke^{-nt}dt$ et $a_n=n!/n^{n+1}$.
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1. Calculer $\lim(1-1/n)^n$ et $I_{k,n}$.
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2. Déterminer le rayon de $\sum a_nx^n$ et étudier $\sum a_ne^n,\sum a_n(-e)^n$.
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3. Pour $x$ dans l'intervalle de convergence, montrer $\sum_{n\geq1}a_nx^n=\int_0^\infty\frac{xt}{e^t-xt}\,dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1448]
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[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{e^{nx}}{(1+2e^x)^{n+1}}dx$.
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1. Justifier la convergence.
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2. Montrer pour $n\geq2$ que $I_n=\dfrac{1}{2n3^n}+\dfrac{n-1}{2n}I_{n-1}$.
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3. Étudier la convergence et la limite de $(I_n)$.
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4. Exprimer $n2^nI_n$, puis déterminer rayon et somme de $\sum I_nx^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1449]
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[CCINP] Poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt$, $S(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$.
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1. Rappeler le rayon de convergence et le déterminer.
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2. Trouver $a,b,c$ tels que $\frac1{(1+t^2)(1-xt)}=\frac{ax+b}{1+t^2}+\frac c{1-xt}$.
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3. Calculer $S(x)$ pour $|x|<R$, puis montrer la continuité en $-1$ et calculer $S(-1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1450]
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[ENSEA] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin(xt)}t e^{-t}dt$, montrer que $F$ est définie et $C^1$, calculer $F'$ et en déduire $F$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1451]
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[IMT] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sinh(t)/t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f'$ et sa limite en $+\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1452]
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[IMT] Pour $f(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$, déterminer son domaine, montrer la continuité et, en considérant $xf(x)$, donner des équivalents aux bords.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1453]
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[CCINP] Poser $f(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t}dt$.
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1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R_+$ et $f(x)=xf(x-1)$ pour $x\geq1$.
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2. Poser $V_n=\int_n^{n+1}\ln(f(u))du$, $\Phi(x)=\int_x^{x+1}\ln(f(u))du$. Montrer $\Phi'(x)=\ln x$, déterminer sa limite et conclure sur la série $\sum(-1)^nV_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1454]
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[CCINP] Pour $g(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sin^2(t)/t\,dt$, $x>0$ :
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1. Montrer l'existence et calculer la limite en $+\infty$.
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2. Montrer $g\in C^1$, calculer $g'$ puis $g$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1455]
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[IMT] Justifier l'existence puis calculer $\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}dt$. Indication : $\sum_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1456]
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[CCINP] Soit $I=\int_0^\infty\sin(t)/\sinh(t)\,dt$.
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1. Établir la convergence et développer $\sin t/\sinh t$ en série exponentielle.
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2. En déduire $I=\sum_{n\geq0}2/((2n+1)^2+1)$ et montrer $\pi/4\leq I\leq\pi/4+1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1457]
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[CCINP] Justifier l'existence de $I=\int_0^\infty x^2/(e^x-1)\,dx$ et montrer $I=\sum_{n\geq1}2/n^3$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1458]
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[CCINP] Pour $I=\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$, montrer que l'intégrale converge puis que $I=\sum_{n\geq0}1/(2n+1)^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1459]
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[IMT]
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1. Selon $\lambda\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $xe^{-x}=\lambda$.
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2. Pour $K=\{(x,y)\in\R_+^2:x+y\leq1\}$ et $f(x,y)=xy(1-x-y)$, montrer sans calcul que $f$ atteint un maximum et le déterminer.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1460]
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[IMT] Soient $n\geq3$, $h=1/n$, $D_1=(d_{ij})$ définie par $d_{11}=1$, $d_{k,k} = 1$ et $d_{k,k-1}=-1$ pour $2\leq k\leq n$, les autres coefficients étant nuls, et $D_2$ la matrice symétrique tridiagonale de diagonale $(2,\ldots,2,1)$ et de coefficients sous- et sur-diagonaux $-1$. Sur $\R^n$, poser $\langle X,Y\rangle_h=h\sum_{k=1}^n x_ky_k$ et $f(X)=\|D_1X\|_h^2-\langle X,V\rangle_h$.
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1. Calculer $D_1^TD_1$.
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2. Montrer $f\in C^1$ et calculer son gradient.
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3. Montrer $D_2$ inversible, déterminer l'unique point critique $X_c$ en fonction de $D_2,V$, puis exprimer $f(X_c)$ en fonction de $\langle X_c,V\rangle_h$.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1461]
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[CCINP] Tirages indépendants avec remise, probabilité $p$ d'obtenir une verte.
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1. Pour $X_1$ rang de la première verte, donner loi et espérance.
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2. Pour $X_2$ rang de la deuxième verte, donner loi et espérance.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1462]
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[CCINP] Deux dés donnent $X_1,X_2$, fonctions génératrices $G_1,G_2$. Poser $P(X)=\sum_{k=0}^{10}X^k$.
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1. Expliciter $G_1$.
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2. Montrer que si $X_1+X_2$ était uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$, alors $G_1(t)G_2(t)=t^2P(t)/12$.
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3. Trouver les racines de $P$ et conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1463]
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[CCINP] La probabilité qu'une famille ait $n\geq1$ enfants vaut $\alpha\lambda^n$, avec $0<\lambda<1$, $(1+\alpha)\lambda<1$. Chaque enfant est garçon avec probabilité $q=1-p$.
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1. Calculer la probabilité qu'une famille n'ait aucun enfant.
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2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n=x^k/(1-x)^{k+1}$.
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3. Calculer la probabilité d'avoir exactement $k$ garçons puis celle d'en avoir au moins deux sachant qu'il y en a au moins un.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1464]
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[CCINP] Pour $(X,Y)\in\N^2$, $\P(X=k,Y=n)=\binom nkp(1-p)^{n/2-n}$ si $k\leq n$, et $0$ sinon.
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1. Déterminer la loi de $Y$.
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2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^{n-k}=(1-x)^{-k-1}$.
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3. Déterminer la loi de $X$ et étudier l'indépendance.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1465]
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[IMT] Si $X_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ :
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1. Pour $\lambda$ fixé, déterminer le $n$ maximisant $\P(X=n)$.
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2. Pour $n$ fixé, déterminer le $\lambda$ maximisant $\P(X=n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1466]
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[ENSEA] Pour $p\in]0,1[$, $\P(X=n)=p^2n(1-p)^{n-1}$ pour $n\geq1$.
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1. Vérifier qu'il s'agit d'une loi.
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2. Calculer $\E(X-1)$ et $\E((X-2)(X-1))$.
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3. En déduire espérance et variance.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1467]
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[CCINP] Soient $X_1,X_2$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,1/2)$.
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1. En développant $(1+X)^{2n}$ de deux façons, montrer $\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n$.
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2. En déduire la probabilité que $\begin{pmatrix}X_1&1\\0&X_2\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1468]
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[CCINP] Pour $M=\begin{pmatrix}0&-a\\a&2b\end{pmatrix}$, montrer $\chi_M=(X-b)^2+a^2-b^2$ et caractériser sa diagonalisabilité réelle.
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Pour $X\sim\mathcal G(p)$, calculer $\P(X\geq n)$. Si $X,Y$ géométriques indépendantes de paramètres $p_1,p_2$, déterminer la probabilité que $\begin{pmatrix}0&-X\\X&2Y\end{pmatrix}$ soit diagonalisable, puis calculer $\P(X=Y)$.
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#+end_exercice
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* Autres Écoles PC 2026
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** Algèbre
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1469]
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[CCINP] Si $E$ est réel et $f,g\in\mathcal L(E)$ avec $E=\Ker f+\operatorname{Im}g$, montrer $\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}(f\circ g)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1470]
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[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $E_A=\{M:AMA=0\}$. Montrer que $E_A$ est un espace vectoriel et préciser sa dimension.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1471]
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[CCINP] Soit $A\in M_3(\R)$ non nulle telle que $A^3+9A=0$.
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1. Montrer $A$ diagonalisable sur $\C$ et $\Sp(A)\subset\{0,\pm3i\}$, puis que $\det A=0$.
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2. Par conjugaison, établir $\Sp(A)=\{0,\pm3i\}$.
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3. Construire une base réelle où $A=P\begin{pmatrix}0&3&0\\-3&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}P^{-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1472]
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[IMT] Pour $A$ à diagonale $3$ et coefficients hors diagonale $1$, déterminer les éléments propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1473]
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[IMT] Pour $A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}$, discuter la diagonalisabilité et déterminer ses éléments propres.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1474]
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[CCINP] Poser $M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}$.
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1. Écrire $M(a,b,c)$ avec $J=M(0,1,0)$ et $J^2$; montrer que ces matrices forment une algèbre stable par produit.
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2. Diagonaliser $J$ sur $\C$ et en déduire les valeurs propres de $M(a,b,c)$.
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3. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $b=c$.
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4. Déterminer les triplets donnant un projecteur autre que $0,I_3$ et préciser noyau et image.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1475]
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[IMT] Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ complexes et $fg-gf=\beta f$.
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1. Montrer $fg^n-g^nf=n\beta g^n$.
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2. En déduire que $g^n=0$ à partir d'un certain rang.
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3. Montrer que $f,g$ ont un vecteur propre commun.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1476]
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[CCINP] Soient $\varphi:E\to\C$ non nulle, $a\in\Ker\varphi\setminus\{0\}$ et $t(x)=x-\varphi(x)a$.
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1. Rappeler qu'une symétrie est diagonalisable, avec quelles valeurs propres.
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2. Montrer qu'une forme linéaire non nulle est surjective; construire $b\neq0$ avec $t(b)=b$.
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3. Déterminer $\operatorname{Im}(t-\operatorname{id})$, $\Ker(t-\operatorname{id})$, le spectre et la diagonalisabilité de $t$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1477]
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[CCINP] Soit $M=(m_{jk})\in M_n(\C)$ définie par $m_{jj}=0$, $m_{jk}=i$ si $j<k$ et $m_{jk}=-i$ si $j>k$, et soit $B$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Pour $\lambda\in\C$, poser $A(\lambda)=\lambda I_n-M$ et $P(z)=\det(A(\lambda)+zB)$.
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1. Pour $\alpha=e^{i\pi/n}$, calculer $\alpha^n$ et résoudre $z^n=-1$.
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2. Montrer $(X-i,X+i)$ est une base de $\C_1[X]$.
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3. Trouver $a,b$ dépendant de $\lambda$ tels que $P(z)=a(z-i)+b(z+i)$.
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4. $M$ est-elle diagonalisable ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1478]
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[CCINP] Sur $E=C^0(\R)$, poser $\varphi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x\neq0$ et $\varphi(f)(0)=f(0)$.
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1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et envoie $E$ dans $E$.
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2. Étudier la stabilité de $\R[X]$ et $\R_n[X]$, l'injectivité et la surjectivité des applications induites.
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3. Résoudre $\lambda xy'+(1-\lambda)y=0$ avec continuité en $0$, selon $\lambda\neq0$.
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4. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$ et des restrictions.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1479]
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[CCINP] Si $f$ est de rang $1$ sur un espace complexe de dimension $n\geq2$, montrer $\chi_f(X)=X^{n-1}(X-\operatorname{tr}f)$ et que $f$ est diagonalisable ssi $\operatorname{tr}f\neq0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1480]
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[CCINP] Soit $E$ réel de dimension impaire et $f+f^3=0$. Préciser le spectre, discuter l'automorphisme, et montrer $\operatorname{Im}f$ et $\Ker f$ supplémentaires.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1481]
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[CCINP] Soient $A\in M_{20,5}(\R)$ et $B=A^TA$. Montrer $B$ diagonalisable sur $\R$, que $0$ est valeur propre, et donner une borne sur la dimension du noyau.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1482]
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[CCINP]
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1. Pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, montrer que l'endomorphisme associé est autoadjoint, trouver ses valeurs propres et une base propre orthonormée.
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2. Pour $u$ autoadjoint de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, montrer $\langle u(x),x\rangle=\sum\lambda_kx_k^2$ dans une base propre orthonormée et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1483]
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[CCINP] Une suite $(u_n)$ est adaptée à $f$ si $u_nf(nx)=\sum_{j=0}^{n-1}f(x+j/n)$.
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1. Montrer que les fonctions $1$ et $x-1/2$ appartiennent à $E$ avec suites adaptées respectives $u_n=n$ et $u_n=1$.
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2. Si $f\neq0$ admet une suite adaptée, montrer son unicité. Si $f\in C^p$ et $f^{(p)}\neq0$, montrer que les dérivées $f^{(k)}$ sont dans $E$ et relier les suites adaptées.
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3. Définir les polynômes $B_0=1$, $B'_p=pB_{p-1}$, $\int_0^1B_p=0$. Calculer $B_1,B_2$, leurs degrés et montrer $B_p\in E$ avec sa suite adaptée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1484]
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[IMT] Soit $E=\{f\in C^0(\R): f(2x)=1+\int_0^x(x-t)f(2t)dt\}$.
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1. Montrer que $f\in E$ implique $f$ dérivable et exprimer $f'$.
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2. En déduire une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
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3. Déterminer $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1485]
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[CCINP] Poser $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(x+n)$.
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1. Déterminer son domaine et montrer la continuité sur $\R_+$.
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2. Montrer $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(x+n)\sim1/x$ quand $x\to0^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1486]
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[CCINP] Pour $f_n(x)=x/[n(1+n^2x^2)]$ :
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1. Dresser son tableau de variations.
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2. Pour $f=\sum_{n\geq1}f_n$, déterminer le domaine et étudier la continuité.
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3. Étudier $\sum f_n'$ et la régularité de $f$ sur $\R^*$.
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4. Pour $x>0$, montrer $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\geq\displaystyle\int_x^{+\infty}\dfrac{du}{2u(1+u^2)}$ et étudier la dérivabilité en $0^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1487]
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[IMT] Développer en série entière $x\mapsto\int_0^1\arctan(xt)\,dt$ et préciser le rayon.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1488]
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[CCINP] Pour $f(x)=\ln(1+x)/x$, préciser le domaine, prolonger en $0$, puis montrer par série entière que $f\in C^\infty$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1489]
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[IMT] Soit $u_0=1$, $u_{n+1}=\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k}$. Trouver $u_n$ en étudiant $f(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$ et $xf(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1490]
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[CCINP] Poser $I_n=\int_0^1x^n/(1+x)\,dx$.
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1. Étudier la convergence de $(I_n)$ et calculer la limite.
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2. Calculer $I_n+I_{n+1}$.
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3. Déterminer $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}/k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1491]
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[IMT] Soit $f\in C^1([0,1],\R_+)$ et $I_n=\int_0^1\sin(f(t)/n)dt$.
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1. Déterminer la limite de $I_n$.
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2. Donner un équivalent puis un développement à deux termes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1492]
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[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2+t^n}$. Justifier l'existence et déterminer la limite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1493]
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[Actuariat] Poser $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$.
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1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$.
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2. Montrer sa convexité directement par définition, puis par la dérivée seconde.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1494]
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[CCINP] Rappeler $\arctan t\leq t$ pour $t\geq0$. Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\arctan(t)dt$, déterminer le domaine et la limite en $+\infty$, puis établir $xf(x)=\int_0^\infty e^{-xt}/(1+t^2)dt$ et calculer la limite de $xf(x)$ en $0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1495]
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[CCINP] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}e^{-tx}dt$, montrer $|\sin t|\leq|t|$, justifier l'existence et étudier la continuité sur $\R_+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1496]
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[CCINP] Montrer la convergence et calculer $\int_0^\infty\frac{\ln t}{1+t^2}dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1497]
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[CCINP] Pour $f(x,y)=x^2+y^2$, étudier les points critiques et extrema, déterminer les équipotentielles et représenter $z=f(x,y)$.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1498]
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[IMT]
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1. Déterminer $a>0$ pour que $(a/(i!j!))_{(i,j)\in\N^2}$ soit une loi.
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2. Pour $\P(X=i,Y=j)=a/(i!j!)$, déterminer les lois marginales et l'indépendance.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1499]
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[IMT] Soit $X$ intégrable avec $\E(X)\neq0$. Pour $A$, poser $\P_X(A)=\E(\mathbf1_AX)/\E(X)$.
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1. Calculer $\E(\mathbf1_A)$.
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2. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $A=2\N$, calculer $\P(A)$ et $\P_X(A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1500]
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[IMT] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. Choisir une urne, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ après une blanche et $U_2$ après une noire. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir une récurrence et expliciter $p_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1501]
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[CCINP] Soit $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, $X$ uniforme sur $U_n$.
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1. Montrer $\sum_{k=0}^{n-1}z_k=0$.
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2. Calculer $\E(X),\E(\overline X),\E(|X|^2)$.
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3. Pour $(X_i)$ i.i.d. de même loi, calculer $\E(|S_p|^2)$ où $S_p=\sum_{k=1}^pX_k$, puis illustrer Markov.
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4. Pour $T_p=\prod_{k=1}^pX_k$, montrer que $T_p$ a la loi de $X$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1502]
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[CCINP] Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire une boule de numéro $k$ ; si $k=1$, on s'arrête, sinon on retire les boules numérotées de $k$ à $n$ et on recommence. Soient $I_n$ le premier numéro tiré et $X_n$ le nombre de tirages jusqu'à obtenir la boule $1$.
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1. Donner la loi et l'espérance de $I_n$.
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2. Déterminer les valeurs prises par $X_n$.
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3. Donner la loi et l'espérance de $X_2$.
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4. Calculer $\P(X_n=1)$ et montrer $\P(X_n=n)=1/n!$.
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5. Pour $2\leq j\leq n$, montrer $\P(X_n=j)=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\P(X_k=j-1)$.
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6. Montrer $\E(X_n)=\E(X_{n-1})+1/n$ et en déduire $\E(X_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1503]
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Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $U=\min(X,Y)$.
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#+end_exercice
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* De Christophe :xens:
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# ID:9071
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#+begin_exercice [ENS SR 2026]
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On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$. On note $B = \{x \in \R^2, \|x\| \le 1\}$ et
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$$\Delta_3(B) = \sup_{x,y,z \in B} \min(\|x - y\|, \|y - z\|, \|x - z\|)$$
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1. Montrer que $\Delta_3(B)$ est atteint.
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2. Montrer que $\Delta_3(B) \le 2$.
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3. Calculer $\Delta_3(B)$ pour chacune des normes $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_2$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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- Trivial.
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- Trivial.
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- Pour $\lN \cdot \rN_2$, se placer en un minimum.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [ENS SR 2026]
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Soit $a > 0$. On considère l'équation différentielle
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$$y_a''(t) = \frac{1}{2y_a(t)^{1+a}}, y_a(0) = 1, y_a'(0) = 0$$
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On suppose qu'il existe $T_a$ et $y_a \in C^2([0, T_a[, \R^+)$ solution telle que $T_a = +\infty$ ou $y_a(t) + \frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$.
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1. Trouver une relation entre $(y_a')^2$ et $y_a$.
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2. Montrer que le cas $\frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini.
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3. Montrer que le cas $y_a(t) \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini.
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4. Montrer que $y_a$ est strictement croissante sur $\R^+$ et de limite $+\infty$ en $+\infty$.
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5. Donner un équivalent de $y_a$ en $+\infty$.
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6. Question bonus : lemme de Gronwall
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#+end_exercice
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# ID:9075
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#+begin_exercice [ENS U 2026] :todo:
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1. On considère un sous-groupe $G$ de $\Z/n\Z$. Soit $\varphi \colon G \to \Z/n\Z$ un morphisme de groupe. Montrer qu'il existe un morphisme $\psi \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ tel que $\forall x \in G, \psi(x) = \varphi(x)$.
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2. Soit $(G, +)$ un groupe fini, commutatif. Montrer qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall x \in G, n.x = 0$ et $n$ minimal pour la division. Montrer qu'il existe un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $G = \Z/n\Z \oplus H$.
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3. Montrer que tout groupe fini commutatif est isomorphe à un unique groupe de la forme $\prod \Z/d_i\Z$, où $\forall i,\, d_i \mid d_{i+1}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Écrire $G = \langle x\rangle$, et $\phi(x)$ doit vérifier…
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2. On veut construire un morphisme $G\ra \Z/n\Z$ qui étend celui de $\langle x\rangle$.
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On procède petit à petit. Si $y\not\in \langle x\rangle$, on a déjà un morphisme de $\langle y\rangle \cap \langle x\rangle\ra \Z/n\Z$, que l'on peut étendre à $\langle y\rangle$, donc à $\langle x, y\rangle$.
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#+END_proof
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# ID:9076
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#+begin_exercice [ENS PSLR 2026]
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1. Soit $(c_n) \in [0, 1]^\N$. Montrer que
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$$\prod_{i=0}^{n-1} (1 - c_i) \le e^{-\sum_{i=0}^{n-1} c_i}$$
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2. Soit $f \in C^2(\R^2, \R)$ telle qu'il existe $\alpha > 0$ et $m \ge \alpha$ vérifiant
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$$\forall x \in \R^2, H_f(x) - \alpha I_n \in S_n^{++}(\R) \text{ et } m I_n - H_f(x) \in S_n^{++}(\R)$$
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Montrer que $\exists! x^* \in \R^2, \nabla f(x^*) = 0$.
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3. Soient $x_0 \in \R^2$ et $s > 0$. On définit
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$\forall n \ge 0, x_{n+1} = x_n - s\nabla f(x_n)$
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Montrer que
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$$\|x_{n+1} - x^*\| \le \max((1 - \alpha s)^2, (1 - ms)^2)\|x_n - x^*\|^2$$
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. trivial.
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2. Unicité claire, existence aussi via un élément dont la valeur de $f$ est minimale. En partant de $\nabla f(0)$, on est convexe dans chaque direction (avec un contrôle explicite), donc on sait que sur une boule éloignée, on est grand.
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3. $x_{n+1} - x^* = (I_2 - s \nabla f(x_n)) (x_n - x^*)$, et appliquer taylor lagrange pour $\nabla f(x_n)$.
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#+END_proof
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# ID:9077
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#+begin_exercice [ENS 2026 L]
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Soit $(p_k)_{k\in\N^*}$ une suite à valeurs dans $[0, 1]$, et soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p_k$.
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Montrer que, pour toute distribution de probabilité $(q_i)_{i\in\N}$, il existe une suite de fonctions $f_n \colon \{0, 1\}^n \longrightarrow \N$ telle que la suite de variables aléatoires $(f_n(X_1, \dots, X_n))_{n\in\N^*}$ converge presque sûrement vers une variable aléatoire $X$ de loi $(q_i)$ si et seulement si la série $\sum_{k=1}^{+\infty} p_k(1 - p_k)$ diverge.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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Si les $p_k$ valent $\frac{1}{2}$ (alors $\sum p_k(1-p_k)$ diverge),
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étant donné une loi $(q_i)$, on découpe $[0,1]$ suivant les $q_i$, et
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suivant $\frac{1}{2^n}$, on choisit aussi une bijection de
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$\{0,1\}^n\ra \db{0, 2^n-1}$, et cela définit $f_n$ qui marche, pour
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une convergence en loi. Pour une convergence presque sûr, hm, oui ça
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marche aussi (du moment que $X_n$ est le bit faible).
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On peut supposer que les $p_k\leq \frac{1}{2}$, auquel cas l'hypothèse
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est la divergence, ou convergence de $\sum p_k$.
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Si $\sum p_k$ diverge, alors $\prod (1-p_k)$ tend vers $0$, donc quand
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on découpe naturellement $[0,1]$ en morceau (obtenus en écrivant $1 =
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(p_0 + (1-p_0)) (p_1 + (1-p_1)),\dots$, chaque morceau tend vers $0$,
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ce qui suffit.
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Réciproquement, si $\sum p_k$ converge, $\prod (1-p_k)$ converge, donc
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l'évènement tous les $X_i$ donnent $1$ a une grosse probabilité, donc
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si on converge vers une loi, au moins un des $q_i$ a une grosse probabilité.
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#+END_proof
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# ID:9072
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#+begin_exercice [ENS U 2026]
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Soient $m$ et $N$ dans $\N^*$. On considère $X_1, \dots, X_m$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, respectivement à valeurs dans $E_1, \dots, E_m$ qui sont des parties de $\R$.
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On suppose que $X_1 + \dots + X_m$ suit une loi uniforme sur $\db{0, N - 1}$. Les $X_i$ suivent-ils une loi uniforme ?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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+ On se ramène au cas où les $X_i$ sont à valeurs entières.
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+ Quitte à translater $\db{0, N - 1}$, on peut supposer les $X_i$ positifs.
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+ On est ramené à écrire $X^n \frac{X^m - 1}{X-1}$ comme un produit.
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+ Ensuite, on prend le produit de deux polynômes $1 + \dots + X^{p-1}$ avec $p-1$ premier.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [X 2026]
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Soit $(A, +, \times)$ un anneau qui n'est pas un corps et vérifiant
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$$\forall x \in A \setminus A^\times, \exists n_x \in \N^*, x = \sum_{k=2}^{2^{n_x}} x^k$$
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1. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x + x = 0_A$. On pourra considérer $y_x = \sum_{k=1}^{2^{n_x}-1} x^k$.
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2. Montrer que $1_A + 1_A = 0_A$.
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3. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x = x^2$. On pourra d'abord montrer que $x = x^{2^{n_x}+1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X 2026]
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On pose $E = \C[X] \oplus \C[X]$. Soient $\varphi_1, \varphi_2 \in \mathcal{L}(E)$ tels que pour tous $r, s$ de $\N$,
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$$\varphi_1(X^r, X^s) = (-X^{r+2}, X^s + X^{r+1}) \text{ et } \varphi_2(X^r, X^s) = (X^{s+1} + X^r, -X^{s+2})$$
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1. Déterminer les spectres de $\varphi_1$ et $\varphi_2$.
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2. $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont-ils des automorphismes de $E$ ?
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3. Mêmes questions avec $E = \C(X) \oplus \C(X)$.
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4. On pose $B_n = \{\varphi_{i_1} \circ \dots \circ \varphi_{i_n}, i_1, \dots, i_n \in \{1, 2\}\}$ pour $n \in \N^*$. Trouver le cardinal de $B_1, B_2, B_3$.
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#+end_exercice
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# ID:9073
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#+begin_exercice [X 2026]
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Soit $M \in \mathcal{M}_2(\R)$ vérifiant
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$$\det(M^{2024} + I_2) = \det(M^{2024} - I_2) \text{ et } \det(M^{2026} + I_2) = \det(M^{2026} - I_2)$$
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Montrer que $\quad\forall n \ge 1, \det(M^n + I_2) = \det(M^n - I_2)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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$M$ est tri sup.
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#+END_proof
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# ID:9074
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#+begin_exercice [ENS SR 2026]
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On note $\mathbb{H}$ l'algèbre des quaternions sur $\R$. C'est un $\R$-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base canonique $(1, i, j, k)$ dont la multiplication est régie par :
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$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$
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Pour tout quaternion $z = a + bi + cj + dk \in \mathbb{H}$, on définit son conjugué par $\bar{z} = a - bi - cj - dk$. On admet que $\overline{wz} = \bar{z}\bar{w}$.
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1. Inversibilité dans $\mathbb{H}$. Montrer que tout élément non nul $z \in \mathbb{H}$ admet un inverse pour la loi de multiplication, et exprimer explicitement $z^{-1}$ en fonction de $\bar{z}$ et $N(z)$. En déduire que $\mathbb{H}$ est un corps non commutatif.
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2. Anneaux de Lipschitz et de Hurwitz. On note $\mathbb{H}(\Z) = \{a + bi + cj + dk \in \mathbb{H} \mid a, b, c, d \in \Z\}$. On pose $\delta = \frac{1+i+j+k}{2}$ et on définit $A = \mathbb{H}(\Z) + \Z\delta$. Montrer que $\mathbb{H}(\Z)$ et $A$ sont des sous-anneaux de $\mathbb{H}$.
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3. Lien avec la somme de quatre carrés. Soit $n \in \N$. Démontrer que $n$ s'écrit comme la somme de quatre carrés d'entiers si et seulement s'il existe un quaternion de Hurwitz $z \in A$ tel que $n = N(z)$.
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4. Structure euclidienne et application au théorème de Lagrange.
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1. Démontrer que l'anneau $A$ est euclidien (à droite) pour la norme $N$.
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2. Soit $p$ un nombre premier impair. On admet qu'il existe $x, y \in \Z$ tels que $x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$. Montrer que $p$ n'est pas irréductible dans $A$, puis qu'il existe $z \in A$ tel que $p = N(z)$.
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3. En déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange.
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4. Démontrer la propriété admise.
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#+end_exercice
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# ID:9078
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#+begin_exercice [X 2026]
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Soit $(u_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires telle que $u_1$ suit la loi uniforme sur $\db{1, N}$ ($N \in \N^*$ fixé) et pour $n \ge 1$, $u_{n+1}$ suit la loi uniforme sur $\db{1, u_n}$. On pose $E_N = \{u_i, i \ge 1\}$.
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1. Montrer que $\mathbb{P}(1 \in E_N) = 1$.
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2. Pour $k \in \db{1, N}$, on pose $p_{N,k} = \mathbb{P}(k \in E_N)$. Calculer $p_{N,k}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. L'évènement complémentaire est exactement la réunion, d'évènements $u_k = i$ et $\forall j\geq k,\, u_j = i$, chacun étant de probabilité nulle.
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2. Pour $N = 1$, trivial.
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Pour $N = 2$, on a $\P(2\in E_2) = \frac{1}{2}$.
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Par récurrence, on a ce qu'on veut.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [ENS SR 2026]
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Soit $T > 0$ et $[a, b]$ un intervalle de $\R$. On considère une fonction $u : [a, b] \times [0, T] \to \R$ de classe $C^4$ solution de :
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$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t) - \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) = 0 & \text{pour } (x, t) \in ]a, b[ \times ]0, T[ \\ u(a, t) = 0 \text{ et } u(b, t) = 0 & \text{pour tout } t \in [0, T] \end{cases}$$
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où $\nu > 0$. On définit un maillage régulier : $\Delta x = \frac{b-a}{M+1}$ et $\Delta t = \frac{T}{N}$.
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On note $u_j^n$ l'approximation de $u(x_j, t_n)$ par le schéma :
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$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - \nu \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2} = 0$$
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1. En définissant $U^n = (u_1^n, \dots, u_M^n)^\top \in \R^M$, montrer que $U^{n+1} = AU^n$.
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2. On définit l'erreur de troncature $\varepsilon_j^n$. Montrer qu'il existe $C > 0$ telle que $\max |\varepsilon_j^n| \le C(\Delta t + (\Delta x)^2)$.
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#+end_exercice
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# ID:9079
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#+begin_exercice [X 2026]
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Soient $a, b \in \C$ avec $|a| > \sqrt{3}$ et $b \neq 0$ et $n \ge 3$ un entier. On note $B = \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{1-a^2}{b} & -a \end{pmatrix}$ et pour $k \in \db{1, n - 1}$, $A_k = \text{diag}(I_{k-1}, B, I_{n-k-1}) \in \mathcal{M}_n(\C)$.
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1. Soient $k, k' \in \db{1, n - 1}$. Donner l'ordre du sous-groupe de $GL_n(\C)$ engendré par $A_k$ et $A_{k'}$.
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2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. On a $B^2 = I_2$.
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Si $|k-k'| = 1$, alors $A_k A_{k+11}$ a comme polynôme caractéristique $(X - 1)(X^2 + (a^2+1)X + 1)$, qui est d'ordre infini.
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2. On peut trouver un vecteur propre de valeur propre $1$ commun à tous les $A_k$
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#+END_proof
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2026]
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Soit $n \ge 1$ un entier. On considère $G_n = \{ \frac{j}{2^n} \mid j \in \{0, 1, \dots, 2^n - 1\} \}$. Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de variables indépendantes uniformes sur $G_1, \dots, G_n$. Pour $\varphi : [0, 1] \to \R$, on définit $\hat{\varphi}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(X_i)$. Soit $\mathcal{L}_1$ l'ensemble des fonctions 1-lipschitziennes de $[0, 1]$ dans $\R$.
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1. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \ge \frac{1}{2^{n+2}}$.
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2. Soit $M \ge 1$. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \le \frac{2}{M} + \sum_{m=1}^M |\frac{1}{n} \text{Card}\{i \mid X_i \in B_m\} - \frac{1}{M}|$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Pas d'aléa.
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#+END_proof
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# ID:9080
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#+begin_exercice [X 2026]
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Soient $f, g \colon \R \to \R$ telles que $\forall x \in \R, g(x) = 2f(x) + f(x^2)$.
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1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$. Montrer que $f$ est continue en $0$.
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2. Donner un exemple où $g$ est continue en $0$ et $f$ discontinue en $0$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. On a $f(x) = \frac{g(x)}{2} - \frac{g(x^2)}{4} + \frac{g(x^4)}{8}\dots$.
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2. Il faut donc que $f$ soit non bornée.
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On prend $g = 0$, et on peut poser $x = e^{-t}$ pour obtenir $h(2t) = - 2h(t)$.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [X 2026]
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Soit $P \in \C[X]$ tel que $\forall z \in \C, P(z) = 0 \implies \text{Im}(z) > 0$. On écrit $P = A + iB$ avec $A, B \in \R[X]$. Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$.
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#+end_exercice
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# ID:9082
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#+begin_exercice [ENS L 2026] :todo:
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Soit $f \colon x \mapsto x(1 + \ln |1 - |x||)$.
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1. Étudier $f$.
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2. Soit $(x_n)$ définie par $x_0 \in \R \setminus \{-1; 1\}$ et $x_{n+1} = f(x_n)$. Trouver les $x_0$ tels que $(x_n)$ soit 3-périodique.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. $f$ est impaire, asymptotes verticales en $\pm 1$, s'annule en $1 \pm e^{-1}$.
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Sur $[1,+\i[$, $f$ est croissante. Sur $\interval]{0,1, b}[$, $f$ est concave.
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2. On considère les intervalles $\interval]{1-e^{-1}, 1}[$, $\interval]{1, 1+e^{-1}}[$ et $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$.
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Sur l'intervalle $\interval]{0, 1-e^{-1}}[$, il est stable et $f(r)\lt r$ dessus.
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Sur les autres intervalles, on a $T'\gt 1$, donc $T^3 - \op{id}$ est strictement monotone.
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Chaque cycle doit passer par $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$. On énumère les cycles en énumérant les «trajectoires» possibles dans les trois intervalles précédents. On trouve $4$ cycles possibles, auquel il faut ajouter les points fixes $0$ et $2$.
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#+END_proof
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# ID:9081
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2026]
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Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n$.
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1. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \exists \lambda \in \C, f(x) = \lambda x$. Que dire de $f$ ?
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2. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f$ n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice $M$ de $f$ vérifie $\forall i, M_{i,i+1} \neq 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2026] :todo:
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Soit $V$ un espace euclidien. Pour $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $V$, on note $L = \text{vect}_\Z(e_1, \dots, e_n)$.
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1. Montrer que $L = \{ \sum_{i=1}^n m_i e_i, m_i \in \Z \}$.
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2. Soit $B'$ une autre base. Montrer qu'elle engendre $L$ ssi la matrice de passage est dans $GL_n(\Z)$ avec un déterminant $\pm 1$.
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3. Justifier que $\lambda_1(L) = \min \{ \|x\|, x \in L \setminus \{0\} \}$ est bien défini.
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4. Montrer qu'il existe une base $(b_1, b_2)$ de $\R^2$ qui engendre $L$ avec $\|b_1\| = \lambda_1(L)$ et $\frac{|(b_1|b_2)|}{\|b_1\|^2} \le \frac{1}{2}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2.
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3. C'est l'équivalence des normes. De manière élémentaire ?
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#+END_proof
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#+begin_exercice [X 2026] :todo:
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Pour $n \in \Z$ et $x \in \R$, on pose $J_n(x) = \frac{1}{2\pi i^n} \int_0^{2\pi} e^{i(n\theta + x\cos\theta)} \dt\theta$.
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1. Montrer que $J_n(x) \in \R$ et relier $J_n$ et $J_{-n}$.
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2. DSE et équation différentielle vérifiée par $J_0$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Pour le premier, développer $e^{i\theta}$ et poser $u = \pi + \theta$.
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Pour le second, $J_{-n}(-x) = J_n(x)$.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [X 2026] :todo:
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Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même lois telle que $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$. On pose $q = 1-p$, $S_n = X_1 + \dots + X_n$ et $T_n$ le nombre minimal d'expériences pour avoir $n$ échecs.
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1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $\forall k \in \db{0, n}, (S_n \ge
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k) = (T_{n+1-k} \ge n + 1)$.
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2. Montrer que $\mathbb{P}(S_n \ge k) = {n \choose n - k} p^k
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q^{n-k+1} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(n + 1)\dots(n + \ell)}{(k +
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1)\dots(k + \ell)} p^\ell$.
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3. Soit $j \ge 3$. On suppose $p = 1/2$. Montrer que
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$\mathbb{P}(S_{nj} \le n) \sim 2^{-jn} {jn \choose n}
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\frac{j-1}{j-2}$.
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#+end_exercice
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* Todoes :todo:ignore:
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:PROPERTIES:
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:COLLECT-TAGS: todo
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:END:
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